-
নিম্নের উপবৃত্তগুলির অক্ষদ্বয়ের সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য, উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ এবং যে কোনো বিন্দুতে উপবৃত্তটির পরামিতিক স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যখন উপকেন্দ্রিক কোণ \( \theta \):
-
\( 9x^2 + 16y^2 = 144 \)
[রাজশাহী বোর্ড–২০১৭ এর সৃজনশীল–৫(খ); ব: বো: ১৪]
-
\( 16x^2 + 25y^2 = 400 \)
[ঢাকা ও দিনাজপুর বোর্ড–২০১৭ এর সৃজনশীল–৫(খ ও গ); রা: বো: ০৫; কু: বো: ০৫; মাদ্রাসা বো: ১৪, ১০]
-
\( 9x^2 + 16y^2 = 144 \)
-
উপবৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে। উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ নির্ণয় কর। যেখানে \( \theta \) হলো বিন্দুটির উপকেন্দ্রিক কোণ:
-
\( (\sqrt{2}\cos\theta,\; \sqrt{3}\sin\theta) \)
[কু: বো: ১৪]
-
\( (4\cos\theta,\; \sqrt{5}\sin\theta) \)
[রা: বো: ০৫; কু: বো: ০৫]
-
\( (\sqrt{2}\cos\theta,\; \sqrt{3}\sin\theta) \)
-
-
দেখাও যে,
(a) \( 2x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0 \)[ঢা: বো: ১৬; কু: বো: ১২; সি: বো: ১৩; দি: বো: ১৪;]
(b) \( 5x^2 + 9y^2 - 30x = 0 \)
সমীকরণদ্বয় প্রত্যেকটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। ঐ উপবৃত্তদ্বয়ের উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্র ও উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।দিনাজপুর বোর্ড–২০২১ এর সৃজনশীল–৫(খ); বুয়েট ০২–০৩] -
\( 4x^2 + 5y^2 - 16x + 10y + 1 = 0 \) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা,
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, উপকেন্দ্র ও নিয়ামক রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুমিল্লা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(গ); রা: বো: ০৭; চ: বো: ১১; কু: বো: ১৩; মাদ্রাসা বো: ১১]
-
দেখাও যে,
-
\( p \) এর মান কত হলে
\( \dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{5} = 1 \)
উপবৃত্তটি \( (6, 4) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে?
উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় কর।
[ঢাকা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(ক); বুয়েট ০৮–০৯, ০৪–০৫; বিয়ুট ০১–০২; ঢা: বো: ০৯, ১২; রা: বো: ১৪, ১২; দি: বো: ১৫, ১৪, ১১, ০৯; কু: বো: ০৮; য: বো: ১৩; সি: বো: ১৪, ১২, ০৮; মাদ্রাসা বো: ১৫]
-
\( p \) এর কোন মানের জন্য
\( \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{p} = 1 \)
উপবৃত্তটি \( (4, 6) \) বিন্দু দিয়ে যাবে?
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা ও উপকেন্দ্র নির্ণয় কর।
[চ: বো: ০৭; সি: বো: ১৬]
-
\( p \) এর মান কত হলে
\( 4x^2 + py^2 = 80 \)
উপবৃত্তটি \( (0, \pm 4) \) বিন্দু দিয়ে যাবে?
উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[রা: বো: ১০; য: বো: ০৮]
-
এরূপ উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার:
-
উপকেন্দ্র \( (3, 4) \), উৎকেন্দ্রিকতা \( \dfrac{1}{3} \) এবং
নিয়ামকের সমীকরণ \( x + y - 2 = 0 \)।
[ঢা: বো: ১০, ০৭; কু: বো: ১০; রা: বো: ১৩; চ: বো: ১৫; য: বো: ১১, ০৯; সি: বো: ১০; মাদ্রাসা বো: ১০, ১২]
- উপকেন্দ্র \( (2, 1) \), উৎকেন্দ্রিকতা \( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \) এবং নিয়ামকের সমীকরণ \( 2x + y = 3 \)।
-
উপকেন্দ্র \( (0, 2) \), উৎকেন্দ্রিকতা \( \dfrac{1}{2} \) এবং
নিয়ামকের সমীকরণ \( y + 4 = 0 \);
এছাড়া উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[বুয়েট লিখিত পরীক্ষা: ১৯–২০; কু: বো: ১৪, ০৮]
-
উপকেন্দ্র \( (3, 4) \), উৎকেন্দ্রিকতা \( \dfrac{1}{3} \) এবং
নিয়ামকের সমীকরণ \( x + y - 2 = 0 \)।
-
স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে উপবৃত্তের অক্ষ বিবেচনা করে উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার
উপকেন্দ্রদ্বয় \( (-2, 0), (2, 0) \) এবং বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য 16 একক।
[দি: বো: ১১]
-
উৎকেন্দ্রিকতা \( \dfrac{4}{5} \) বিশিষ্ট এবং \( \left(\dfrac{10}{3}, \sqrt{5}\right) \)
বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী উপবৃত্তের অক্ষ দুটি স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বয়ের উপর অবস্থিত।
উপবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ঢা: বো: ১৩, ০৮; দি: বো: ১৬; রা: বো: ১৬, ১০; চ: বো: ০৮; ব: বো: ০৭]
-
উপবৃত্তের বৃহৎ ও ক্ষুদ্র অক্ষ যথাক্রমে \( x \) ও \( y \)-অক্ষ বরাবর এবং
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 8 একক এবং নিয়ামকদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 18 একক।
উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[বুয়েট ১২–১৩, ১০–১১; বিয়ুট ০০–০১; রা: বো: ১৫, ১০; কু: বো: ১৬]
-
কোনো উপবৃত্তের একটি উপকেন্দ্র ও তার নিকটতম নিয়ামকের দূরত্ব 16 সেমি. এবং
উৎকেন্দ্রিকতা \( \dfrac{3}{5} \) হলে, অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ব: বো: ১১]
-
কোনো উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের অর্ধেক।
তার উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় কর।
[ব: বো: ১১]
-
প্রমাণ কর যে, \( y = x - 5 \) সরলরেখাটি \( 9x^2 + 16y^2 = 144 \)
উপবৃত্তকে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
[ঢাকা, দিনাজপুর, যশোর ও সিলেট বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–(খ)]
Studentware