৩.২ জটিল সংখ্যার বর্গমূল এবং এককের ঘনমূল
এই অধ্যায়ে আমরা শিখবো কীভাবে একটি জটিল সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করা যায়—যা বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে সহজ হলেও জটিল সংখ্যায় কিছুটা জটিল হতে পারে। এছাড়াও আলোচনা করব এককের ঘনমূল (Cube Roots of Unity) নিয়ে, বিশেষ করে ওমেগা (\(\omega\)) এর বিস্ময়কর ধর্মগুলো এবং এদের প্রয়োগ।
জটিল সংখ্যার বর্গমূল (Square Roots of Complex Numbers)
সমস্যার বিবরণ
ধরা যাক আমাদের জটিল সংখ্যা \(z = x + iy\) দেওয়া আছে। আমরা এমন একটি জটিল সংখ্যা \(w = a + ib\) খুঁজছি যেন \(w^2 = z\) হয়। অর্থাৎ:
\[(a + ib)^2 = x + iy\]
বর্গমূল নির্ণয়ের পদ্ধতি
বিস্তারণ করলে পাই:
\[a^2 - b^2 + 2iab = x + iy\]
বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ তুলনা করে:
\[a^2 - b^2 = x \quad \text{...(১)}\]
\[2ab = y \quad \text{...(২)}\]
আবার আমরা জানি \(|w|^2 = a^2 + b^2\) এবং \(|z| = |w^2| = |w|^2\), সুতরাং:
\[a^2 + b^2 = \sqrt{x^2 + y^2} = |z| \quad \text{...(৩)}\]
সমীকরণ (১) ও (৩) যোগ ও বিয়োগ করে:
বর্গমূলের সূত্র
\[a = \pm\sqrt{\frac{|z| + x}{2}}\]
\[b = \pm\sqrt{\frac{|z| - x}{2}}\]
\(a\) ও \(b\) এর চিহ্ন একই হবে যদি \(y > 0\) হয় (কেননা \(2ab = y\)) এবং বিপরীত হবে যদি \(y < 0\) হয়।
সরল পদ্ধতি (বীজগাণিতিক)
বাস্তবে, আমরা সরাসরি ধরে নিতে পারি:
\[\sqrt{x + iy} = \pm\left[\sqrt{\frac{|z|+x}{2}} + i\frac{y}{|y|}\sqrt{\frac{|z|-x}{2}}\right]\]
যেখানে \(\frac{y}{|y|}\) হলো \(y\) এর চিহ্ন (যদি \(y > 0\) তবে \(+1\), যদি \(y < 0\) তবে \(-1\))।
উদাহরণ ১:
\(\sqrt{5 + 12i}\) নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরি \(\sqrt{5 + 12i} = a + ib\)
তাহলে \(a^2 - b^2 = 5\) এবং \(2ab = 12\) বা \(ab = 6\)
আবার \(a^2 + b^2 = |5+12i| = \sqrt{25+144} = 13\)
যোগ করলে: \(2a^2 = 18 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 3\)
বিয়োগ করলে: \(2b^2 = 8 \Rightarrow b^2 = 4 \Rightarrow b = \pm 2\)
যেহেতু \(y = 12 > 0\), তাই \(a\) ও \(b\) এর চিহ্ন একই।
সুতরাং \(\sqrt{5+12i} = \pm(3 + 2i)\)
যাচাই: \((3+2i)^2 = 9 + 12i + 4i^2 = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i\) ✓
উদাহরণ ২:
\(\sqrt{8 - 6i}\) নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(|z| = \sqrt{64+36} = 10\)
\(a = \pm\sqrt{\frac{10+8}{2}} = \pm\sqrt{9} = \pm 3\)
\(b = \pm\sqrt{\frac{10-8}{2}} = \pm\sqrt{1} = \pm 1\)
যেহেতু \(y = -6 < 0\), তাই \(a\) ও \(b\) এর চিহ্ন বিপরীত।
সুতরাং \(\sqrt{8-6i} = \pm(3 - i)\) বা \(\pm(-3 + i)\)
সাধারণত লেখা হয় \(\pm(3 - i)\)
এককের ঘনমূল (Cube Roots of Unity)
সংজ্ঞা
এককের ঘনমূল বলতে বোঝায় এমন সব জটিল সংখ্যা যাদের ঘন করলে 1 পাওয়া যায়। অর্থাৎ, সমীকরণ \(z^3 = 1\) বা \(z^3 - 1 = 0\) এর মূলগুলো।
মূলগুলোর নির্ণয়
