১০.১ বিস্তার পরিমাপ (Measures of Dispersion)
পরিসংখ্যানে কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ যেমন গড়, মধ্যমা বা প্রচুরক দিয়ে শুধু উপাত্তের কেন্দ্রীয় মান জানা যায়, কিন্তু উপাত্তগুলো কেন্দ্রীয় মানের চারপাশে কতটা ছড়িয়ে ছিটিয়ে আছে বা কতটা গুচ্ছিত তা জানা যায় না। দুটি ভিন্ন উপাত্তের সেটের গড় একই হতে পারে, কিন্তু একটি সেটের মানগুলো গড়ের কাছাকাছি থাকতে পারে আর অন্যটির মানগুলো গড় থেকে অনেক দূরে ছড়িয়ে থাকতে পারে। উপাত্তের এই ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকার প্রবণতাকে বিস্তার (Dispersion/Spread) বলে এবং এটি পরিমাপ করার জন্য বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করা হয় যাকে বিস্তার পরিমাপ (Measures of Dispersion) বলে। এই অধ্যায়ে আমরা পরিসরাঙ্ক, চতুর্থক ব্যবধান, ভেদাঙ্ক, পরিমিত ব্যবধান এবং আপেক্ষিক বিস্তার পরিমাপ বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব।
উপাত্তের বিস্তার ও তার প্রয়োজনীয়তা
বিস্তারের সংজ্ঞা
বিস্তার বলতে উপাত্তের মানগুলোর পরস্পর থেকে ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকার পরিমাণ বা কেন্দ্রীয় মান থেকে বিচ্যুতির পরিমাণ বোঝায়। যদি মানগুলো কেন্দ্রীয় মানের খুব কাছাকাছি থাকে, তবে বিস্তার কম এবং যদি মানগুলো কেন্দ্রীয় মান থেকে দূরে দূরে ছড়িয়ে থাকে, তবে বিস্তার বেশি।
বিস্তার পরিমাপের প্রয়োজনীয়তা
- উপাত্তের স্বভাব ও গঠন সম্পর্কে সম্পূর্ণ ধারণা দেয়। দুটি উপাত্তের সেটের গড় সমান হলেও তাদের বিস্তার ভিন্ন হতে পারে।
- উপাত্তের ধারাবাহিকতা বা সুষমতা যাচাই করতে সাহায্য করে।
- বিস্তার কম হলে গড় বা মধ্যমার ভিত্তিতে সিদ্ধান্ত নেওয়া নিরাপদ, বিস্তার বেশি হলে কেন্দ্রীয় মান বিশ্বাসযোগ্য কম হয়।
- অর্থনীতি, মনোবিজ্ঞান ও সমাজবিজ্ঞানে উপাত্তের তুলনামূলক অধ্যয়নে বিস্তার পরিমাপ অপরিহার্য।
বিস্তার পরিমাপের প্রকারভেদ
বিস্তার পরিমাপ দুই ভাগে ভাগ করা যায়:
- পরম বিস্তার পরিমাপ (Absolute Measures): যেগুলোর একক উপাত্তের এককের সমান হয়। যেমন: পরিসরাঙ্ক, চতুর্থক ব্যবধান, গড় বিচ্যুতি, পরিমিত ব্যবধান।
- আপেক্ষিক বিস্তার পরিমাপ (Relative Measures): যেগুলো এককহীন অনুপাত বা শতকরা হিসেবে প্রকাশিত হয় এবং বিভিন্ন উপাত্তের সেটের তুলনায় ব্যবহৃত হয়। যেমন: পরিসরাঙ্ক সহগ, চতুর্থক ব্যবধান সহগ, পরিমিত ব্যবধান সহগ (CV)।
পরিসরাঙ্ক (Range)
সংজ্ঞা ও সূত্র
পরিসরাঙ্ক হলো সরলতম বিস্তার পরিমাপ যা উপাত্তের সর্বোচ্চ মান ও সর্বনিম্ন মানের পার্থক্য নির্দেশ করে।
বিচ্ছিন্ন উপাত্তের ক্ষেত্রে:
\[R = L - S\]
যেখানে \(L\) = সর্বোচ্চ মান, \(S\) = সর্বনিম্ন মান
শ্রেণিকৃত উপাত্তের ক্ষেত্রে:
\[R = \text{উচ্চতম শ্রেণিসীমার ঊর্ধ্ব সীমা} - \text{নিম্নতম শ্রেণিসীমার নিম্ন সীমা}\]
