অন্বয় (Relation) ও ফাংশন (Function)
আমরা জানি, যদি দুটি সেট \( A \) এবং \( B \) দেওয়া থাকে, তবে \( A \) থেকে \( B \)-তে সম্ভাব্য সকল সজ্জিত যুগল (ordered pairs)-এর সেটটিকে কার্তেসীয় গুণফল (Cartesian Product) বলা হয়।
অন্বয় (Relation)
যদি \( A \) এবং \( B \) দুটি সেট হয়, তবে \( A \times B \)-এর একটি উপসেটকে (subset) \( A \) থেকে \( B \)-তে একটি অন্বয় (Relation) বলা হয়।
উদাহরণস্বরূপ, \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{2, 4, 6\} \) হলে \( R = \{ (1, 2), (2, 4), (3, 6) \} \) একটি অন্বয়, যা “y = 2x” দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
| ধরন | বর্ণনা |
|---|---|
| প্রতিফলনশীল অন্বয় (Reflexive Relation) | যদি \( (a, a) \in R \) সকল \( a \in A \)-এর জন্য হয়। |
| সমমিত অন্বয় (Symmetric Relation) | যদি \( (a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R \) |
| পরিবর্তনশীল অন্বয় (Transitive Relation) | যদি \( (a, b) \in R \) এবং \( (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R \) |
| সমতুল অন্বয় (Equivalence Relation) | যে অন্বয় একযোগে প্রতিফলনশীল, সমমিত ও পরিবর্তনশীল। |
ফাংশন (Function)
\( A \) থেকে \( B \)-তে একটি ফাংশন (Function) হলো এমন একটি অন্বয়, যাতে \( A \)-এর প্রত্যেক উপাদান \( a \)-এর সাথে \( B \)-এর একটি নির্দিষ্ট উপাদান \( b \)-এর সম্পর্ক রয়েছে।
অর্থাৎ, \( f: A \to B \) একটি ফাংশন হবে যদি, \[ \forall a_1, a_2 \in A,\, f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 \]
ডোমেইন, কোডোমেইন ও রেঞ্জ
- ডোমেইন (Domain): ফাংশনের প্রথম সেট \( A \)-এর সকল উপাদান।
- কোডোমেইন (Codomain): ফাংশনের লক্ষ্য সেট \( B \)।
- রেঞ্জ (Range): \( B \)-এর উপসেট যা আসলে ফাংশনের আউটপুট মান নির্দেশ করে।
উদাহরণ:
\[ f: A \to B,\; f(x) = x^2 \] যেখানে \( A = \{1, 2, 3\},\; B = \{1, 4, 9, 16\} \)ভেন ডায়াগ্রাম দ্বারা উপস্থাপন
নিচের চিত্রে একটি ফাংশনের অন্বয় দেখানো হয়েছে — যেখানে প্রতিটি \( A \)-এর মান একটি \( B \)-এর মানের সাথে যুক্ত।
ফাংশনের ধরণ
- একএক ফাংশন (One-to-One Function): \( f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 \)
- অনেক-এক ফাংশন (Many-to-One Function): ভিন্ন \( a_1, a_2 \)-এর জন্য \( f(a_1) = f(a_2) \)
- ঋজু ফাংশন (Onto Function): \( f(A) = B \), অর্থাৎ প্রত্যেক \( b \in B \) কোনো \( a \in A \)-এর ইমেজ।
- একএক ও ঋজু ফাংশন (One-to-One and Onto): বাইজেকশন (Bijection) নামেও পরিচিত।