হোম / বই / একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি / উচ্চতর গণিত ২য় পত্র / দ্বিপদী বিস্তৃতি /
১ম অনুচ্ছেদ
/ সূত্র
  1. \((a + x)^n = a^n + ^nC_1 a^{n-1}x + ^nC_2 a^{n-2}x^2 + \cdots + ^nC_r a^{n-r}x^r + \cdots + x^n\), যেখানে \(n \in \mathbb{N}\)
  2. \(n\) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ এবং \(|x| < 1\) হলে, \[ (1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!}x^r + \cdots \]

  3. সাধারণ পদ

    1. \((a + x)^n\) এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ অর্থাৎ \((r + 1)\) তম পদ, \(T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r}x^r\)
    2. \((a - x)^n\) এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ অর্থাৎ \((r + 1)\) তম পদ, \(T_{r+1} = (-1)^nC_r a^{n-r}x^r\)
    3. \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ , \(T_{r+1} = ^nC_r x^r\)

  4. \((a + x)^n\) এর বিস্তৃতির মধ্য পদ:

    1. \(n\) জোড় সংখ্যা হলে, মধ্যপদ একটি এবং তা \(\left(\frac{n}{2} + 1\right)\) তম পদ \( = ^nC_{\frac{n}{2}} a^{\frac{n}{2}} x^{\frac{n}{2}}\)
    2. \(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে, মধ্যপদ দুইটি এবং তা \(\left(\frac{n-1}{2} + 1\right)\) এবং \(\left(\frac{n+1}{2} + 1\right)\) তম পদদ্বয়
      • \( \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = ^nC_{\frac{1}{2}(n-1)} a^{\frac{1}{2}(n+1)} x^{\frac{1}{2}(n-1)}\)
      • \( \left( \frac{n+1}{2} + 1 \right) = ^nC_{\frac{1}{2}(n+1)} a^{\frac{1}{2}(n-1)} x^{\frac{1}{2}(n+1)}\)
  5. \((ax^p + bx^q)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((r + 1)\) তম পদ \(x^m\) সম্বলিত হলে \(r = \frac{np - m}{p - q}\) এবং \(x^m\) এর সহগ = \(^nC_r a^{n-r}b^r\) যেখানে \(m, n \in \mathbb{N}\)
পরবর্তী পাঠ Link-next SVG Icon
অনুশীলনী