৫.২ দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansions)
দ্বিপদী বিস্তৃতি হলো বীজগাণিতিক সূত্রাবলীর একটি শক্তিশালী শাখা, যা দুই পদ বিশিষ্ট রাশিকে ঘনাত্মক বা ভগ্নাত্মক চলকে উন্মোচন করার পদ্ধতি। এই অধ্যায়ে আমরা অসীম ধারা আকারে দ্বিপদী বিস্তৃতি, এর অভিসৃতির শর্ত এবং আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করে জটিল রাশির বিস্তৃতি শিখব। এই সূত্রগুলো ব্যবহার করে মূলদ সংখ্যার ঘনমূল, বর্গমূল ইত্যাদি নির্ণয় করা হয়।
অসীম ধারা দ্বিপদী বিস্তৃতি
আমরা জানি, যখন \(n\) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (positive integer) হয়, তখন \((a+b)^n\) এর বিস্তৃতি সীমিত সংখ্যক পদ থাকে এবং \((n+1)\) সংখ্যক পদে শেষ হয়। কিন্তু যখন \(n\) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ (negative integer or fraction) হয়, তখন বিস্তৃতিতে অসীম সংখ্যক পদ থাকে।
প্রাথমিক সূত্র
যদি \(|x| < 1\) (অর্থাৎ \(-1 < x < 1\)) এবং \(n\) যেকোনো মূলদ সংখ্যা (rational number) হয়, তবে:
\[(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots + \frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r!}x^r + \dots\]
বা সংক্ষেপে, সাধারণ পদ \(T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!}x^r\)
ঋণাত্মক সূচকের ক্ষেত্রে বিস্তৃতি
যদি \(n = -m\) হয়, যেখানে \(m\) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তবে:
\[(1-x)^{-m} = 1 + mx + \frac{m(m+1)}{2!}x^2 + \frac{m(m+1)(m+2)}{3!}x^3 + \dots\]
বিশেষভাবে, যখন \(m = 1\):
\[(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots \infty\]
\[(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \dots \infty\]
সাধারণ রূপে বিস্তৃতি
\((a+b)^n\) আকারের রাশির জন্য, যেখানে \(a > b\):
\[(a+b)^n = a^n\left(1+\frac{b}{a}\right)^n = a^n\left[1 + n\frac{b}{a} + \frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{b}{a}\right)^2 + \dots\right]\]
শর্ত: \(\left|\frac{b}{a}\right| < 1\) বা \(|b| < |a|\)
অসীম ধারায় দ্বিপদী বিস্তৃতির অভিসৃতি (Convergence)
অভিসৃতি (Convergence) বলতে বোঝায় ধারাটির যোগফল একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকে। অসীম দ্বিপদী ধারাটি তখনই অভিসৃত হয় যখন ধারার পদগুলো ক্রমশ কমতে থাকে এবং একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে ধাবিত হয়।
অভিসৃতির শর্ত
- অভিসৃত (Convergent): যখন \(|x| < 1\), তখন ধারাটির যোগফল সীমাবদ্ধ থাকে এবং একটি নির্দিষ্ট মানের দিকে ঝুঁকে থাকে।
- অপ্রসারিত/বিক্ষিপ্ত (Divergent): যখন \(|x| > 1\), তখন পদগুলোর মান বৃদ্ধি পায় এবং যোগফল অসীম হয়ে যায়।
- সংশয়াবস্থা (Oscillatory): যখন \(x = 1\) বা \(x = -1\) (সীমান্তীয় মান), তখন ধারাটির প্রকৃতি নির্ভর করে \(n\) এর মানের উপর।
প্রায়োগিক গুরুত্ব
ব্যবহারিক ক্ষেত্রে, আমরা সাধারণত প্রথম কয়েকটি পদ নিয়ে কাজ করি। যখন \(|x| < 1\), তখন \(x\) এর উচ্চতর ঘাত (\(x^2, x^3, \dots\)) ক্রমশ ছোট হয়ে আসে, ফলে পরবর্তী পদগুলোর অবদান কমে যায়।