\[z^3 - 1 = 0\]
\[(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0\]
সুতরাং:
- \(z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1\) (বাস্তব মূল)
- \(z^2 + z + 1 = 0 \Rightarrow z = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\) (জটিল মূলদ্বয়)
এককের তিনটি ঘনমূল:
\[1, \quad \omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad \omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}\]
যেখানে \(\omega\) (ওমেগা) হলো কাল্পনিক ঘনমূলগুলোর একটিকে প্রকাশ করার প্রচলিত চিহ্ন।
মেরু রূপে প্রকাশ
\[1 = 1(\cos 0 + i\sin 0) = e^{i0}\]
\[\omega = 1\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = e^{i2\pi/3}\]
\[\omega^2 = 1\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right) = e^{i4\pi/3}\]
ওমেগা (\(\omega\)) এর বৈশিষ্ট্যসমূহ
এককের ঘনমূলগুলোর মধ্যে বিদ্যমান সম্পর্কগুলো অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং বীজগাণিতিক সরলীকরণে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
মৌলিক ধর্ম
ঘন সংক্রান্ত
- \(\omega^3 = 1\)
- \(\omega^{3n} = 1\) (যেকোনো পূর্ণসংখ্যা \(n\) এর জন্য)
- \(\omega^{3n+1} = \omega\)
- \(\omega^{3n+2} = \omega^2\)
যোগফল সংক্রান্ত
- \(1 + \omega + \omega^2 = 0\)
- বা \(\omega + \omega^2 = -1\)
এটি ত্রিভুজের কেন্দ্রকে নির্দেশ করে
গুণফল সংক্রান্ত
- \(1 \cdot \omega \cdot \omega^2 = \omega^3 = 1\)
- মূলগুলোর গুণফল 1
অনুবন্ধী সংক্রান্ত
- \(\bar{\omega} = \omega^2\)
- \(\bar{\omega^2} = \omega\)
- \(|\omega| = 1\)
গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলী
- \(\omega^2 = \frac{1}{\omega}\) (কেননা \(\omega^3 = 1\))
- \((1 + \omega)^2 = (-\omega^2)^2 = \omega^4 = \omega\)
- \((1 + \omega^2)^2 = (-\omega)^2 = \omega^2\)
- \(1 + \omega = -\omega^2\) এবং \(1 + \omega^2 = -\omega\)
- \(\omega - \omega^2 = i\sqrt{3}\)
- \(\omega^2 - \omega = -i\sqrt{3}\)
জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
একক বৃত্তে অবস্থান
আর্গ্যান্ড চিত্রে এককের ঘনমূল তিনটি বিন্দু একক বৃত্তের উপর অবস্থিত:
- \(A(1, 0)\) বিন্দুতে সংখ্যা \(1\)
- \(B\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) বিন্দুতে সংখ্যা \(\omega\)
- \(C\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) বিন্দুতে সংখ্যা \(\omega^2\)
সমবাহু ত্রিভুজ গঠন
এই তিনটি বিন্দু মূলবিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle) গঠন করে। প্রতিটি বিন্দুর মধ্যবর্তী কেন্দ্রগত কোণ \(120^\circ\) বা \(\frac{2\pi}{3}\) রেডিয়ান।
জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য:
- তিনটি বিন্দু একক বৃত্তের উপর অবস্থিত (\(|z| = 1\))
- পারস্পরিক কেন্দ্রগত কোণ \(120^\circ\)
- বিন্দুগুলোর ভরবিন্দু (centroid) মূলবিন্দুতে অবস্থিত (কেননা \(1 + \omega + \omega^2 = 0\))
