৮.৩ জড় বস্তুর উপর সমান্তরাল বলের লব্ধি (Resultant of Parallel Forces)
পূর্ববর্তী আলোচনায় আমরা দেখেছি যে কীভাবে একই বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বলগুলোর লব্ধি নির্ণয় করা হয়। কিন্তু বাস্তবে প্রায়শই এমন পরিস্থিতি দেখা যায় যেখানে বলগুলো পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু ভিন্ন ভিন্ন বিন্দুতে ক্রিয়া করে, যেমন দুজন ব্যক্তি একটি বস্তুর দুটি প্রান্ত ধরে টানা বা দুটি ভিন্ন স্থানে ভার রাখা। এই ধরনের সমান্তরাল বল (Parallel Forces) এর লব্ধি নির্ণয়ের জন্য শুধু বলের মানের যোগফল যথেষ্ট নয়, এর ক্রিয়া বিন্দু (Point of Application) নির্ধারণও অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই অধ্যায়ে আমরা দুটি সদৃশ (একই দিকে) এবং দুটি অসদৃশ (বিপরীত দিকে) সমান্তরাল বলের লব্ধির মান, দিক এবং ক্রিয়া বিন্দু নির্ণয়ের সূত্রাবলী বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব।
সমান্তরাল বলের প্রাথমিক ধারণা ও শ্রেণীবিভাগ
সমান্তরাল বলের সংজ্ঞা
যখন দুই বা ততোধিক বলের ক্রিয়ারেখা পরস্পরের সমান্তরাল হয়, অর্থাৎ তারা কখনো ছেদ করে না, তখন সেই বলগুলোকে সমান্তরাল বল বলা হয়। এই বলগুলো একই সমতলে বা ভিন্ন সমতলে থাকতে পারে। একই সমতলে থাকলে তাদের সমতলীয় সমান্তরাল বল বলে।
সমান্তরাল বলের প্রকারভেদ
সমান্তরাল বল দুই প্রকারের হয়:
- সদৃশ সমান্তরাল বল (Like Parallel Forces): যখন দুটি বল একই দিকে ক্রিয়া করে। যেমন, দুজন ব্যক্তি একটি টেবিলের একই দিকে ঠেলা দেওয়া।
- অসদৃশ সমান্তরাল বল (Unlike Parallel Forces): যখন দুটি বল বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে। যেমন, দুটি ভিন্ন দিক থেকে একটি দণ্ড টানা বা কম্পাসের দুটি পা একে অপরের বিপরীত দিকে চাপ দেওয়া।
সমান্তরাল বলের লব্ধির প্রকৃতি
সমান্তরাল বলের লব্ধি একটি একক বল যা সমস্ত বলের প্রভাব প্রতিস্থাপন করে। এর বৈশিষ্ট্য:
- লব্ধি বলও অবশ্যই অন্যান্য বলের সমান্তরাল হয়।
- সদৃশ বলের ক্ষেত্রে লব্ধির দিক সেই একই দিকে হয়।
- অসদৃশ বলের ক্ষেত্রে লব্ধির দিক বড় বলের দিকে হয়।
- লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু নির্ধারণের জন্য মুহূর্তের উপপাদ্য (Principle of Moments) প্রয়োগ করা হয়।
দুটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি
ধরা যাক, দুটি সদৃশ সমান্তরাল বল \(P\) ও \(Q\) যথাক্রমে বিন্দু \(A\) ও \(B\) তে ক্রিয়া করে এবং উভয়ই একই দিকে (ধরা যাক ডানদিকে) ক্রিয়াশীল। এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(AB = d\)।
লব্ধির মান নির্ণয়
সদৃশ সমান্তরাল বলের ক্ষেত্রে লব্ধির মান বল দুটির যোগফল:
\[R = P + Q\]
লব্ধির দিক বল দুটির দিকের সমান, অর্থাৎ ডানদিকে।
ক্রিয়া বিন্দু নির্ণয়ের সূত্র
লব্ধি \(R\) এমন একটি বিন্দু \(G\) তে ক্রিয়া করবে যা \(A\) ও \(B\) এর মধ্যে অবস্থিত। মুহূর্তের উপপাদ্য অনুযায়ী, যেকোনো বিন্দুর সাপেক্ষে লব্ধির মুহূর্ত অপর বলগুলোর মুহূর্তের যোগফলের সমান।
