নিম্নের সমীকরণ দ্বারা সৃষ্ট পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর:

1. \( y^2 = 4x \)
2. \( x^2 = -10y \)
3. \( x^2 = 4(1 - y) \)
   [বরিশাল বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–৫(ক); ঢা: বো: ১১; রা: বো: ০৮; চ: বো: ১১; কু: বো: ০৯]
4. \( y^2 = 2(x + 3) \)
   [ঢা: বো: ১৩; মাদ্রাসা বো: ১২]

1. \( x^2 = -12y \) পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।
   [ঢাকা, দিনাজপুর, যশোর ও সিলেট বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–৫(ক)]
2. \( y^2 = 4px \) পরাবৃত্তটি \( (3, -2) \) বিন্দুগামী হলে, তার উপকেন্দ্র ও উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
   [বরিশাল বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৫(খ); রা: বো: ০৬; দি: বো: ১৬, ১৪, ০৯; সি: বো: ০৭; ব: বো: ১২, ১০, ০৫; য: বো: ১৪; মাদ্রাসা বো: ১৩, ০৯]
3. \( (x - 3)^2 = 4(y + 2) \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
   [সিলেট বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৬(ক)]
4. \( y = 3x^2 + 12x + 5 \) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
   [ময়মনসিংহ বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৬(খ)]

নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সৃষ্ট পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ, অক্ষের সমীকরণ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর:

1. \( y^2 = 4x + 4y - 8 \)
   [রা: বো: ১২, ১০; দি: বো: ১৫; য: বো: ০৭, ০৫; ব: বো: ১১]
2. \( 3y^2 - 10x - 12y - 18 = 0 \)
   [কু: বো: ১৬; য: বো: ০৯; চ: বো: ১৩; ব: বো: ১৪]
3. \( 3x^2 - 4y + 3x - 5 = 0 \)
   [চ: বো: ১৪; সি: বো: ০৬]
4. \( 5x^2 + 30x + 2y + 59 = 0 \)
   [ঢা: বো: ১০, ০৬; য: বো: ১৬, ১১; কু: বো: ১৫, ১৪, ১২, ০৮; চ: বো: ০৯, ০৬; সি: বো: ১১; দি: বো: ১৩; ব: বো: ১৬, ১৪]

1. \( y^2 = 16x \) পরাবৃত্তের উপরস্থিত কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব 6; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
   [চট্টগ্রাম ০৪–০৫; ঢা: বো: ১২, ০৮, ০৫; কু: বো: ১০; য: বো: ১৫; রা: বো: ০৭; দি: বো: ১০; সি: বো: ১২, ০৭; ব: বো: ১৩]
2. \( y^2 = 32x \) পরাবৃত্তের কোনো বিন্দুর ফোকাস দূরত্ব 10; বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
3. \( y^2 = 12x \) পরাবৃত্তের কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব 7; ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

এরূপ পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার:

1. উপকেন্দ্র \( (1, 1) \) এবং নিয়ামকের সমীকরণ \( 3x + 4y = 1 \)।
   [ঢা: বো: ০৭; য: বো: ১০; রা: বো: ০৫; কু: বো: ১৪, ০৫; ব: বো: ১১, ০৫; সি: বো: ০৮; চ: বো: ১২, ০৫; দি: বো: ১৪]
2. উপকেন্দ্র \( (0, -4) \) এবং নিয়ামকের সমীকরণ \( y - 4 = 0 \)।
   [কু: বো: ০৭]
3. উপকেন্দ্র \( (0, a) \) এবং নিয়ামকের সমীকরণ \( y + a = 0 \)।
   [কু: বো: ০৬]

উপকেন্দ্র \( (-1, 1) \) এবং \( x + y + 1 = 0 \) নিয়ামক বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ, পরাবৃত্তের অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও এর সমীকরণ নির্ণয় কর।

পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার:

1. শীর্ষবিন্দু \( (2, 3) \) এবং নিয়ামকের সমীকরণ \( y = 6 \)।
   [ব: বো: ১২; য: বো: ০৯; কু: বো: ০৮]
2. শীর্ষবিন্দু \( (3, 1) \) এবং নিয়ামকের সমীকরণ \( 4x + 3y = 5 \)।
3. উপকেন্দ্র \( (7, 3) \) এবং শীর্ষবিন্দু \( (-1, 3) \)।
   [কুমিল্লা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৫(খ)]
4. উপকেন্দ্র \( (0, 2) \) এবং শীর্ষবিন্দু \( (3, 2) \)।
   [ঢাকা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৬(গ); সিলেট বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৫(খ)]

