সূচক বা সূচকীয় রাশি (Exponents / Indices)
কোনো সংখ্যা বা রাশিকে বারবার গুণ করলে, সেটিকে সূচকীয় আকারে লেখা যায়। এই সূচকীয় আকারই সূচক (Exponent) বা সূচকীয় রাশি (Indices) নামে পরিচিত।
\( a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ বার}} \)
এখানে \( a \) হলো ভিত্তি (Base) এবং \( n \) হলো সূচক (Exponent)।
সূচকের মৌলিক নিয়মাবলি
| নিয়ম | সূত্র | উদাহরণ |
|---|---|---|
| ১. একই ভিত্তির গুণ | \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) | \(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\) |
| ২. একই ভিত্তির ভাগ | \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) | \(5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4\) |
| ৩. সূচকের উপর সূচক | \( (a^m)^n = a^{mn}\) | \((3^2)^3 = 3^{2\times3} = 3^6\) |
| ৪. একই সূচক, ভিন্ন ভিত্তি (গুণ) | \(a^n \times b^n = (ab)^n\) | \(2^3 \times 3^3 = (2\times3)^3 = 6^3\) |
| ৫. একই সূচক, ভিন্ন ভিত্তি (ভাগ) | \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\) | \(\frac{4^2}{2^2} = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2\) |
| ৬. শূন্য সূচক | \(a^0 = 1 \quad (a \ne 0)\) | \(7^0 = 1\) |
| ৭. ঋণাত্মক সূচক | \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) | \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\) |
| ৮. ভগ্ন সূচক | \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\) | \(8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2\) |
সূচকের মান সংক্রান্ত ব্যাখ্যা
- ধনাত্মক সূচক (Positive Exponent): বারবার গুণ নির্দেশ করে। যেমন: \(2^3 = 2\times2\times2 = 8\)
- ঋণাত্মক সূচক (Negative Exponent): বিপরীত মান নির্দেশ করে। যেমন: \(2^{-3} = \frac{1}{8}\)
- ভগ্ন সূচক (Fractional Exponent): মূল (Root) নির্দেশ করে। যেমন: \(27^{\frac{1}{3}} = 3\)
\(n^{th}\) মূল বা এন তম মূল (n-th Root)
কোনো সংখ্যার \(n^{th}\) মূল মানে হলো এমন একটি সংখ্যা, যাকে \(n\) বার গুণ করলে মূল সংখ্যাটি পাওয়া যায়। একে মূল (Root) বলে।
\( \sqrt[n]{a} = b \quad \text{যদি এবং কেবল যদি } \quad b^n = a \)
অর্থাৎ,
- \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\) → বর্গমূল (Square root)
- \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\) → ঘনমূল (Cube root)
- \(\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}\) → চতুর্থ মূল (Fourth root)
উদাহরণঃ \(\sqrt{25} = 5,\ \sqrt[3]{27} = 3,\ \sqrt[4]{16} = 2\)
সূচক ও মূলের সম্পর্ক
\( a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m} \)
উদাহরণঃ \(8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4\)
উপসংহার
সূচক ও মূল (Exponents and Roots) হলো বীজগণিতের একটি মৌলিক অধ্যায় যা সংখ্যার পুনরাবৃত্ত গুণ, ভাগ ও মূল নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়। এটি লগারিদম অধ্যায়ের ভিত্তি হিসেবেও কাজ করে।