একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি | উচ্চতর গণিত ২য় পত্র | সমতলে বস্তুকণার গতি | ২য় অনুচ্ছেদ

হোম / বই / একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি / উচ্চতর গণিত ২য় পত্র / সমতলে বস্তুকণার গতি / / অনুশীলনী

1. ঘণ্টায় 108 কিলোমিটার বেগে চলমান একজন গাড়িচালক 100 মিটার দূরে একজন বালককে দেখতে পেয়ে সঙ্গে সঙ্গে ব্রেক চাপেন। বালকটির 10 মিটার সামনে গাড়িটি থেমে গেল। গাড়িটির ত্বরণ কত এবং গাড়িটি থামতে কত সময় লেগেছে?
2. একটি গাড়ি সরলরেখা বরাবর চলে একটি বিন্দুকে 10 মিটার/সেকেন্ড বেগে অতিক্রম করার পর 2 মিটার/সেকেন্ড² সুষম ত্বরণ পায়। 5 সেকেন্ডে গাড়িটির বেগ কত? ঐ সময়ে গাড়িটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
3. একটি কণা নির্দিষ্ট বেগে যাত্রা করে সমত্বরণে 3 সেকেন্ডে 81 সেমি. দূরত্ব অতিক্রম করে। অতঃপর ত্বরণের ক্রিয়া বন্ধ হয়ে গেলে কণাটি পরবর্তী 3 সেকেন্ডে 72 সেমি. দূরত্ব অতিক্রম করে। কণাটির আদিবেগ ও ত্বরণ নির্ণয় কর।
4. একটি কার স্থিরাবস্থা হতে সমত্বরণে 1 কিলোমিটার পথ 2 মিনিটে অতিক্রম করলে তার বেগ কত হবে?
  [ঢাকা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(ক)]
1. একটি তক্তা ভেদ করতে একটি বুলেট তার বেগের \( \dfrac{1}{20} \) অংশ হারায়। প্রতিরোধ ক্ষমতা সুষম হলে, থামার পূর্বে মোট কতগুলি তক্তা ভেদ করবে?
  [বুয়েট ০৮–০৯]
2. একটি বুলেট কোনো দেওয়ালের ভিতর 2 সেমি. ঢোকার পর এর বেগ অর্ধেক হয়। বুলেটটির বেগ শূন্য হওয়ার পূর্বে দেওয়ালের ভিতর আর কতদূর ঢুকবে?
  [ঢা: বো: ১৩; কু: বো: ০৫; সি: বো: ১৪; ব: বো: ১৪; মাদ্রাসা বো: ১০]
1. একই লাইনে দুইটি রেলগাড়ি পরস্পরের দিকে যথাক্রমে \( u_1 \) এবং \( u_2 \) সমবেগে অগ্রসর হচ্ছে। এদের দূরত্ব যখন \( x \), তখন একে অপরকে দেখতে পেল। ব্রেক প্রয়োগের ফলে উৎপন্ন সর্বোচ্চ মন্দন যথাক্রমে \( f_1 \) এবং \( f_2 \) হলে, দেখাও যে, দুর্ঘটনা এড়ানো সম্ভব যদি \[ u_1^2 f_2 + u_2^2 f_1 \le 2 f_1 f_2 x. \]
  [কুমিল্লা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ); ঢাকা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(গ); রা: বো: ১৩; সি: বো: ০৬]
2. একটি রেলগাড়ি \( A \) থেকে \( B \) পর্যন্ত \( \frac{1}{2} \) কিমি পথ 50 সেকেন্ডে এবং \( B \) থেকে \( C \) পর্যন্ত \( \frac{3}{4} \) কিমি পথ একই সময়ে অতিক্রম করে। ত্বরণ সুষম হলে \( A \) এবং \( C \) বিন্দুতে গাড়ির বেগ নির্ণয় কর।
3. একই লাইনে একই দিকে একখানা এক্সপ্রেস গাড়ি এবং অন্য একখানা মালগাড়ি চলেছে। যখন তাদের বেগ যথাক্রমে \( u_1 \) এবং \( u_2 \), তখন \( x \) দূরত্ব হতে একে অপরকে দেখতে পায়। গাড়ি দুইখানার সর্বোচ্চ মন্দন যথাক্রমে \( f_1 \) ও \( f_2 \) হলে দেখাও যে, কোনো রকম দুর্ঘটনা এড়ানো সম্ভব হবে যদি \[ (u_1 - u_2)^2 = 2(f_1 + f_2)x. \]
1. একটি কণা সুষম ত্বরণে সরলরেখায় চলছে। কণাটি একাদশ ও পঞ্চদশ সেকেন্ডে যথাক্রমে 720 সেমি. ও 960 সেমি. পথ অতিক্রম করে। তবে কণাটি 20 সেকেন্ডে কত পথ অতিক্রম করবে?
2. একটি বস্তু 20 মি./সে. আদিবেগে 2 মি./সে.² ত্বরণে চলছে। তার ৫ম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় কর।
  [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(ক)]
