সংজ্ঞা (Definition)

কোনো চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু যদি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হয়, তবে তাকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (Cyclic Quadrilateral) বলে।

অর্থাৎ, চতুর্ভুজের সব শীর্ষবিন্দু একই বৃত্তের পরিধিতে থাকে।

নিচের চিত্রে, \(ABCD\) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ কারণ বিন্দুগুলি \(A, B, C, D\) বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য (Properties)

• বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ হয়। অর্থাৎ, \( \angle A + \angle C = 180^\circ \) এবং \( \angle B + \angle D = 180^\circ \)
• বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো এক কোণের সমকোণীয় কোণ (exterior angle) সমান তার বিপরীত অন্তঃকোণের।
  অর্থাৎ, \( \angle DCE = \angle DAB \)

প্রমাণ (Proof of Opposite Angles Property)

ধরা যাক, \(ABCD\) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। এখন \(AC\) ব্যাসধারার দুটি জ্যা \(ABC\) ও \(ADC\) দ্বারা গঠিত দুটি কোণ বিবেচনা করা যাক।

একই বৃত্তের একই খণ্ডের উপর অবস্থিত কোণদ্বয় সমান হয়। সুতরাং, \( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \) অর্থাৎ, বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল দুই সমকোণ।

সূত্রাবলি (Formulas)

• বিপরীত কোণদ্বয়: \( \angle A + \angle C = 180^\circ \), \( \angle B + \angle D = 180^\circ \)
• ক্ষেত্রফল (Brahmagupta’s formula): যদি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বাহুগুলি যথাক্রমে \( a, b, c, d \) হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে —
  \( \text{Area} = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \), যেখানে \( s = \frac{a+b+c+d}{2} \)

উদাহরণ

একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোণগুলি হলো \( 70^\circ, 85^\circ, 110^\circ, x^\circ \)।
তাহলে, \( 70 + 110 = 180 \) ⇒ \( 85 + x = 180 \) ⇒ \( x = 95^\circ \)

উপসংহার

কোনো চতুর্ভুজ বৃত্তস্থ কিনা যাচাই করতে হলে তার বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল \( 180^\circ \) কিনা দেখা যায়। এই বৈশিষ্ট্য জ্যামিতিক প্রমাণ ও নির্মাণে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।