ভূমিকা (Introduction)
সংখ্যাগুলিকে একটি নির্দিষ্ট নিয়মে সাজালে তাকে বলা হয় অনুক্রম (Sequence)। যেমন: \( 2, 4, 6, 8, 10, \ldots \) — এখানে প্রতিটি সংখ্যার পরের সংখ্যা আগের সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে পাওয়া যায়। তাই এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression - A.P.)।
সংজ্ঞা (Definitions)
- অনুক্রম (Sequence): সংখ্যাগুলির একটি নির্দিষ্ট নিয়মে বিন্যস্ত ধারা।
- সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression): এমন অনুক্রম, যেখানে যে কোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সর্বদা সমান। অর্থাৎ, \( a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \ldots = d \).
- সাধারণ পার্থক্য (Common Difference): প্রতিটি দুই পরপর পদের মধ্যে পার্থক্য, একে \( d \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- প্রথম পদ (First Term): ধারার প্রথম সংখ্যা, একে \( a \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- n-তম পদ (n-th Term): ধারার যে কোনো n-তম পদকে \( T_n \) বা \( a_n \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সূত্রাবলি (Formulas)
| বিষয় | সূত্র |
|---|---|
| n-তম পদ | \( T_n = a + (n - 1)d \) |
| প্রথম n পদের যোগফল | \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \) |
| অন্যভাবে | \( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \) |
| শেষ পদ (l) | \( l = a + (n - 1)d \) |
উদাহরণ (Examples)
উদাহরণ ১:
একটি সমান্তর ধারা: \( 3, 7, 11, 15, \ldots \)
এখানে \( a = 3 \), \( d = 4 \)।
প্রশ্ন: 10ম পদ নির্ণয় করো।
\( T_{10} = a + (n-1)d = 3 + (10-1)\times4 = 3 + 36 = 39 \)
উত্তর: 10ম পদ 39।
উদাহরণ ২:
প্রথম পদ \( a = 5 \), সাধারণ পার্থক্য \( d = 2 \)। প্রশ্ন: প্রথম 10 পদের যোগফল কত?
\( S_{10} = \frac{10}{2}[2(5) + (10-1)\times2] = 5[10 + 18] = 140 \)
উত্তর: \( S_{10} = 140 \)
বৈশিষ্ট্য (Properties)
- সমান্তর ধারার প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদে একই মান যোগ বা বিয়োগ করে পাওয়া যায়।
- যদি সাধারণ পার্থক্য \( d = 0 \), তবে সব পদ সমান হয়।
- যদি \( d > 0 \), ধারা ক্রমবর্ধমান (increasing)।
- যদি \( d < 0 \), ধারা ক্রমহ্রাসমান (decreasing)।
উদাহরণ টেবিল (Example Table)
| ধারা | a | d | n | Tn |
|---|---|---|---|---|
| 2, 5, 8, 11, … | 2 | 3 | 7 | \( T_7 = 2 + (7-1)\times3 = 20 \) |
| 10, 8, 6, 4, … | 10 | -2 | 6 | \( T_6 = 10 + (6-1)\times(-2) = 0 \) |
অনুশীলনী প্রশ্ন (Practice Problems)
- একটি সমান্তর ধারা ৫, ৯, ১৩, … এর ২০তম পদ নির্ণয় করো।
- প্রথম পদ ৭, সাধারণ পার্থক্য ৩; প্রথম ১৫ পদের যোগফল কত?
- একটি সমান্তর ধারা যেখানে \( a = 12, l = 60, n = 10 \)। সাধারণ পার্থক্য নির্ণয় করো।
- একটি ক্রমহ্রাসমান সমান্তর ধারায় \( a = 50, d = -5 \)। প্রথম ৬ পদের যোগফল নির্ণয় করো।
- একটি ধারার ৩য় পদ ১১ এবং ৭ম পদ ২৩। \( a \) ও \( d \) নির্ণয় করো।
উপসংহার (Conclusion)
অনুক্রম ও সমান্তর ধারা হল সংখ্যার বিন্যাস ও বিশ্লেষণের অন্যতম ভিত্তি। বাস্তব জীবনে যেমন সঞ্চয়, কিস্তি, সময়ের সঙ্গে বৃদ্ধি ইত্যাদি ক্ষেত্রে এ সূত্রগুলো প্রয়োগ করা হয়।