3. স্থিরাবস্থা থেকে একটি বস্তু 4 মি./সে.² সুষম ত্বরণে চলতে থাকলে, ৭ম সেকেন্ডে এটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে তা নির্ণয় কর।
  [দিনাজপুর বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(ক)]
4. কোনো কণা \( f \) সুষম ত্বরণে চলছে। গতি শুরু হওয়ার সপ্তম ও দশম সেকেন্ডে যথাক্রমে 36 মিটার ও 48 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। \( f \)-এর মান নির্ণয় কর।
  [রাজশাহী বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(ক)]
1. এক ব্যক্তি তার 50 মিটার সামনে স্থিরাবস্থা হতে সুষম ত্বরণে একটি বাস ছাড়তে দেখে সমবেগে দৌড়াতে লাগল এবং এক মিনিটে কোনো রকমে বাসটি ধরতে পারল। লোকটির বেগ ও বাসটির ত্বরণ নির্ণয় কর।
  [বুয়েট লিখিত পরীক্ষা: ১৯–২০]
2. একজন রিকশা চালক যাত্রী নিয়ে স্থিরাবস্থা থেকে যাত্রা আরম্ভ করে প্রথম সেকেন্ডে 1 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করলেন। পরবর্তী 1 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে তার কত সময় লাগবে?
3. একটি বিড়াল 12 মিটার দূরে একটি ইঁদুরকে দেখতে পেয়ে স্থিরাবস্থা থেকে 2 মি./সে² ত্বরণে দৌড়াল এবং ইঁদুরটি 4 মি./সে সমবেগে দৌড়াল। বিড়ালটি কত সময় পরে এবং কত দূরে ইঁদুরটিকে ধরতে পারবে?
  [বরিশাল বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
4. একজন মোটরসাইকেল আরোহী 15 মিটার দূরে একজন অশ্বারোহীকে দেখতে পেয়ে স্থিরাবস্থা থেকে 5 m/s² ত্বরণে অশ্বারোহীর পেছনে মোটরসাইকেল চালাতে লাগল। অশ্বারোহী 12.5 m/s সমবেগে যাচ্ছিল। মোটরসাইকেল আরোহী কত দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে?
  [যশোর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
1. একটি রেলগাড়ি এক স্টেশন হতে ছেড়ে 4 মিনিট পরে 2 কিলোমিটার দূরে অবস্থিত অপর স্টেশনে থামে। গাড়িটি তার গতিপথের প্রথমাংশ \( x \) সমত্বরণে এবং দ্বিতীয়াংশ \( y \) সমমন্দনে চললে প্রমাণ কর যে, \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4. \]
  [ঢাকা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(খ); বুয়েট ১১–১২]
2. স্থিরাবস্থা হতে সরলরেখায় চলতে একটি বস্তুকণা প্রথমে \( x \) সমত্বরণে এবং পরে \( y \) সমমন্দনে চলে। কণাটি যদি \( t \) সময়ে \( s \) দূরত্ব অতিক্রম করে থাকে, তবে দেখাও যে, \[ \frac{t^2}{2s} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}. \]
  [যশোর বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ); যশোর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
3. একটি রেলগাড়ি \( A \) স্টেশন হতে ছেড়ে 10 মিনিট পরে \( B \) স্টেশনে থামে। স্টেশন দুটির মধ্যবর্তী কোনো \( C \) বিন্দুতে গাড়িটির সর্বোচ্চ বেগ 60 কিমি/ঘণ্টা। গাড়িটি \( A \) হতে \( C \) পর্যন্ত সমত্বরণে এবং \( C \) হতে \( B \) পর্যন্ত সমমন্দনে চললে স্টেশন দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
4. একটি রেলগাড়ি এক স্টেশন হতে অন্য স্টেশনে গিয়ে থামে। গাড়ির গতিপথের প্রথম \( \frac{1}{m} \) অংশ সমত্বরণে, শেষ \( \frac{1}{n} \) অংশ সমমন্দনে এবং অবশিষ্টাংশ সমবেগে চলে। প্রমাণ কর যে, সর্বোচ্চ বেগ ও গড়বেগের অনুপাত \[ \left(1 + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\right) : 1. \]
