ভূমিকা (Introduction)
যেসব অনুক্রমে প্রত্যেকটি পদ আগের পদকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার (গুণোত্তর অনুপাত) সঙ্গে গুণ করে পাওয়া যায়, তাকে গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression - G.P.) বলে।
উদাহরণ: \( 2, 4, 8, 16, 32, \ldots \) এখানে প্রত্যেক পদ আগের পদকে \( 2 \) দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায়। তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে \( a = 2, r = 2 \)।
সংজ্ঞা (Definitions)
- প্রথম পদ (First Term): ধারার প্রথম সংখ্যা, একে \( a \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- গুণোত্তর অনুপাত (Common Ratio): প্রতিটি পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত, একে \( r \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অর্থাৎ, \( r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \cdots \)
- n-তম পদ (n-th Term): ধারার যে কোনো n-তম পদকে \( T_n \) বা \( a_n \) বলা হয়।
সূত্রাবলি (Formulas)
| বিষয় | সূত্র |
|---|---|
| n-তম পদ | \( T_n = a r^{n-1} \) |
| প্রথম n পদের যোগফল (যদি \( r \ne 1 \)) | \( S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \) |
| যদি \( r < 1 \) | \( S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \) |
| অসীম ধারা (Infinite G.P.), \( |r| < 1 \) | \( S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \) |
উদাহরণ (Examples)
উদাহরণ ১:
একটি গুণোত্তর ধারা: \( 3, 6, 12, 24, \ldots \) এখানে \( a = 3, r = 2 \)। প্রশ্ন: 6ষ্ঠ পদ নির্ণয় করো।
\( T_6 = a r^{6-1} = 3 \times 2^5 = 96 \)
উত্তর: 6ষ্ঠ পদ হলো 96।
উদাহরণ ২:
\( a = 5, r = 3 \)। প্রথম 5 পদের যোগফল নির্ণয় করো।
\( S_5 = a \frac{r^5 - 1}{r - 1} = 5 \times \frac{3^5 - 1}{2} = 5 \times \frac{243 - 1}{2} = 5 \times 121 = 605 \)
উত্তর: \( S_5 = 605 \)
উদাহরণ ৩:
একটি অসীম গুণোত্তর ধারা যেখানে \( a = 8, r = \frac{1}{2} \)। অসীম ধারার যোগফল নির্ণয় করো।
\( S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = 16 \)
বৈশিষ্ট্য (Properties)
- যদি \( r > 1 \), ধারা ক্রমবর্ধমান হয়।
- যদি \( 0 < r < 1 \), ধারা ক্রমহ্রাসমান হয়।
- যদি \( r = 1 \), সব পদ সমান হয়।
- অসীম গুণোত্তর ধারা কেবল \( |r| < 1 \) হলে সসীম যোগফল রাখে।
তুলনামূলক সারণি (Comparison Table)
| ধারা | সূত্র | উদাহরণ |
|---|---|---|
| সমান্তর ধারা (A.P.) | \( T_n = a + (n - 1)d \) | \( 2, 4, 6, 8, \ldots \) |
| গুণোত্তর ধারা (G.P.) | \( T_n = a r^{n-1} \) | \( 2, 4, 8, 16, \ldots \) |
অনুশীলনী প্রশ্ন (Practice Problems)
- একটি গুণোত্তর ধারা \( 2, 6, 18, \ldots \) এর ৭ম পদ নির্ণয় করো।
- প্রথম পদ ৩ এবং \( r = 2 \) হলে, প্রথম ১০ পদের যোগফল কত?
- \( a = 81, r = \frac{1}{3} \)। অসীম ধারার যোগফল নির্ণয় করো।
- যদি \( T_3 = 12 \) এবং \( T_6 = 96 \), তবে \( a \) ও \( r \) নির্ণয় করো।
- একটি ধারায় \( a = 5, r = -2 \)। \( T_5 \) ও \( S_5 \) নির্ণয় করো।
উপসংহার (Conclusion)
গুণোত্তর ধারা সংখ্যার দ্রুত বৃদ্ধি বা হ্রাসের গাণিতিক মডেল। এটি বাস্তব জীবনে, যেমন জনসংখ্যা বৃদ্ধি, বিনিয়োগ, রেডিওঅ্যাকটিভ ক্ষয় ইত্যাদি ক্ষেত্রে অত্যন্ত প্রযোজ্য।