হোম / বই / একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি / উচ্চতর গণিত ২য় পত্র / দ্বিপদী বিস্তৃতি /
২য় অনুচ্ছেদ
/ সূত্র

  1. \(|x| < 1\) হলে,

    1. \((1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^r + \cdots\)
    2. \((1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^r x^r + \cdots\)
    3. \((1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots + (r + 1)x^r + \cdots\)
    4. \((1 + x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \cdots + (-1)^r (r + 1)x^r + \cdots\)
    5. \((1 - x)^{-3} = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \cdots + \frac{1}{2}(r + 1)(r + 2)x^r + \cdots\)
    6. \((1 + x)^{-3} = 1 - 3x + 6x^2 - 10x^3 + \cdots + (-1)^r \frac{1}{2}(r + 1)(r + 2)x^r + \cdots\)

  2. কিছু গুরুত্বপূর্ণ অসীম ধারার বিস্তৃতি:

    1. \( e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \)
    2. \( e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots \)
    3. \( \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{r=1}^{\infty} (-1)^{r-1} \frac{x^r}{r} \)
    4. \( \ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots = -\sum_{r=1}^{\infty} \frac{x^r}{r} \)
    5. \( \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots \)
    6. \( \frac{1}{2} \ln \frac{1-x}{1+x} = -\left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6} + \cdots \right) \)
    7. \( \frac{1}{2} \left( e + \frac{1}{e} \right) = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \cdots \)
    8. \( \frac{1}{2} \left( e - \frac{1}{e} \right) = 1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{7!} + \cdots \)
    9. \( \frac{1}{2} (e^x + e^{-x}) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \)
    10. \( \frac{1}{2} (e^x - e^{-x}) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \)
    11. \( a^x = 1 + x \ln a + \frac{x^2}{2!}(\ln a)^2 + \frac{x^3}{3!}(\ln a)^3 + \cdots \)
    12. \( a^{-x} = 1 - x \ln a + \frac{x^2}{2!}(\ln a)^2 - \frac{x^3}{3!}(\ln a)^3 + \cdots \)
Link-previous SVG Icon পূর্ববর্তী পাঠ
অনুশীলনী