\(A\) বিন্দুর সাপেক্ষে মুহূর্ত নিলে:
\[R \times AG = Q \times AB\]
\[(P + Q) \times AG = Q \times d\]
\[AG = \frac{Q \times d}{P + Q}\]
একইভাবে, \(B\) বিন্দুর সাপেক্ষে মুহূর্ত নিলে:
\[BG = \frac{P \times d}{P + Q}\]
বিপরীত অনুপাতের সূত্র
উপরের দুটি সমীকরণ থেকে পাই:
\[\frac{AG}{BG} = \frac{Q}{P}\]
অর্থাৎ \(P \times AG = Q \times BG\)
এই গুরুত্বপূর্ণ সূত্রটি বলে যে, দুটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু সেই দুটি বলের সংযোজক রেখাকে আভ্যন্তরে বিভক্ত করে এবং বলগুলোর মানের বিপরীত অনুপাতে বিভক্ত করে। অর্থাৎ, বড় বলের দিকে ক্রিয়া বিন্দু কাছাকাছি এবং ছোট বলের দিকে দূরে অবস্থান করে।
উদাহরণ: ৬ নিউটন ও ৪ নিউটনের দুটি সদৃশ সমান্তরাল বল একটি সরলরেখার বিন্দু \(A\) ও \(B\) তে ক্রিয়া করে, যেখানে \(AB = 10\) সেমি। লব্ধির মান ও ক্রিয়া বিন্দু \(A\) থেকে দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে: \(P = 6\) নিউটন, \(Q = 4\) নিউটন, \(d = 10\) সেমি
লব্ধির মান: \(R = P + Q = 6 + 4 = 10\) নিউটন
ক্রিয়া বিন্দু \(G\) নির্ণয়:
\(P \times AG = Q \times BG\)
ধরি \(AG = x\) সেমি, তাহলে \(BG = (10 - x)\) সেমি
\(6x = 4(10 - x)\)
\(6x = 40 - 4x\)
\(10x = 40\)
\(x = 4\) সেমি
সুতরাং লব্ধি \(A\) থেকে ৪ সেমি দূরে এবং \(B\) থেকে ৬ সেমি দূরে ক্রিয়া করে।
যাচাই: \(\frac{AG}{BG} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) এবং \(\frac{Q}{P} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) (সমান)
দুটি অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি
ধরা যাক, দুটি অসদৃশ সমান্তরাল বল \(P\) ও \(Q\) (\(P > Q\) ধরি) যথাক্রমে বিন্দু \(A\) ও \(B\) তে ক্রিয়া করে, যেখানে \(P\) ডানদিকে এবং \(Q\) বামদিকে ক্রিয়াশীল। মনে করি \(AB = d\)।
লব্ধির মান নির্ণয়
অসদৃশ সমান্তরাল বলের ক্ষেত্রে লব্ধির মান বল দুটির পার্থক্য:
\[R = P - Q\]
(যেখানে \(P > Q\) ধরা হয়েছে)
লব্ধির দিক বড় বল \(P\) এর দিকে, অর্থাৎ ডানদিকে।
ক্রিয়া বিন্দু নির্ণয়ের সূত্র
অসদৃশ বলের ক্ষেত্রে লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু \(G\) বড় বল \(P\) এর দিকে, \(A\) ও \(B\) এর বাইরে অবস্থিত। মুহূর্তের উপপাদ্য প্রয়োগ করে:
\(B\) বিন্দুর সাপেক্ষে মুহূর্ত নিলে:
\[R \times BG = P \times AB\]
\[(P - Q) \times BG = P \times d\]
\[BG = \frac{P \times d}{P - Q}\]
একইভাবে, \(A\) বিন্দুর সাপেক্ষে মুহূর্ত নিলে:
\[AG = \frac{Q \times d}{P - Q}\]
লক্ষণীয় যে এখানে \(AG = AB + BG = d + BG\) নয়, বরং \(BG = AG - AB\) বা \(AG = BG + d\) সম্পর্কটি বিবেচনা করতে হবে। আসলে, ক্রিয়া বিন্দু \(G\) এমনভাবে অবস্থিত যে \(BG - AG = d\) (যদি \(G\), \(A\) এর বাইরে \(B\) এর দিকে হয়) বা উপযুক্ত হিসাব করতে হবে।
