1. পরস্পর \( 60^\circ \) কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলের লব্ধি \( 3\sqrt{3} \) একক। সমান বলদ্বয় নির্ণয় কর।
   [সিলেট বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(ক)]
2. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \( P \) ও \( Q \) মানের দুইটি বলের লব্ধি \( P \) বলের দিকের সাথে \( 60^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে। \( P \) বলটিকে ত্রিগুণ করলে উক্ত কোণ \( 30^\circ \) হয়। \( P \) ও \( Q \)-এর অন্তর্বর্তী কোণ নির্ণয় কর।
   [বুয়েট ১১–১২]
3. একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বলের বৃহত্তম লব্ধি 14 একক এবং লঘিষ্ঠ লব্ধি 10 একক। ক্ষুদ্রতম লব্ধি নির্ণয় কর।
4. কোনো কণার উপর ক্রিয়ারত দুইটি বলের লব্ধি তাদের একটির সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে এবং অপরটির এক-তৃতীয়াংশ হয়। দেখাও যে, বলদ্বয়ের মানের অনুপাত \( 3 : 2\sqrt{2} \)।
   [বুয়েট ১২–১৩; রা: বো: ১০]
5. \( P \), \( Q \) বলদ্বয়ের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধি একটি বিন্দুতে \( \alpha \) কোণে ক্রিয়ারত। তাদের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।
   [ঢা: বো: ০৫]
6. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \( P \) ও \( Q \) বলদ্বয়ের লব্ধি \( R \); \( Q \)-এর মান 2 একক বৃদ্ধি করলে লব্ধি দ্বিগুণ হয়। কিন্তু \( P \) কে বিপরীতমুখী করলে লব্ধির মান অপরিবর্তিত থাকে এবং \( P \) বলের উপর লম্ব হয়। প্রমাণ কর যে, \[ R = \frac{2\sqrt{Q}}{\sqrt{3Q - 4}}. \]
7. কোনো বিন্দুতে \( 2P \) এবং \( Q \) মানের দুইটি বল ক্রিয়ারত আছে। যদি \( Q = 3P \) হয় এবং ১ম বলটিকে ত্রিগুণ ও ২য় বলটির মান 6 একক বৃদ্ধি পায়, তবে লব্ধির দিক অপরিবর্তিত থাকে। \( Q \)-এর মান নির্ণয় কর।
   [রাজশাহী বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
8. কোনো বিন্দুতে 1, 2 এবং \( \sqrt{3} \) একক বলত্রয় ক্রিয়ারত হয়ে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে। বলত্রয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
   [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(ক)]
9. \( \alpha \) কোণে ক্রিয়ারত 3 ও 2 একক মানের বলদ্বয়ের লব্ধি \( R \) এবং একই কোণে ক্রিয়ারত 6 ও 2 একক মানের বলদ্বয়ের লব্ধি \( 2R \)। \( \alpha \) এর মান নির্ণয় কর।
   [কুমিল্লা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(ক)]