1. উপকেন্দ্র \( (-1, 1) \) এবং \( (2, -3) \) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট পরাবৃত্তের অক্ষ ও নিয়ামকের সমীকরণ এবং পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
   [ময়মনসিংহ বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৫(গ); কুয়েট ০৫–০৬; ঢা: বো: ১৪; রা: বো: ১৩; চ: বো: ১০]
2. কোনো পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \( (0, 0) \) এবং শীর্ষবিন্দু \( (-2, -1) \) হলে নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
   [দিনাজপুর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৫(গ); চ: বো: ১০; ব: বো: ০৮; সি: বো: ১১]
3. উপকেন্দ্র \( (-1, 3) \) এবং শীর্ষবিন্দু \( (4, 3) \) পরাবৃত্তের সমীকরণ ও তার অক্ষের সমীকরণ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
   [কু: বো: ১১; সি: বো: ০৬; ব: বো: ১৩]

1. একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \( (4, -3) \) বিন্দুতে অবস্থিত এবং নিয়ামক \( x \)-অক্ষের সমান্তরাল এবং যা \( (-4, -7) \) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে।
   [সি: বো: ০৫, ১২]
2. একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দু \( (4, -3) \), উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য 4 এবং অক্ষটি \( x \)-অক্ষের সমান্তরাল।
   [চট্টগ্রাম ১০–১১; বুয়েট ০৫–০৬; বুয়েট ০৪–০৫; কু: বো: ০৮; দি: বো: ১৪]
3. \( (3, 3), (6, 5) \) এবং \( (6, -3) \) বিন্দুগামী যে পরাবৃত্তের অক্ষ \( x \)-অক্ষের সমান্তরাল, তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
4. একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যার অক্ষরেখা \( x \)-অক্ষের সমান্তরাল এবং শীর্ষবিন্দু \( y \)-অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা \( (0, 2) \) ও \( \left(\dfrac{1}{2}, 0\right) \) বিন্দুগামী।
5. কোনো পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু \( (-2, 2) \) ও \( (-2, -4) \) হলে পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

1. \( y^2 = 12x \) পরাবৃত্তের একটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \( x + 2y - 1 = 0 \) রেখার উপর লম্ব।
2. \( y = 2x + 2 \) রেখাটি \( y^2 = 4ax \) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
3. দেখাও যে, \( lx + my + n = 0 \) সরলরেখাটি \( y^2 = 4ax \) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি \( ln = am^2 \) হয়।
   [রা: বো: ০৫; কু: বো: ০৫; চ: বো: ১৬; মাদ্রাসা বো: ০৯]
4. যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \( (2, 5) \) বিন্দুতে এবং \( x = 4 \) রেখাটি তাকে শীর্ষে স্পর্শ করে, তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
   [কু: বো: ১২; সি: বো: ১৩]
5. কোনো পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র মূলবিন্দুতে অবস্থিত এবং \( x - y + 1 = 0 \) রেখাটি পরাবৃত্তকে তার শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে, পরাবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
   [বুয়েট ০৫–০৬]
6. \( 3x - 2y + 5 = 0 \) রেখাটি \( y^2 = 4ax \) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে, \( a \) এর মান নির্ণয় কর।

1. \( y = ax^2 + bx + c \) পরাবৃত্তটির শীর্ষ \( (-2, 3) \) বিন্দুতে অবস্থিত এবং এটি \( (0, 5) \) বিন্দুদিয়ে অতিক্রম করে। \( a, b, c \) এর মান নির্ণয় কর।
   [MIST লিখিত পরীক্ষা: ২২–২৩; ঢা: বো: ১৬, ১৩, ০৮, ০৬; রা: বো: ১৪, ১১; য: বো: ১৪, ০৫; চ: বো: ১২, ০৯; দি: বো: ১২, ০৬; কু: বো: ১৪, ১৩, ০৮; সি: বো: ১৫, ১৪; ব: বো: ১২]
2. \( x = ay^2 + by + c \) পরাবৃত্তটির শীর্ষ \( (3, -2) \) বিন্দুতে অবস্থিত এবং এটি \( (5, 0) \) বিন্দুগামী। \( a, b, c \) এর মান নির্ণয় কর।