হোম / বই / একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি / উচ্চতর গণিত ২য় পত্র / স্থিতিবিদ্যা /
৩য় অনুচ্ছেদ
/ অনুশীলনী
    1. 5 মিটার দীর্ঘ অনুভূমিক একটি দণ্ডের দুই প্রান্তে দুইটি খুঁটি রয়েছে।

      (a) এক প্রান্ত থেকে 4 মিটার দূরে 500 কেজি ওজনের একটি ভারী বস্তু ঝুলানো হলে খুঁটির দুইটির প্রতিক্রিয়া নির্ণয় কর।
      (b) একটি খুঁটি যদি 200 কেজি চাপ সহ্য করতে পারে তবে অপর খুঁটি থেকে সর্বোচ্চ কত দূরে 500 কেজি ওজন ঝুলানো যাবে?
    2. দুইজন লোকের একজন এক প্রান্ত থেকে \( \frac{1}{2} \) মিটার দূরে এবং অপর জন অপর প্রান্ত থেকে \( \frac{1}{4} \) মিটার দূরে 85 কেজি ওজনের 5 মিটার দীর্ঘ একটি সমসত্ত্ব দণ্ড বয়ে নিয়ে যাচ্ছে। কে কত পরিমাণ ওজন বহন করবে?
    3. 3.5 মিটার দীর্ঘ একটি হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে 21 ও 49 কেজি ওজনের দুটি বস্তু ঝুলানো আছে। একজন লোক এক হাতে দণ্ডটি সমভাবে বহন করতে চায়। সে দণ্ডটির কোথায় ধরবে এবং কত ওজন বহন করবে?
    4. 6 মিটার দীর্ঘ একটি সমসত্ত্ব তক্তা দুইটি খুঁটির সাহায্যে স্থিত আছে। একটি খুঁটি তক্তার এক প্রান্তে এবং অপর খুঁটি তক্তার অপর প্রান্ত থেকে 1 মিটার ভিতরে অবস্থিত। ঐ প্রান্তে সর্বোচ্চ 30 কেজি ওজন ঝুলানো গেলেও যদি তক্তাটি স্থিত থাকে, তবে তক্তার ওজন কত?
    5. একজন লোক একটি লাঠি কাঁধের উপর অনুভূমিকভাবে স্থাপন করে এক প্রান্তে হাত রেখে অপর প্রান্তে \( W \) ওজনের একটি বস্তু বহন করছে। যদি তার কাঁধ হতে বস্তু ও হাতের দূরত্ব যথাক্রমে \( a \) ও \( x \) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, তার কাঁধের উপর চাপের পরিমাণ হবে \[ W\!\left(1 + \frac{a}{x}\right). \]
      [ঢা: বো: ১৪; রা: বো: ১৪; দি: বো: ১৬; সি: বো: ০৫; কু: বো: ১০]
    6. \( 2a \) দৈর্ঘ্য এবং \( W \) ওজনবিশিষ্ট একটি সমসত্ত্ব তক্তা \( b \) দূরে অবস্থিত দুইটি খুঁটির উপর অনুভূমিকভাবে অবস্থিত। একে না উল্টিয়ে এর দুই প্রান্তে পর্যায়ক্রমে সর্বাধিক \( W_1 \) এবং \( W_2 \) ওজন ঝুলানো যায়। প্রমাণ কর যে, \[ \frac{W_1}{W + W_1} + \frac{W_2}{W + W_2} = \frac{b}{a}. \]
    1. 32 সেমি. ব্যবধানে একটি সমসত্ত্ব হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে 4 N ও 12 N মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে। প্রত্যেকের সাথে একই পরিমাণ বল বৃদ্ধি করলে এদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু 6 সেমি. দূরে সরে যায়। প্রত্যেকের সাথে কী পরিমাণ বল বৃদ্ধি করা হয়েছে?
    2. দুইটি বিপরীতমুখী সমান্তরাল বল \( P \) ও \( Q \) (\( P > Q \)) এর প্রত্যেকের মান যদি সমপরিমাণে বৃদ্ধি করা হয়, তবে প্রমাণ কর যে, তাদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \( P \) হতে আরও দূরে সরে যাবে।
      [ঢা: বো: ১৪; রা: বো: ০৮; দি: বো: ১৪; কু: বো: ১৩, ০৮; চ: বো: ১৩, ০৯; সি: বো: ১৩; ব: বো: ১৩]
    3. 5 N ও 3 N মানের দুইটি বিপরীতমুখী সমান্তরাল বল যথাক্রমে \( A \) ও \( B \) বিন্দুতে 10 সেমি. ব্যবধানে ক্রিয়াশীল। প্রত্যেক বলের মান 3 N করে বৃদ্ধি করলে, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরে সরে যাবে?
      [রাজশাহী বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(খ)]
    4. 20 সেমি. ব্যবধানে একটি সমসত্ত্ব হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে 8 N ও 4 N মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে। প্রত্যেক বলের মান 4 N করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরে সরে যাবে?