উদাহরণ:
\((1.02)^{-3}\) এর মান নির্ণয় করতে হলে:
\[(1.02)^{-3} = (1+0.02)^{-3} = 1 - 3(0.02) + \frac{(-3)(-4)}{2!}(0.02)^2 - \dots\]
\[= 1 - 0.06 + 6(0.0004) - \dots = 1 - 0.06 + 0.0024 - \dots \approx 0.9424\]
এখানে \(x = 0.02\) যা \(1\) থেকে অনেক ছোট, তাই অল্প সংখ্যক পদেই নির্ভুল ফলাফল পাওয়া যায়।
সাধারণ পদ ও বিশেষ সূত্রাবলী
সাধারণ পদের সূত্র
\((1+x)^n\) বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদ (সাধারণ পদ):
\[T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!}x^r\]
যেখানে \(r = 0, 1, 2, 3, \dots\)
গুরুত্বপূর্ণ মুখস্থ সূত্রসমূহ
পরীক্ষায় দ্রুত সমাধানের জন্য নিচের সূত্রগুলো মুখস্থ রাখা জরুরি:
| রাশি | বিস্তৃতি | শর্ত |
|---|---|---|
| \((1-x)^{-1}\) | \(1 + x + x^2 + x^3 + \dots\) | \(|x| < 1\) |
| \((1-x)^{-2}\) | \(1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots\) | \(|x| < 1\) |
| \((1-x)^{-3}\) | \(1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots\) | \(|x| < 1\) |
| \((1+x)^{-1}\) | \(1 - x + x^2 - x^3 + \dots\) | \(|x| < 1\) |
| \((1+x)^{-2}\) | \(1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots\) | \(|x| < 1\) |
সংখ্যাত্মক আসন্নিকরণ (Approximation)
যখন \(x\) অত্যন্ত ক্ষুদ্র (\(x \approx 0\)), তখন উচ্চতর ঘাতগুলো উপেক্ষা করা যায়:
\[(1+x)^n \approx 1 + nx\] (প্রথম দুই পদ)
\[(1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2\] (প্রথম তিন পদ)
আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশের মাধ্যমে দ্বিপদী বিস্তৃতি
যখন বিস্তৃতি করতে হয় এমন কিছু জটিল রাশির, যেমন \(\frac{3x+2}{(1-x)(1+2x)}\) বা \(\frac{x^2}{(1-x)(1+x^2)}\), সরাসরি দ্বিপদী সূত্র প্রয়োগ করা যায় না। এইক্ষেত্রে প্রথমে আংশিক ভগ্নাংশে (Partial Fraction) বিশ্লেষণ করে প্রতিটি ভগ্নাংশকে \((1 \pm x)^n\) আকারে রূপান্তর করে বিস্তৃতি করা হয়।
পদ্ধতির ধাপসমূহ
- আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণ: দেওয়া রাশিটিকে সরল ভগ্নাংশে ভাগ করুন।
- উপযুক্ত রূপান্তর: প্রতিটি ভগ্নাংশকে \((1 \pm x)^n\) আকারে প্রকাশ করুন।
- পৃথক বিস্তৃতি: প্রতিটি অংশের দ্বিপদী বিস্তৃতি করুন।
- যোগফল নির্ণয়: সমস্ত বিস্তৃতি যোগ করে সম্পূর্ণ ধারা নির্ণয় করুন।
উদাহরণ ১: সরল ক্ষেত্র
বিস্তার কর: \(\frac{2+x}{(1+x)(1-2x)}\) কে \(x\) এর ঊর্ধ্বক্রমে শক্তিতে, যেখানে \(|x| < \frac{1}{2}\)
সমাধান:
ধরি, \(\frac{2+x}{(1+x)(1-2x)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-2x}\)
গুণ করে: \(2+x = A(1-2x) + B(1+x)\)
\(x = -1\) বসালে: \(1 = A(3) \Rightarrow A = \frac{1}{3}\)
\(x = \frac{1}{2}\) বসালে: \(\frac{5}{2} = B(\frac{3}{2}) \Rightarrow B = \frac{5}{3}\)
সুতরাং:
\[\frac{2+x}{(1+x)(1-2x)} = \frac{1}{3}(1+x)^{-1} + \frac{5}{3}(1-2x)^{-1}\]
বিস্তৃতি করে:
\[= \frac{1}{3}[1 - x + x^2 - x^3 + \dots] + \frac{5}{3}[1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots]\]
