৫. দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansions)
দুটি রাশির যোগ বা বিয়োগকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ঘাতে উত্তোলন করলে যে বিস্তৃতি পাওয়া যায় তাকে দ্বিপদী বিস্তৃতি বলা হয়। এই অধ্যায়ে আমরা আরোহ বিধির সাহায্যে দ্বিপদী উপপাদ্য প্রমাণ করব, প্যাসকেলের ত্রিভুজের মাধ্যমে সহগগুলোর প্যাটার্ন বুঝব এবং বিস্তৃতির সাধারণ পদ, মধ্যপদ ও সমদূরবর্তী পদগুলোর বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করব।
দ্বিপদী উপপাদ্য (Binomial Theorem)
উপপাদ্যের বিবরণ
যদি \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং \(a, b\) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা বা চলক হয়, তবে:
\[(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\]
বিস্তৃত আকারে:
\[(a + b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{r}a^{n-r}b^r + \dots + \binom{n}{n}b^n\]
যেখানে \(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) হলো দ্বিপদী সহগ বা সংমিশ্রণ।
আরোহ বিধিতে প্রমাণ (Proof by Mathematical Induction)
ধাপ ১: \(n = 1\) এর জন্য,
\((a+b)^1 = a+b = \binom{1}{0}a + \binom{1}{1}b\) — সত্য।
ধাপ ২: ধরা যাক \(n = k\) এর জন্য উপপাদ্যটি সত্য, অর্থাৎ:
\[(a+b)^k = \sum_{r=0}^{k} \binom{k}{r} a^{k-r} b^r\]
ধাপ ৩: \(n = k+1\) এর জন্য প্রমাণ করতে হবে:
\[(a+b)^{k+1} = (a+b)(a+b)^k = (a+b)\sum_{r=0}^{k} \binom{k}{r} a^{k-r} b^r\]
\[= \sum_{r=0}^{k} \binom{k}{r} a^{k-r+1} b^r + \sum_{r=0}^{k} \binom{k}{r} a^{k-r} b^{r+1}\]
প্রথম যোগজে \(r = s\) এবং দ্বিতীয় যোগজে \(r+1 = s\) ধরলে এবং \(\binom{k}{r} + \binom{k}{r-1} = \binom{k+1}{r}\) সূত্র প্রয়োগ করে প্রমাণ সম্পূর্ণ হয়।
বিশেষ ক্ষেত্র
\((1 + x)^n\) এর বিস্তৃতি
\[(1 + x)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \dots + \binom{n}{n}x^n\]
\[= \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r\]
\((1 - x)^n\) এর বিস্তৃতি
\[(1 - x)^n = \binom{n}{0} - \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 - \dots + (-1)^n\binom{n}{n}x^n\]
\[= \sum_{r=0}^{n} (-1)^r \binom{n}{r} x^r\]
প্যাসকেলের ত্রিভুজ (Pascal's Triangle)
দ্বিপদী সহগগুলোকে ত্রিভুজাকারে সাজালে যে কাঠামো পাওয়া যায় তাকে প্যাসকেলের ত্রিভুজ বলা হয়। এটি দ্বিপদী বিস্তৃতির সহগ নির্ণয়ে একটি সুন্দর জ্যামিতিক প্যাটার্ন প্রদান করে।
ত্রিভুজের গঠন
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5:1 5 10 10 5 1
প্যাসকেলের ত্রিভুজের ধর্ম
- প্রান্তিক সহগ: প্রতিটি সারির প্রথম ও শেষ সহগ ১।
- গঠন নিয়ম: যেকোনো সহগ তার ঠিক উপরের বাম ও ডান সহগের যোগফল। যেমন: \(6 = 3+3\), \(10 = 6+4\) ইত্যাদি।
- সমমিতি: প্রতিটি সারি বাম থেকে ডানে বা ডান থেকে বামে পড়লে একই হয় (সমমিতিক)।
- সারির যোগফল: \(n\) তম সারির সহগগুলোর যোগফল \(2^n\)। যেমন: \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)
উদাহরণ:
প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করে \((x + y)^5\) এর বিস্তৃতি লিখুন।