      [যশোর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(খ)]
    5. 8 মি. দৈর্ঘ্য ও 42 কেজি ওজনের \( AB \) তক্তা দুইটি খুঁটির উপর অনুভূমিকভাবে স্থাপিত। একটি খুঁটি \( A \) প্রান্তে, অপরটি \( B \) প্রান্ত হতে 2 মি. ভিতরে অবস্থিত। 55 কেজি ওজনের একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে \( B \) প্রান্তের দিকে কতদূর যেতে পারবে?
      [রাজশাহী, কুমিল্লা, চট্টগ্রাম ও বরিশাল বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–৬(খ)]
    6. 8 মিটার দীর্ঘ 12 কেজি ওজনের একটি সমসত্ত্ব তক্তা দুইটি খুঁটির উপর অনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি \( A \) প্রান্তে এবং অন্যটি \( B \) প্রান্ত হতে 1 মিটার ভিতরে অবস্থিত। একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে \( B \) প্রান্তে পৌঁছালে বালকের ওজন কত?
      [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(খ)]
    1. দেখাও যে, \( P \) ও \( Q \) দুইটি সমান্তরাল বলের মধ্যে \( Q \) কে \( \dfrac{P^2}{Q} \)-তে পরিবর্তন করে \( P \)-এর সাথে স্থান পরিবর্তন করলে তাদের লব্ধির অবস্থান একই থাকে।
      [চ: বো: ০৫; ব: বো: ১০]
    2. \( P \) ও \( Q \) দুইটি সমান্তরাল বল কোনো একটি বস্তুর উপর দুইটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। এদের অবস্থান বিনিময় করলে যদি লব্ধির অবস্থান অপরিবর্তিত থাকে, তবে প্রমাণ কর যে, \( P = Q \)।
      [কুমিল্লা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
    3. \( P \) ও \( Q \) মানের দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বলের লব্ধি \( O \) বিন্দুতে ক্রিয়া করে। \( P \) কে \( R \) পরিমাণ এবং \( Q \) কে \( S \) পরিমাণ বৃদ্ধি করলেও লব্ধি \( O \) বিন্দুতে ক্রিয়া করে। আবার \( P, Q \)-এর বদলে \( Q, R \) ক্রিয়া করলেও লব্ধি \( O \) তে ক্রিয়া করে। দেখাও যে, \[ S = R - \frac{(Q - R)^2}{P - Q}. \]
    4. \( P \) ও \( Q \) দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বল। \( P \) বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দুকে \( Q \)-এর দিকে \( x \) দূরে সরালে দেখাও যে, তাদের লব্ধি \[ \frac{Px}{P + Q} \] দূরে সরে যাবে।
      [সিলেট, বরিশাল বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ); ঢাকা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(খ)]
    5. কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়ারত দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বল \( P \) ও \( Q \)-এর সাথে একই সমতলে \( b \) দূরে দুইটি সমান \( S \) মানের বিপরীতমুখী সমান্তরাল বল প্রয়োগ করলে দেখাও যে, মিলিত বলগুলির লব্ধি \[ \frac{bS}{P + Q} \] দূরে সরে যাবে।
      [বরিশাল বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(গ); ঢাকা, দিনাজপুর বোর্ড–২০১৭ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
    6. 16N ও 12N মানের দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বল একটি কঠিন বস্তুর উপর যথাক্রমে \( L \) ও \( M \) বিন্দুতে ক্রিয়া করছে। বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে \( LM \) বরাবর তাদের লব্ধির সরণ নির্ণয় কর।
      [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ)]
    7. \( P \) ও \( Q \) মানের দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বলের লব্ধি \( C \) বিন্দুতে ক্রিয়া করে। \( P \) কে \( (R+3) \) এবং \( Q \) কে \( (S+2) \) পরিমাণ বৃদ্ধি করলেও লব্ধি \( C \)-তে ক্রিয়া করে। আবার \( P, Q \)-এর বদলে \( Q, (R+3) \) ক্রিয়া করলেও লব্ধি \( C \)-তে ক্রিয়া করে। দেখাও যে, \[ R = S + \frac{(Q - R - 3)^2}{P - Q} - 1. \]
      [ঢাকা, দিনাজপুর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(গ)]
    8. \( P_1 \) এবং \( P_2 \) দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বল যথাক্রমে \( A \) ও \( B \) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। \( P_1 = 4, P_2 = 6 \) হলে এবং বল দুইটির প্রত্যেককে 2 একক পরিমাণ বৃদ্ধি করলে লব্ধির সরণ নির্ণয় কর।
      [বরিশাল বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(গ)]
    9. 24N ও 18N মানের দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বল পরস্পর 10m দূরে ক্রিয়াশীল। বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \( d \) দূরে সরে যায়। প্রমাণ কর যে, \[ d = \frac{10}{7} \text{ মিটার}. \]
      [রাজশাহী বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ)]
    10. 10N ও 15N মানের দুইটি বিপরীতমুখী সমান্তরাল বল পরস্পর 20cm দূরে ক্রিয়াশীল। বলদ্বয়ের সাথে সমপরিমাণ কত বল যোগ করলে লব্ধি পূর্বের লব্ধি থেকে 8cm দূরে সরে যাবে?
