অন্বয় ও ফাংশন

  1. নিচে সেট সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ও সম্পর্কসমূহ দেওয়া হলো। এই সূত্রগুলো সমস্যা সমাধানের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

    ১. সেটের সংখ্যা সম্পর্কিত সূত্র

    যদি \( A \) ও \( B \) দুটি সেট হয়, তবে —

    \[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \]

    যেখানে \( n(A) \) দ্বারা বোঝানো হয় সেট \( A \)-এর উপাদান সংখ্যা।

    তিনটি সেটের জন্য —

    \[ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C) \]

    ২. সম্পূরক (Complement) সম্পর্কিত সূত্র

    \[ (A')' = A \] \[ U' = \varnothing \] \[ \varnothing' = U \] \[ (A \cup B)' = A' \cap B' \] \[ (A \cap B)' = A' \cup B' \]

    এগুলোকে De Morgan’s Law (ডি মর্গ্যানের সূত্র) বলা হয়।

    ৩. উপসেট ও সমতা সম্পর্কিত সূত্র

    • \( A \subseteq A \)
    • যদি \( A \subseteq B \) এবং \( B \subseteq A \), তবে \( A = B \)
    • \( \varnothing \subseteq A \)
    • \( A \subseteq U \)

    ৪. সেটের পার্থক্য (Difference of Sets)

    \[ A - B = \{x \,|\, x \in A \text{ এবং } x \notin B\} \]

    এছাড়াও,

    \[ A - B = A \cap B' \]

    ৫. কার্তেসীয় গুণফল (Cartesian Product)

    \[ A \times B = \{ (a, b) \,|\, a \in A,\, b \in B \} \]

    যদি \( n(A) = m \) এবং \( n(B) = n \) তবে

    \[ n(A \times B) = m \times n \]

    ৬. ভেন ডায়াগ্রাম (Venn Diagram) সম্পর্কিত মৌলিক সম্পর্ক

    • \( A \cup B = B \cup A \) (সমবায়ী সূত্র)
    • \( A \cap B = B \cap A \)
    • \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \)
    • \( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \)
    • \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
    • \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)

    ৭. পাওয়ার সেট (Power Set)

    কোনো সেট \( A \)-এর সকল উপসেটের সেটকে পাওয়ার সেট (Power Set) বলা হয়, এবং সেটটি \( P(A) \) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

    \[ P(A) = \{ X \,|\, X \subseteq A \} \]

    যদি \( n(A) = m \) হয়, তবে

    \[ n(P(A)) = 2^m \]