\(x^r\) এর সহগ নির্ণয়:
\(x^r\) এর সহগ \(= \frac{1}{3}(-1)^r + \frac{5}{3}(2^r)\)
উদাহরণ ২: উচ্চতর ঘাত বিশিষ্ট হর
বিস্তার কর: \(\frac{x}{(1-x)(1+x^2)}\)
সমাধান:
ধরি, \(\frac{x}{(1-x)(1+x^2)} = \frac{A}{1-x} + \frac{Bx+C}{1+x^2}\)
সমাধান করে পাওয়া যায়: \(A = \frac{1}{2}, B = -\frac{1}{2}, C = \frac{1}{2}\)
সুতরাং:
\[= \frac{1}{2}(1-x)^{-1} - \frac{1}{2}\frac{x-1}{1+x^2} = \frac{1}{2}(1-x)^{-1} - \frac{1}{2}x(1+x^2)^{-1} + \frac{1}{2}(1+x^2)^{-1}\]
প্রতিটি অংশ বিস্তার করে:
\((1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots\)
\((1+x^2)^{-1} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots\)
\(x(1+x^2)^{-1} = x - x^3 + x^5 - x^7 + \dots\)
এগুলো যোগ করে পূর্ণাঙ্গ বিস্তৃতি পাওয়া যায়।
সাধারণ পদ নির্ণয়ের কৌশল
আংশিক ভগ্নাংশে বিশ্লেষণের পর, যদি আমাদের নির্দিষ্ট \(x^r\) এর সহগ নির্ণয় করতে হয়, তবে প্রতিটি অংশ থেকে \(x^r\) এর সহগ আলাদা করে যোগ করতে হবে।
উদাহরণ: \(\frac{A}{1-ax} + \frac{B}{1+bx}\) আকারের রাশির ক্ষেত্রে:
\(x^r\) এর সহগ \(= A \cdot a^r + B \cdot (-b)^r\)
বিশেষ ক্ষেত্র ও সমস্যা সমাধান
দ্বিপদী সহগের ধারা (Binomial Coefficients Series)
কখনো কখনো দ্বিপদী সহগগুলো নিয়ে ধারা গঠন করা হয়, যেমন:
\[1 + n + \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} + \dots = 2^n\]
এটি পাওয়া যায় \((1+1)^n\) বিস্তৃতি করে।
বিকল্প চলক ব্যবহার
কিছু ক্ষেত্রে সরাসরি \(x\) এর ঊর্ধ্বক্রমে বিস্তার সম্ভব না হলে বিকল্প পদ্ধতি ব্যবহার করতে হয়:
\((x+2)^{-1}\) কে \(x\) এর ঊর্ধ্বক্রমে বিস্তার করতে:
\[(x+2)^{-1} = \frac{1}{2}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-1} = \frac{1}{2}\left[1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{8} + \dots\right]\]
শর্ত: \(|x| < 2\)
গুণনীয় সংমিশ্রণ
দুটি দ্বিপদী ধারার গুণফল থেকে নির্দিষ্ট ঘাতের সহগ নির্ণয়:
\((1-x)^{-2} \cdot (1+x)^{-1}\) এ \(x^n\) এর সহজ নির্ণয়:
প্রথমে বিস্তার করুন:
\((1-x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots\)
\((1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots\)
গুণ করে \(x^n\) এর সহজ পাওয়া যায় \(\sum\) চিহ্ন ব্যবহার করে।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- অসীম দ্বিপদী বিস্তৃতি: \((1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots\) যেখানে \(n\) ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ।
- অভিসৃতির শর্ত: অবশ্যই \(|x| < 1\) হতে হবে।
- সাধারণ পদ: \(T_{r+1} = \frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r!}x^r\)
- আংশিক ভগ্নাংশ: জটিল ভগ্নাংশকে সরল ভগ্নাংশে ভাগ করে প্রত্যেকটির বিস্তৃতি করতে হয়।
- মুখস্থ সূত্র: \((1-x)^{-1}\), \((1-x)^{-2}\), \((1+x)^{-1}\) এর বিস্তৃতি দ্রুত কাজে লাগে।
- সংখ্যাত্মক আসন্নিকরণ: ছোট \(x\) এর জন্য \((1+x)^n \approx 1+nx\) ব্যবহার করা যায়।