ভূমিকা (Introduction)

জ্যামিতিতে দুটি আকারকে সদৃশ্য (Similar) বলা হয় যদি তাদের আকৃতি একই হয় কিন্তু আকার ভিন্ন হতে পারে। অর্থাৎ, সদৃশ্য আকারগুলির কোণ সমান থাকে এবং পাশে পাশে অনুপাত সমান থাকে।

সাধারণত, দুটি ত্রিভুজ সদৃশ্য হয় যদি:

• তাদের প্রতিটি কোণ সমান থাকে (Angle-Angle-Angle বা AAA)
• দুটি পাশে অনুপাত সমান থাকে এবং অন্তর্গত কোণ সমান থাকে (Side-Angle-Side বা SAS)
• তিনটি পাশে অনুপাত সমান থাকে (Side-Side-Side বা SSS)

সদৃশ্যতার সংজ্ঞা (Definition)

দুটি জ্যামিতিক আকার সদৃশ্য হলে: \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \) এর অর্থ:

• \( \angle A = \angle P, \; \angle B = \angle Q, \; \angle C = \angle R \)
• \( \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} \)

এখানে, কোণ সমান এবং পাশে পাশে অনুপাত সমান।

সদৃশ্যতার সূত্রাবলি (Key Properties)

• যদি দুই ত্রিভুজ সদৃশ্য হয়, তবে তাদের কোণ সমান।
• সদৃশ্য ত্রিভুজের পাশে পাশে অনুপাত সমান।
• সদৃশ্য আকারের ক্ষেত্রফলের অনুপাত তাদের পাশে পাশে অনুপাতের বর্গের সমান। \( \frac{\text{Area of } \triangle ABC}{\text{Area of } \triangle PQR} = \left(\frac{AB}{PQ}\right)^2 \)
• সদৃশ্যতা রেখা এবং কোণের প্রসারণেও প্রযোজ্য।

উদাহরণ (Examples)

উদাহরণ ১:

যদি \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \) এবং \( AB = 6, PQ = 3 \), \( AC = 9 \), তাহলে \( PR \) নির্ণয় করো যদি \(\triangle ABC\) এবং \(\triangle PQR\) সদৃশ্য হয়।

\(\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} \Rightarrow \frac{9}{PR} = \frac{6}{3} \Rightarrow PR = \frac{9 \cdot 3}{6} = 4.5\)

উদাহরণ ২:

দুই সদৃশ্য ত্রিভুজের পাশে পাশে অনুপাত \( 2 : 1 \)। যদি ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12 একক হয়, বড় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

\(\text{Area ratio} = (2/1)^2 = 4 \Rightarrow \text{Area of larger triangle} = 12 \times 4 = 48\)

চিত্র (Illustration)

অনুশীলনী প্রশ্ন (Practice Problems)

1. যদি \( \triangle XYZ \sim \triangle PQR \) এবং \( XY : PQ = 3 : 2 \), তাহলে \( YZ : QR \) এবং \( ZX : RP \) অনুপাত নির্ণয় করো।
2. সদৃশ্য ত্রিভুজের পাশে পাশে অনুপাত 4:3। ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 27, বড়টির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
3. একটি ত্রিভুজের কোণ 30°, 60°, 90° এবং অন্যটি সদৃশ্য। যদি ছোট ত্রিভুজের একটি পাশে দৈর্ঘ্য 5, বড় ত্রিভুজের অনুরূপ পাশে দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
4. সদৃশ্য ত্রিভুজের কোণ সমান না হলে কি তাদের পাশে পাশে অনুপাত সমান হবে? ব্যাখ্যা করো।

উপসংহার (Conclusion)

সদৃশ্যতা জ্যামিতির একটি মৌলিক ধারণা, যা ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ এবং অন্যান্য আকারের বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ। এটি অনুপাত, ক্ষেত্রফল, কোণ এবং দৈর্ঘ্যের সম্পর্ক বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।