প্রমাণ করঃ

1. \( P \) এবং \( Q \) বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \( \theta \); বল দুইটির অবস্থান বিনিময় করলে তাদের লব্ধি যদি \( \phi \) কোণে সরে যায়, তবে দেখাও যে, \[ \tan \frac{\phi}{2} = \frac{P - Q}{P + Q} \tan \frac{\theta}{2}. \]
   [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ); ঢাকা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(গ); ঢা: বো: ০৯]
2. \( P + Q \) এবং \( P - Q \) বলদ্বয় \( \alpha \) কোণে ক্রিয়ারত। তাদের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সাথে \( \frac{\theta}{2} \) কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ কর যে, \[ P : Q = \tan \frac{\alpha}{2} : \tan \frac{\theta}{2}. \]
   [চ: বো: ০৪]
3. \( P + Q \) এবং \( P - Q \) বলদ্বয় \( 2\alpha \) কোণে ক্রিয়ারত এবং তাদের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সাথে \( \theta \) কোণ উৎপন্ন করে। দেখাও যে, \[ P \tan \theta = Q \tan \alpha. \]
   [রা: বো: ০৯; কু: বো: ০৬; চ: বো: ১৫; সি: বো: ১০; ব: বো: ০৮]
4. কোনো বিন্দুতে নির্দিষ্ট কোণে ক্রিয়ারত \( P \) ও \( Q \) বল দুইটির লব্ধি \( \sqrt{3}Q \) এবং তা \( P \) বলের দিকের সাথে \( 30^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে। দেখাও যে, \( P = Q \) অথবা \( P = 2Q \)।
   [সিলেট বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ); সি: বো: ০৫; মাদ্রাসা বো: ১০]
5. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \( P \) ও \( Q \) মানের দুইটি বলের লব্ধি \( R \)। \( Q \) বলকে দ্বিগুণ করলে লব্ধি \( P \) বলের দিকের উপর লম্ব হয়। দেখাও যে, \( Q = R \)।
6. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \( P, Q \) বলদ্বয়ের লব্ধি তাদের সমষ্টির এক-তৃতীয়াংশ হলে দেখাও যে, তাদের অন্তর্গত কোণের পরিমাণ \[ \cos^{-1}\!\left( \frac{PQ - 4(P^2 + Q^2)}{9PQ} \right). \]
7. সমমানের দুইটি বল কোনো বিন্দুতে \( 2\alpha \) কোণে ক্রিয়ারত থাকলে যে লব্ধি উৎপন্ন হয়, তারা \( 2\beta \) কোণে ক্রিয়ারত থাকলে যে লব্ধি হয় তার দ্বিগুণ। প্রমাণ কর যে, \[ \cos \alpha = 2\cos \beta. \]
   [ঢা: বো: ১৫; রা: বো: ১০; কু: বো: ১২]
8. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বলের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধির মান যথাক্রমে \( F \) এবং \( G \)। প্রমাণ কর যে, বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার মধ্যবর্তী কোণের মান \( \alpha \) হলে তাদের লব্ধির মান \[ \sqrt{F^2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + G^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}. \]
   [রাজশাহী বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ); যশোর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(গ); য: বো: ১৪; দি: বো: ১২]

1. \( \theta \) কোণে ক্রিয়ারত \( P, Q \) মানের বলদ্বয়ের লব্ধি \( (2m+1)\sqrt{P^2+Q^2} \); উক্ত কোণটি \( (90^\circ-\theta) \) হলে লব্ধির মান \( (2m-1)\sqrt{P^2+Q^2} \) হয়। প্রমাণ কর যে, \[ \tan\theta = \frac{m-1}{m+1}. \]
   [MIST লিখিত পরীক্ষা: ২১–২২; ঢা: বো: ১২, ০৮; রা: বো: ০৬; দি: বো: ১৫; মাদ্রাসা বো: ১৫, ১২]
2. \( \alpha \) কোণে হেলানো \( OA \) এবং \( OB \) বরাবর ক্রিয়াশীল যথাক্রমে \( P \) ও \( Q \) বলদ্বয়ের লব্ধি \( R \), যা \( OA \)-এর দিকের সাথে \( \theta \) কোণ উৎপন্ন করে। \( Q \) পরিবর্তিত হয়ে \( Q' \) হলে তাদের লব্ধি \( R' \) বলটি \( OA \)-এর সাথে \( \theta' \) কোণ উৎপন্ন করে। যদি \( \alpha \ne \pi \), তবে দেখাও যে, \[ \frac{R'}{R} = \frac{\sin(\alpha-\theta)}{\sin(\alpha-\theta')}. \]
   [দি: বো: ১১; রা: বো: ১১]
3. \( ABC \) ত্রিভুজের \( CA \) এবং \( CB \) বাহু বরাবর ক্রিয়ারত দুইটি বলের মান যথাক্রমে \( \cos A \) এবং \( \cos B \)। প্রমাণ কর যে, তাদের লব্ধির মান \( \sin C \)-এর সমানুপাতিক এবং তার দিক \( C \) কোণকে \( \frac{1}{2}(C+B-A) \) এবং \( \frac{1}{2}(C+A-B) \) অংশে বিভক্ত করে।
   [বরিশাল বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ); চট্টগ্রাম বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(খ)]
4. কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \( P \) ও \( Q \) মানের দুইটি বলের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণকে এক-তৃতীয়াংশে বিভক্ত করে। দেখাও যে, তাদের অন্তর্গত কোণের পরিমাণ \[ 3\cos^{-1}\!\left(\frac{P}{2Q}\right) \] এবং লব্ধির মান \[ \frac{P^2 - Q^2}{Q}, \quad (P>Q). \]
   [যশোর বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ); ময়মনসিংহ বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
5. \( P \) ও \( \frac{1}{2}P \) বলদ্বয় পরস্পর \( \alpha \) কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধি \( P \) বলের সাথে \( \theta \) কোণ উৎপন্ন করলে \( \frac{1}{2}P \) বলকে কোন বাহু বরাবর স্থানান্তর করা সম্ভব? যদি বলদ্বয়ের লব্ধি \( \frac{\sqrt{5}}{2}P \) হয় তবে বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ ও লব্ধির দিক নির্ণয় কর।
   [রাজশাহী বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(খ)]