      [ঢাকা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(গ)]
    1. কোনো ত্রিভুজের কোণিক বিন্দুগুলিতে \( P, Q, R \) মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। এদের লব্ধি ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে ক্রিয়ারত হলে দেখাও যে, \( P = Q = R \)।
      [কুমিল্লা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ); ঢাকা, দিনাজপুর, যশোর ও সিলেট বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
    2. \( ABC \) ত্রিভুজের \( A, B, C \) কোণিক বিন্দুতে যথাক্রমে \( P, Q, R \) মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। তাদের লব্ধি ঐ ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্রগামী হলে প্রমাণ কর যে,

      (a) \[ \frac{P}{\tan A} = \frac{Q}{\tan B} = \frac{R}{\tan C} \]
      (b) \[ P(b^2 + c^2 - a^2) = Q(c^2 + a^2 - b^2) = R(a^2 + b^2 - c^2). \]
      [সিলেট বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ); ঢা: বো: ১২; দি: বো: ১১]
    3. \( P, Q, R \) মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল \( ABC \) ত্রিভুজের কোণিক বিন্দুতে ক্রিয়া করছে। তাদের সাধারণ দিক যাই হোক না কেন, তাদের লব্ধি যদি সর্বদাই ঐ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্রে ক্রিয়ারত হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \[ \frac{P}{\sin 2A} = \frac{Q}{\sin 2B} = \frac{R}{\sin 2C}. \]
      [সিলেট বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ); সিলেট বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
    4. \( P, Q, R \) সমমুখী সমান্তরাল বল তিনটি \( ABC \) ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুতে ক্রিয়ারত আছে। তাদের সাধারণ দিক যাই হোক না কেন, লব্ধি সর্বদাই পরিকেন্দ্রে ক্রিয়ারত হলে প্রমাণ কর যে, \[ P : Q : R = a\cos A : b\cos B : c\cos C. \]
      [চ: বো: ১০]
    5. \( O \) বিন্দুটি \( ABC \) ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র এবং \( AO \) বরাবর \( P \) মানের বলটি ক্রিয়া করেছে। দেখাও যে, \( B \) ও \( C \) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \( P \) বলের সমান্তরাল অংশদ্বয়ের অনুপাত \( \sin 2B : \sin 2C \)।
      [বরিশাল বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ); রা: বো: ১২; কু: বো: ১৫; সি: বো: ১২; য: বো: ১২]
    6. একটি দণ্ডের একপ্রান্ত হতে 2, 8, 6 মিটার দূরে অবস্থিত তিনটি বিন্দুতে যথাক্রমে \( P, Q, R \) মানের তিনটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করেছে। দণ্ডটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, \[ P : Q : R = 1 : 2 : 3. \]
      [যশোর বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ); চ: বো: ১৬; সি: বো: ১১; রা: বো: ০৮; কু: বো: ১৫]
    7. \( ABC \) সমবাহু ত্রিভুজের \( BC, CA, AB \) বাহুর সমান্তরালে যথাক্রমে 5, 7, 9 একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত। বলগুলির লব্ধি নির্ণয় কর।
      [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
    8. একটি কাঁঠাল গাছের তিনটি ডালে \( A, B, C \) বিন্দুতে যথাক্রমে 8 kg, 7 kg, 5 kg ওজনের তিনটি কাঁঠাল ঝুলছে। কাঁঠালগুলির ওজনের লব্ধি \( ABC \) ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্রগামী হলে দেখাও যে, \[ \cos A : \cos B : \cos C = 35 : 50 : 28, \] যেখানে \( a = 4, b = 5, c = 2 \)।
      [ময়মনসিংহ বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
    1. \( W \) ওজনবিশিষ্ট একটি বৃত্তাকার টেবিলের চারটি পা টেবিলের কিনারায় পরস্পর সমান দূরত্বে লাগানো আছে। দেখাও যে, টেবিলটি উল্টিয়ে ফেলার জন্য \( (\sqrt{2} + 1)W \) এর সামান্য বেশি ওজনই যথেষ্ট।
    2. \( ABC \) একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ। সমান বাহু \( AB \) ও \( AC \)-এর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 6 মিটার। \( A, B, C \) বিন্দুতে একটি বলের মান যথাক্রমে 12, 12 ও 18 কেজি/মিটার। বলটির মান ও গতিপথ নির্ণয় কর।
Link-previous SVG Icon পূর্ববর্তী পাঠ