1. \( (1 - 3x)^{-1} \) এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।
   [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০১৭ এর সৃজনশীল–(ক)]
2. \( (4 + 3x)^{\frac{1}{2}} - \left(1 - \dfrac{x}{2}\right)^{-2} \) কে \( x^2 \) সম্বলিত পদ পর্যন্ত \( x \) এর শক্তির উর্ধ্বক্রম ধারায় প্রকাশ কর।
3. \( x \) এর শক্তির উর্ধ্বক্রম অনুসারে \( (1 - x + x^2)^{\frac{1}{2}} \) এর বিস্তৃতি \( x^3 \) যুক্ত পদ পর্যন্ত বের কর।
4. \( x \) এর শক্তির উর্ধ্বক্রম অনুসারে \( \left(1 - \dfrac{x}{6}\right)^{\frac{1}{2}} \) কে 5ম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং দেখাও যে, \[ 1 - \frac{1}{6}- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{12} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{18} - \cdots = \sqrt{\frac{2}{3}}. \]

1. \( (1 - x)^{-1} - 2(1 - 2x)^{-2} \) এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদটি বের কর।
   [রা: বো: ১৩]
2. \( \dfrac{1 + x}{\sqrt{1 - 2x}} \) রাশিটির বিস্তৃতি হতে \( x^3 \) এর সহগ নির্ণয় কর।
   [যশোর বোর্ড–২০১৭ এর সৃজনশীল–(গ)]
3. \( \dfrac{x}{(1 - 4x)(1 - 5x)} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^n \) এর সহগ নির্ণয় কর।
   [কু: বো: ১৪; রা: বো: ১৬, ১৪; ব: বো: ১৩]
4. \( \dfrac{1}{(1 - x)(1 - 2x)} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^n \) এর সহগ নির্ণয় কর।
   [কু: বো: ০৮; দি: বো: ১০; চ: বো: ১৩, ১০; সি: বো: ০৮; ব: বো: ০৭]
5. দেখাও যে, \( (1 - 5x + 6x^2)^{-1} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^r \) এর সহগ \( 3^{r+1} - 2^{r+1} \)।
   [বুয়েট ০৩–০৪; ঢা: বো: ১৬, ১২, ০৯, ০৬; রা: বো: ০৯, ০৬; দি: বো: ১২; চ: বো: ০৭; কু: বো: ১৬, ০৬; সি: বো: ১৪, ১১, ০৫; ব: বো: ১৬; য: বো: ১৩, ১০; মাদ্রাসা বো: ১৪]
6. প্রমাণ কর যে, \( (1 - 9x + 20x^2)^{-1} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^9 \) এর সহগ \( 5^{10} - 4^{10} \)।
   [রাজশাহী বোর্ড–২০১৭ এর সৃজনশীল–(গ)]
7. দেখাও যে, \( (1 - 8x)^{-\frac{1}{2}} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^r \) এর সহগ \( \dfrac{(2r)!}{(r!)^2} \)।
   [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(গ)]
8. দেখাও যে, \( (1 - 4x)^{-\frac{1}{2}} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^r \) এর সহগ \( \dfrac{(2r)!}{(r!)^2} \)।
   [ঢা: বো: ১০; দি: বো: ১৩; কু: বো: ১১; রা: বো: ০৯; য: বো: ১১, ০৮; সি: বো: ১২, ০৬; মাদ্রাসা বো: ১৩, ০৯]
9. দেখাও যে, \( (1 - 12x)^{-\frac{1}{2}} \) বিস্তৃতিতে \( x^r \) এর সহগ \( \dfrac{(2r)!}{(r!)^2} 3^r \)।
   [রাজশাহী, কুমিল্লা, চট্টগ্রাম ও বরিশাল বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–(গ)]
10. দেখাও যে, \( \dfrac{(1 + x)^n}{1 - x} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^n \) এর সহগ \( 2^n \); (\( n \in \mathbb{N} \))।
    [কু: বো: ১২; য: বো: ১৫]
11. \( (1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots)^{\frac{1}{2}} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^r \) এর সহগ নির্ণয় কর।
    [সি: বো: ০১]
12. \( (1 + x + x^2 + \cdots)^{\frac{3}{2}} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^n \) এর সহগ নির্ণয় কর।

1. যদি \( y = x + x^2 + x^3 + \cdots \) হয়, তবে দেখাও যে, \( x = y - y^2 + y^3 - y^4 + \cdots \)।
   [বুয়েট ০৭–০৮; ঢা: বো: ১৩, ১১; রা: বো: ০৮; দি: বো: ১৫; কু: বো: ০৮; চ: বো: ১৫, ১২, ০৮; ব: বো: ১৪; মাদ্রাসা বো: ১৫, ১১]
2. \( y = 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots \) হলে দেখাও যে, \( x = \dfrac{1}{8}y - \dfrac{3}{8}y^2 + \dfrac{5}{16}y^3 - \cdots \)।
   [বুয়েট ০১–০২; বুয়েট ০২–০৩; য: বো: ০৮; সি: বো: ১৩, ০৮; কু: বো: ০৯; রা: বো: ০৯; চ: বো: ১০; দি: বো: ১১; মাদ্রাসা বো: ১০]
3. দেখাও যে, \( (1 + x + x^2 + \cdots)^2 = 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1} + \cdots \)।
4. প্রমাণ কর যে, \( (1 + x + x^2 + \cdots)(1 + 2x + 3x^2 + \cdots) = \dfrac{1}{2}(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + 4 \cdot 5x^3 + \cdots) \)।
   [ব: বো: ০৭]

নিচের ধারাগুলির যোগফল নির্ণয় করঃ

1. \( 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \cdots \)
   [বুয়েট ০৪–০৫]
2. \( 1 - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \cdots \)