1. \( P \) মানের চারটি সমান বল \( ABCD \) বর্গক্ষেত্রের \( AB, BC, AD, DC \) বাহু বরাবর ক্রিয়ারত আছে। এদের লব্ধির মান ও ক্রিয়ারেখা নির্ণয় কর।
2. \( P,\, 3P,\, \sqrt{3}P \) এবং \( \sqrt{3}P \) মানের একতলীয় চারটি বল যথাক্রমে \( OA, OB, OC \) এবং \( OD \) বরাবর ক্রিয়াশীল। যদি \( \angle AOB = 60^\circ \), \( \angle BOC = 90^\circ \) এবং \( \angle COD = 120^\circ \) হয়, তবে বলগুলির লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।
3. \( ABCD \) একটি রম্বস। এর কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \( O \)-তে \( 3\,\text{N},\, 4\,\text{N},\, 9\,\text{N} \) এবং \( 10\,\text{N} \) বলগুলি যথাক্রমে \( OA, OB, OC \) এবং \( OD \) বরাবর ক্রিয়া করে। লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।
4. কোনো কণার উপর \( P, Q, R \) মানের তিনটি একতলীয় বল ক্রিয়ারত আছে। \( Q \) ও \( R \), \( R \) ও \( P \) এবং \( P \) ও \( Q \)-এর অন্তর্গত কোণ যথাক্রমে \( \alpha, \beta, \gamma \) হলে দেখাও যে, তাদের লব্ধি \[ \sqrt{ P^2 + Q^2 + R^2 + 2QR\cos\alpha + 2RP\cos\beta + 2PQ\cos\gamma }. \]
5. \( ABC \) ত্রিভুজের \( BC, CA, AB \) বাহুর সমান্তরাল দিকে \( P \) মানের তিনটি সমান বল কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত আছে। প্রমাণ কর যে, তাদের লব্ধি
   
   (a) \( P\sqrt{3 - 2\cos A - 2\cos B - 2\cos C} \)
   (b) \( P\sqrt{1 - 8\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}} \)
6. \( ABC \) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব বরাবর ক্রিয়ারত বলগুলির মান তাদের অনুরূপ শীর্ষ কোণের কোসাইনের সমানুপাতিক। প্রমাণ কর যে, এদের লব্ধির মান \[ \sqrt{\,1 - 8\cos A \cos B \cos C\,} \] এর সমানুপাতিক।

\( 4P \) এবং \( 3P \) বল দুইটি \( O \) বিন্দুতে ক্রিয়ারত এবং \( 5P \) তাদের লব্ধি। যদি কোনো রেখা তাদের ক্রিয়ারেখাকে যথাক্রমে \( L, M \) ও \( N \) বিন্দুতে ছেদ করে, তবে দেখাও যে,