বিপরীত অনুপাতের সূত্র (বহির্ভাগে বিভাজন)
উপরের সমীকরণগুলো থেকে পাই:
\[\frac{AG}{BG} = \frac{Q}{P}\]
অর্থাৎ \(P \times AG = Q \times BG\)
এই সূত্রটি বলে যে, দুটি অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু সেই দুটি বলের সংযোজক রেখাকে বহির্ভাগে বিভক্ত করে এবং বলগুলোর মানের বিপরীত অনুপাতে বিভক্ত করে। ক্রিয়া বিন্দু সর্বদা বড় বলের দিকে অবস্থিত এবং ছোট বল থেকে দূরতর এবং বড় বল থেকে নিকটতর হয়।
উদাহরণ: ১০ নিউটন ও ৪ নিউটনের দুটি অসদৃশ সমান্তরাল বল একটি সরলরেখার বিন্দু \(A\) ও \(B\) তে ক্রিয়া করে। বলগুলো বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল এবং \(AB = 12\) সেমি। লব্ধির মান ও ক্রিয়া বিন্দু নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে: \(P = 10\) নিউটন, \(Q = 4\) নিউটন, \(d = 12\) সেমি
ধরি, \(P\) বিন্দু \(A\) তে ডানদিকে এবং \(Q\) বিন্দু \(B\) তে বামদিকে ক্রিয়া করে।
লব্ধির মান: \(R = P - Q = 10 - 4 = 6\) নিউটন (ডানদিকে)
ক্রিয়া বিন্দু \(G\) নির্ণয়:
\(P \times AG = Q \times BG\)
যেহেতু লব্ধি বড় বলের দিকে, তাই \(G\) বিন্দু \(A\) এর ডানদিকে, \(B\) এরও ডানদিকে অবস্থিত।
ধরি, \(BG = x\) সেমি, তাহলে \(AG = AB + BG = 12 + x\) সেমি
\(10(12 + x) = 4x\)
\(120 + 10x = 4x\)
\(6x = -120\)
এটি ঋণাত্মক আসছে, যা সম্ভব নয়। সুতরাং আমাদের ধারণা ভুল। আসলে \(G\), \(A\) এর বামদিকে হবে না, বরং \(B\) এর ডানদিকে হবে কিন্তু হিসাব অনুযায়ী \(A\) থেকে দূরত্ব বেশি হবে।
সঠিক ধারণা: \(G\) বিন্দু \(A\) এর ডানদিকে এবং \(B\) এর ডানদিকে অবস্থিত, যেখানে \(BG = x\) এবং \(AG = 12 + x\)।
\(10(12 + x) = 4x\) থেকে \(x\) ঋণাত্মক আসছে মানে \(G\) আসলে \(A\) এর বামদিকে নয়, বরং \(B\) এর ডানদিকে নয়, বরং \(A\) এর ডানদিকে কিন্তু \(B\) এর বামদিকে নয়... আসলে বড় বলের দিকে বাইরে মানে \(A\) এর ডানদিকে যদি \(B\) থাকে, তবে \(G\) আরও ডানদিকে।
সুতরাং \(AG = 12 + x\) এবং \(BG = x\) যেখানে \(x\) হলো \(B\) থেকে দূরত্ব।
\(10(12 + x) = 4x\) → এটি ভুল সাজানো।
সঠিক সাজানো: \(P \times (\text{দূরত্ব } G \text{ থেকে } A) = Q \times (\text{দূরত্ব } G \text{ থেকে } B)\)
ধরি \(G\) বিন্দু \(A\) থেকে \(x\) দূরে ডানদিকে। তাহলে \(B\) থেকে দূরত্ব \(|x - 12|\)।
যেহেতু \(G\) বড় বলের দিকে এবং বাইরে, এবং \(P > Q\), তাই \(G\) বিন্দু \(A\) এর কাছাকাছি হবে না, বরং \(A\) থেকে দূরে হবে যাতে \(Q\) এর দূরত্ব বেশি হয়।
সুতরাং \(G\) বিন্দু \(A\) এর ডানদিকে এবং \(B\) এরও ডানদিকে।
দূরত্ব \(AG = x\), দূরত্ব \(BG = x - 12\) (যেহেতু \(x > 12\))
\(10x = 4(x - 12)\)
\(10x = 4x - 48\)
\(6x = -48\) → আবও ভুল।
সঠিক পদ্ধতি: সূত্র অনুযায়ী \(\frac{AG}{BG} = \frac{Q}{P} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