প্রয়োগ ও সমস্যা সমাধান
বহুপদী উৎপাদকে বিশ্লেষণ
\(a^3 - b^3\) এবং \(a^3 + b^3\) এর সূত্রগুলো \(\omega\) ব্যবহার করে সুন্দরভাবে প্রকাশ করা যায়:
\[a^3 - b^3 = (a-b)(a-\omega b)(a-\omega^2 b)\]
\[a^3 + b^3 = (a+b)(a+\omega b)(a+\omega^2 b)\]
\[a^2 + ab + b^2 = (a-\omega b)(a-\omega^2 b)\]
\[a^2 - ab + b^2 = (a+\omega b)(a+\omega^2 b)\]
ঘনমূল নির্ণয়ে প্রয়োগ
যেকোনো ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা \(a\) এর ঘনমূল:
\[\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a} \cdot 1, \quad \sqrt[3]{a} \cdot \omega, \quad \sqrt[3]{a} \cdot \omega^2\]
উদাহরণ ১:
সরল করুন: \(\frac{(1+\omega)^2}{1+\omega^2}\)
সমাধান:
আমরা জানি \(1 + \omega = -\omega^2\) এবং \(1 + \omega^2 = -\omega\)
\[= \frac{(-\omega^2)^2}{-\omega} = \frac{\omega^4}{-\omega} = \frac{\omega}{-\omega} = -1\]
উদাহরণ ২:
সরল করুন: \((1+\omega)(1+\omega^2)(1+\omega^4)(1+\omega^8)\)
সমাধান:
\(\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = \omega\) এবং \(\omega^8 = (\omega^3)^2 \cdot \omega^2 = \omega^2\)
\(= (1+\omega)(1+\omega^2)(1+\omega)(1+\omega^2)\)
\(= [(-\omega^2)(-\omega)]^2 = [\omega^3]^2 = [1]^2 = 1\)
উদাহরণ ৩:
নিদর্শন করো যে \(\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^n + \left(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)^n\) এর মান যদি \(n\) এর 3 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে 2, আর অন্যথায় -1।
সমাধান:
প্রকাশটি হলো \(\omega^n + \omega^{2n}\)
যদি \(n = 3k\) হয়: \(\omega^{3k} + \omega^{6k} = 1 + 1 = 2\)
যদি \(n = 3k+1\) হয়: \(\omega^{3k+1} + \omega^{6k+2} = \omega + \omega^2 = -1\)
যদি \(n = 3k+2\) হয়: \(\omega^{3k+2} + \omega^{6k+4} = \omega^2 + \omega = -1\)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- জটিল সংখ্যার বর্গমূল: \(\sqrt{x+iy} = \pm\left[\sqrt{\frac{|z|+x}{2}} \pm i\sqrt{\frac{|z|-x}{2}}\right]\) যেখানে চিহ্ন \(y\) এর চিহ্নের উপর নির্ভরশীল।
- এককের ঘনমূল: \(1, \omega, \omega^2\) যেখানে \(\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) এবং \(\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)
- মৌলিক সূত্র: \(\omega^3 = 1\) এবং \(1 + \omega + \omega^2 = 0\) (সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ)
- চিহ্ন নিয়ম: \(\omega^{3n} = 1\), \(\omega^{3n+1} = \omega\), \(\omega^{3n+2} = \omega^2\)
- অনুবন্ধী: \(\bar{\omega} = \omega^2\) এবং \(\bar{\omega^2} = \omega\)
- জ্যামিতিক অর্থ: একক বৃত্তের উপর \(120^\circ\) অন্তরে অবস্থিত তিনটি বিন্দু যা সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করে।
- প্রয়োগ: \(a^3 \pm b^3\) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ এবং জটিল সংখ্যার ঘনমূল নির্ণয়ে।