সমাধান:
\(n = 5\) এর সারির সহগগুলো: \(1, 5, 10, 10, 5, 1\)
\[(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5\]
দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদ (General Term)
\((a + b)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদকে সাধারণ পদ বলা হয়।
সাধারণ পদের সূত্র:
\[T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r\]
যেখানে \(r = 0, 1, 2, \dots, n\)
সূত্রের ব্যাখ্যা
- পদের ক্রমিক সংখ্যা \((r+1)\) হলে \(a\) এর ঘাত \((n-r)\) এবং \(b\) এর ঘাত \(r\) হয়।
- দুটি ঘাতের যোগফল সর্বদা \(n\) হয়।
- \(b\) এর ঘাতই সাধারণত পদের ক্রম বলে নির্দেশ করে (যেমন প্রথম পদে \(b^0\), দ্বিতীয় পদে \(b^1\) ইত্যাদি)।
উদাহরণ ১:
\((2x + 3y)^7\) বিস্তৃতির ৪র্থ পদ নির্ণয় করো।
সমাধান:
৪র্থ পদ মানে \(r+1 = 4\), সুতরাং \(r = 3\)
\[T_4 = \binom{7}{3} (2x)^{7-3} (3y)^3 = \binom{7}{3} (2x)^4 (3y)^3\]
\[= 35 \cdot 16x^4 \cdot 27y^3 = 15120 x^4 y^3\]
উদাহরণ ২:
\((x^2 - \frac{2}{x})^6\) বিস্তৃতিতে \(x^3\) এর সহগ নির্ণয় করো।
সমাধান:
\((r+1)\) তম পদ: \(T_{r+1} = \binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \left(-\frac{2}{x}\right)^r\)
\(= \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-2r} \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-3r}\)
\(x^3\) এর জন্য: \(12 - 3r = 3 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3\)
সহক: \(\binom{6}{3} (-2)^3 = 20 \cdot (-8) = -160\)
মধ্যপদ (Middle Term)
দ্বিপদী বিস্তৃতিতে মধ্যপদের সংখ্যা \(n\) এর মানের উপর নির্ভরশীল।
ক্ষেত্র ১: যখন \(n\) জোড় (Even)
যখন ঘাত \(n\) একটি জোড় সংখ্যা, তখন বিস্তৃতিতে মোট \((n+1)\)টি পদ থাকে (যা বিজোড় সংখ্যা), সুতরাং কেবল একটি মধ্যপদ থাকে।
\[\text{মধ্যপদ} = T_{\frac{n}{2} + 1}\]
সূত্র: \(T_{\frac{n}{2} + 1} = \binom{n}{n/2} a^{n/2} b^{n/2}\)
ক্ষেত্র ২: যখন \(n\) বিজোড় (Odd)
যখন ঘাত \(n\) একটি বিজোড় সংখ্যা, তখন মোট \((n+1)\)টি পদ থাকে (যা জোড় সংখ্যা), সুতরাং দুটি মধ্যপদ থাকে।
\[\text{প্রথম মধ্যপদ} = T_{\frac{n+1}{2}}\]
\[\text{দ্বিতীয় মধ্যপদ} = T_{\frac{n+3}{2}}\]
উদাহরণ ১:
\((2x + 3y)^8\) এর মধ্যপদ নির্ণয় করো।
সমাধান:
এখানে \(n = 8\) (জোড়)
মধ্যপদ ক্রম: \(\frac{8}{2} + 1 = 5\) অর্থাৎ \(T_5\)
\[T_5 = \binom{8}{4} (2x)^4 (3y)^4 = 70 \cdot 16x^4 \cdot 81y^4 = 90720 x^4 y^4\]
উদাহরণ ২:
\((x + 2y)^7\) এর মধ্যপদদ্বয় নির্ণয় করো।
সমাধান:
এখানে \(n = 7\) (বিজোড়)
মধ্যপদদ্বয়ের ক্রম: \(\frac{7+1}{2} = 4\) এবং \(\frac{7+3}{2} = 5\)
অর্থাৎ \(T_4\) ও \(T_5\)
\[T_4 = \binom{7}{3} x^4 (2y)^3 = 35 \cdot x^4 \cdot 8y^3 = 280x^4y^3\]
\[T_5 = \binom{7}{4} x^3 (2y)^4 = 35 \cdot x^3 \cdot 16y^4 = 560x^3y^4\]
সমদূরবর্তী পদ (Equidistant Terms)
বিস্তৃতির শুরু থেকে এবং শেষ থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত পদগুলোকে সমদূরবর্তী পদ বলা হয়।
বৈশিষ্ট্য