  [সিলেট বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ)]
5. সোজা রেলপথে একটি রেলগাড়ির বেগ \( f_1 \) সমহারে বৃদ্ধি পেয়ে শূন্য হতে \( v \) হয়, পরে কিছুক্ষণ বেগ স্থির থাকে এবং শেষে \( f_2 \) সমহারে হ্রাস পেয়ে শূন্য হয়। অতিক্রান্ত দূরত্ব \( x \) এবং সময় \( t \) হলে প্রমাণ কর যে,
  (a) \( t = \dfrac{x}{v} + \dfrac{v}{2}\!\left(\dfrac{1}{f_1} + \dfrac{1}{f_2}\right) \)
  (b) \( 2x = v\!\left[2t - v\!\left(\dfrac{1}{f_1} + \dfrac{1}{f_2}\right)\right] \).
6. দুইটি কণা একই সরলরেখায় যথাক্রমে \( a \) এবং \( b \) সমত্বরণে চলছে। কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু হতে যখন তাদের দূরত্ব \( x \) ও \( y \), তখন তাদের বেগ যথাক্রমে \( u \) ও \( v \)। দেখাও যে, তারা দুইবার মিলিত হতে পারে না। যদি তারা দুইবার মিলিত হয় তবে তাদের মিলনের সময়ের পার্থক্য, \[ \frac{2}{a-b} \sqrt{(u-v)^2 - 2(x-y)(a-b)}. \]
7. কোনো সরলরেখায় সমত্বরণে চলতে কোনো বিন্দুর গড়বেগ ধারাবাহিক \( t_1, t_2, t_3 \) সময়ে যথাক্রমে \( v_1, v_2, v_3 \) হলে দেখাও যে, \[ \frac{v_1 - v_2}{v_2 - v_3} = \frac{t_1 + t_2}{t_2 + t_3}. \]
  [ঢাকা, দিনাজপুর, যশোর ও সিলেট বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–৯(গ)]
8. সমত্বরণে চলতে কোনো বিন্দু \( t_1, t_2, t_3 \) সময়ে যথাক্রমে সমান সমান ক্রমিক দূরত্ব অতিক্রম করে। প্রমাণ কর যে, \[ \frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3} = \frac{3}{t_1 + t_2 + t_3}. \]
  [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৯(গ)]
9. সমত্বরণে চলমান একটি কণা পরপর \( t_1, t_2, t_3 \) সময়ে যথাক্রমে \( d, 4d, 7d \) দূরত্ব অতিক্রম করে। দেখাও যে, \[ \frac{1}{t_1} - \frac{4}{t_2} + \frac{7}{t_3} = \frac{12}{t_1 + t_2 + t_3}. \]
  [রাজশাহী বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(গ)]
10. \( u \) আদিবেগে চলমান একটি কণা নির্দিষ্ট দূরত্বের অর্ধেক \( f \) সমত্বরণে এবং অবশিষ্ট অর্ধেক \( f' \) সমত্বরণে গমন করে। দেখাও যে, শেষ বেগের মান একই হবে যদি কণাটি সমগ্র দূরত্ব \( \frac{1}{2}(f+f') \) সমত্বরণে গমন করে।
11. একটি ট্রেন রেলপথে 4 কিমি ব্যবধানে দুটি স্টেশনে থামে। এক স্টেশন থেকে অন্য স্টেশনে পৌঁছাতে সময় লাগে 8 মিনিট। ট্রেনটির গতিপথের প্রথম অংশ \( m \) সমত্বরণে এবং দ্বিতীয় অংশ \( n \) সমমন্দনে চললে প্রমাণ কর যে, \[ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 8. \]
  [ঢাকা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ)]
12. \( u \) আদিবেগে এবং \( f \) ত্বরণে সরলরেখায় চলমান কোনো বস্তু \( t \) সময়ে \( s \) দূরত্ব অতিক্রম করে। এর অন্তিম বেগ \( v \) হলে দেখাও যে, \[ \frac{v+u}{v-u} = \frac{2s}{ft^2}. \]
13. একটি দৌড় প্রতিযোগিতায় একই স্থান থেকে দুইজন প্রতিযোগী যথাক্রমে \( u_1 \) ও \( u_2 \) বেগে সমবেগে চলতে শুরু করে এবং একই সময়ে গন্তব্যস্থলে পৌঁছায়। যদি তাদের ত্বরণ যথাক্রমে \( f_1 \) ও \( f_2 \) হয় তবে দেখাও যে, \[ 2(u_1 - u_2) = \frac{u_1 f_2 - u_2 f_1}{(f_1 - f_2)^2}. \]

সূত্র

Feed

Post Detail

Comments

Reply Thread