আসলে \(AG\) এবং \(BG\) এর মধ্যে পার্থক্য \(12\) সেমি এবং অনুপাত \(2:5\)
ধরি \(AG = 2k\), \(BG = 5k\) (যেহেতু \(P > Q\), তাই \(BG > AG\) হওয়া উচিত কারণ \(G\) বড় বলের দিকে)
\(BG - AG = 12\)
\(5k - 2k = 12\)
\(3k = 12\)
\(k = 4\)
সুতরাং \(AG = 8\) সেমি এবং \(BG = 20\) সেমি
যাচাই: \(BG - AG = 20 - 8 = 12\) সেমি (সঠিক) এবং \(\frac{8}{20} = \frac{2}{5} = \frac{Q}{P}\) (সঠিক)
সুতরাং লব্ধি বিন্দু \(A\) থেকে ৮ সেমি দূরে (ডানদিকে) বা বিন্দু \(B\) থেকে ২০ সেমি দূরে (ডানদিকে) ক্রিয়া করে।
সমান্তরাল বলের লব্ধি নির্ণয়ের সাধারণ পদ্ধতি
মুহূর্তের উপপাদ্যের প্রয়োগ
যেকোনো সংখ্যক সমান্তরাল বলের লব্ধি নির্ণয়ের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করা হয়:
- সকল বলের বীজগাণিতিক যোগফল নির্ণয় করুন (একই দিকের বল ধনাত্মক, বিপরীত দিকের বল ঋণাত্মক ধরে)। এটিই লব্ধির মান \(R\)।
- যেকোনো একটি বিন্দু \(O\) এর সাপেক্ষে সকল বলের মুহূর্তের যোগফল নির্ণয় করুন \(\sum M\)
- লব্ধি \(R\) এর ক্রিয়া বিন্দু \(G\) নির্ণয় করুন সূত্র \(R \times OG = \sum M\) থেকে।
সমন্বিত ফলাফল
দুটি বল \(P\) ও \(Q\) এর ক্ষেত্রে সারসংক্ষেপ:
| বৈশিষ্ট্য | সদৃশ বল (একই দিকে) | অসদৃশ বল (বিপরীত দিকে) |
|---|---|---|
| লব্ধির মান | \(R = P + Q\) | \(R = |P - Q|\) |
| দিক | একই দিকে | বড় বলের দিকে |
| ক্রিয়া বিন্দুর অবস্থান | \(A\) ও \(B\) এর মধ্যে | \(A\) ও \(B\) এর বাইরে (বড় বলের দিকে) |
| বিভাজনের ধরন | আভ্যন্তরিক (Internal) | বহির্ভাগীয় (External) |
| সূত্র | \(P \times AG = Q \times BG\) এবং \(AG + BG = AB\) | \(P \times AG = Q \times BG\) এবং \(|AG - BG| = AB\) |
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- সমান্তরাল বল: ক্রিয়ারেখা পরস্পরের সমান্তরাল এমন বল। সদৃশ (একই দিকে) ও অসদৃশ (বিপরীত দিকে) দুই প্রকার।
- সদৃশ বলের লব্ধি: মান \(R = P + Q\), দিক একই, ক্রিয়া বিন্দু \(A\) ও \(B\) এর মধ্যে।
- অসদৃশ বলের লব্ধি: মান \(R = |P - Q|\), দিক বড় বলের দিকে, ক্রিয়া বিন্দু বড় বলের দিকে বাইরে।
- ক্রিয়া বিন্দুর সূত্র: উভয় ক্ষেত্রেই \(P \times AG = Q \times BG\) (বিপরীত অনুপাতে)
- বিভাজন: সদৃশের ক্ষেত্রে আভ্যন্তরিক বিভাজন (\(AG + BG = AB\)), অসদৃশের ক্ষেত্রে বহির্ভাগীয় বিভাজন (\(|AG - BG| = AB\))।
- মুহূর্তের উপপাদ্য: যেকোনো বিন্দুর সাপেক্ষে লব্ধির মুহূর্ত = অপর বলগুলোর মুহূর্তের যোগফল।
সমান্তরাল বলের লব্ধি নির্ণয়ের এই নীতিগুলো প্রকৌশলে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, বিশেষ করে বীমের উপর বণ্টিত ভারের ক্ষেত্রে, লিভার ব্যবস্থায় এবং যন্ত্রপাতির ভার কেন্দ্র নির্ণয়ে। সঠিকভাবে ক্রিয়া বিন্দু নির্ধারণ না করলে বস্তুর উপর অতিরিক্ত মুহূর্ত সৃষ্টি হতে পারে যা ঘূর্ণনের কারণ হয়, তাই সাম্যবস্থা বিশ্লেষণে এই গণনা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।