\((a+b)^n\) বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদ এবং শেষ থেকে \((r+1)\) তম পদ (অর্থাৎ \((n-r+1)\) তম পদ) সমদূরবর্তী।
সহগের সমতা:
সমদূরবর্তী পদগুলোর দ্বিপদী সহগ সমান:
\[\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\]
যেমন: \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n}\), \(\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1}\) ইত্যাদি।
সমদূরবর্তী পদের সম্পর্ক
যদি প্রথম থেকে \((r+1)\) তম পদ হয় \(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r}b^r\)
তাহলে শেষ থেকে \((r+1)\) তম পদ হবে \(\binom{n}{r} a^{r}b^{n-r}\)
লক্ষ্য করুন: এক পদে \(a\) এর ঘাত অন্য পদে \(b\) এর ঘাত হয় এবং বিপরীতমুখী।
উদাহরণ:
\((x + y)^6\) বিস্তৃতিতে দ্বিতীয় ও পঞ্চম পদের সম্পর্ক দেখাও।
সমাধান:
দ্বিতীয় পদ (\(r=1\)): \(T_2 = \binom{6}{1}x^5y = 6x^5y\)
পঞ্চম পদ (\(r=4\)): \(T_5 = \binom{6}{4}x^2y^4 = 15x^2y^4\)
সহগের সমতা: \(\binom{6}{1} = 6\) এবং \(\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15\) — সমান নয়!
সংশোধন: পঞ্চম পদ শেষ থেকে দ্বিতীয় পদ। শেষ থেকে দ্বিতীয় পদ মানে \((n-1+1) = 6\) তম পদ? না, শেষ থেকে দ্বিতীয় হলো \(T_{n}\) অর্থাৎ \(T_6\) যখন \(n=6\)?
সঠিক বিশ্লেষণ: প্রথম থেকে \(r=1\) (দ্বিতীয় পদ) এবং শেষ থেকে \(r=1\) (অর্থাৎ \(n-r = 5\), সুতরাং \(T_6\))
\(T_6 = \binom{6}{5}xy^5 = 6xy^5\)
এখানে \(\binom{6}{1} = \binom{6}{5} = 6\) এবং পদগুলো যথাক্রমে \(x^5y\) ও \(xy^5\) — চলকের ঘাতগুলো বিপরীত।
দ্বিপদী সহগের গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম
১. সহগগুলোর যোগফল
\((1 + 1)^n = 2^n\) হতে:
\[\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n\]
২. বিজোড় ক্রমিক সহগের যোগফল
\((1 - 1)^n = 0\) হতে:
\[\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} + \dots = 0\]
অর্থাৎ বিজোড় ক্রমিক সহগগুলোর যোগফল = জোড় ক্রমিক সহগগুলোর যোগফল
\[\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + \dots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \dots = 2^{n-1}\]
৩. ওজনযুক্ত যোগফল
ঘাতের সাহায্যে ওজন দিলে:
\[1 \cdot \binom{n}{1} + 2 \cdot \binom{n}{2} + 3 \cdot \binom{n}{3} + \dots + n \cdot \binom{n}{n} = n \cdot 2^{n-1}\]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- দ্বিপদী উপপাদ্য: \((a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r}b^r\), যা আরোহ বিধিতে প্রমাণযোগ্য
- প্যাসকেলের ত্রিভুজ: দ্বিপদী সহগগুলোর ত্রিভুজাকার বিন্যাস; প্রতি সারির যোগ \(2^n\)
- সাধারণ পদ: \(T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r}b^r\); \(a\) ও \(b\) এর ঘাতের যোগ সর্বদা \(n\)
- মধ্যপদ: \(n\) জোড় হলে একটিই (\(T_{\frac{n}{2}+1}\)); \(n\) বিজোড় হলে দুটি (\(T_{\frac{n+1}{2}}\) ও \(T_{\frac{n+3}{2}}\))
- সমদূরবর্তী পদ: সহগ সমান \(\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\); চলকের ঘাত বিপরীত
- সহগের যোগ: মোট \(2^n\); জোড় ও বিজোড় অবস্থানের সহক সমান সমান \(2^{n-1}\)