পরিসরাঙ্কের বৈশিষ্ট্য
- নির্ণয় করা সবচেয়ে সহজ ও দ্রুত।
- শুধু দুটি চরম মানের উপর নির্ভরশীল, মধ্যবর্তী মানগুলোকে বিবেচনায় নেয় না।
- চরম মানের পরিবর্তনে পরিসরাঙ্ক ব্যাপকভাবে পরিবর্তিত হয়।
- নমুনায় ভুল মান থাকলে পরিসরাঙ্ক বিশ্বাসযোগ্য হয় না।
- খোলা শ্রেণিসীমার ক্ষেত্রে নির্ণয় করা যায় না।
পরিসরাঙ্ক সহগ (Coefficient of Range)
আপেক্ষিক পরিমাপ হিসেবে পরিসরাঙ্ক সহগ নির্ণয় করা হয়:
\[\text{পরিসরাঙ্ক সহগ} = \frac{L - S}{L + S}\]
এই সহগের মান সর্বদা ০ থেকে ১ এর মধ্যে থাকে।
চতুর্থক ব্যবধান (Quartile Deviation)
চতুর্থকের ধারণা
উপাত্তকে চারটি সমান অংশে বিভক্ত করার মানকে চতুর্থক (Quartile) বলে। প্রথম চতুর্থক \(Q_1\) (নিম্ন ২৫% মান), দ্বিতীয় চতুর্থক \(Q_2\) (মধ্যমা, ৫০%), তৃতীয় চতুর্থক \(Q_3\) (উচ্চ ২৫%)।
চতুর্থক ব্যবধান বা আন্তঃচতুর্থক ব্যবধান
চতুর্থক ব্যবধান তৃতীয় চতুর্থক ও প্রথম চতুর্থকের পার্থক্যের অর্ধেক:
\[QD = \frac{Q_3 - Q_1}{2}\]
\(Q_3 - Q_1\) কে আন্তঃচতুর্থক পরিসর (Interquartile Range) বলে, যা মধ্য ৫০% উপাত্তের বিস্তার নির্দেশ করে।
চতুর্থক ব্যবধানের বৈশিষ্ট্য
- চরম মানগুলোর প্রভাব থেকে মুক্ত।
- শুধু মধ্য ৫০% উপাত্তের উপর ভিত্তি করে নির্ণয় করা হয়।
- বিচ্ছিন্ন ও শ্রেণিকৃত উভয় উপাত্তের জন্য ব্যবহারযোগ্য।
- খোলা শ্রেণিসীমার ক্ষেত্রেও নির্ণয় করা যায়।
- গাণিতিকভাবে ভালোভাবে সংজ্ঞায়িত নয়।
চতুর্থক ব্যবধান সহগ (Coefficient of Quartile Deviation)
\[\text{চতুর্থক ব্যবধান সহগ} = \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1}\]
উদাহরণ: নিম্নলিখিত শ্রেণিকৃত উপাত্তের চতুর্থক ব্যবধান ও চতুর্থক ব্যবধান সহগ নির্ণয় কর:
০-১০: ৫, ১০-২০: ১২, ২০-৩০: ১৮, ৩০-৪০: ১০, ৪০-৫০: ৫
সমাধান:
মোট ক্ষেত্রফল \(N = ৫০\)
\(Q_1\) এর অবস্থান: \(\frac{N}{4} = ১২.৫\) তম মান
\(Q_1\) শ্রেণি: ১০-২০ (কমিউলেটিভ ফ্রিকোয়েন্সি ৫ থেকে ১৭ এর মধ্যে)
\(Q_1 = L + \frac{\frac{N}{4} - cf}{f} \times h = ১০ + \frac{১২.৫ - ৫}{১২} \times ১০ = ১০ + ৬.২৫ = ১৬.২৫\)
\(Q_3\) এর অবস্থান: \(\frac{3N}{4} = ৩৭.৫\) তম মান
\(Q_3\) শ্রেণি: ৩০-৪০ (কমিউলেটিভ ফ্রিকোয়েন্সি ৩৫ থেকে ৪৫ এর মধ্যে)
\(Q_3 = ৩০ + \frac{৩৭.৫ - ৩৫}{১০} \times ১০ = ৩০ + ২.৫ = ৩২.৫\)
চতুর্থক ব্যবধান: \(QD = \frac{৩২.৫ - ১৬.২৫}{২} = ৮.১২৫\)
চতুর্থক ব্যবধান সহগ: \(\frac{৩২.৫ - ১৬.২৫}{৩২.৫ + ১৬.২৫} = \frac{১৬.২৫}{৪৮.৭৫} = ০.৩৩\)
ভেদাঙ্ক ও পরিমিত ব্যবধান (Variance and Standard Deviation)
গড় বিচ্যুতি (Mean Deviation)
গড় বিচ্যুতি হলো উপাত্তের প্রতিটি মান থেকে কেন্দ্রীয় মান (গড় বা মধ্যমা) এর বিচ্যুতির গড়। তবে বিচ্যুতির চিহ্ন বাদ দিয়ে যোগ করা হয়।
গড় থেকে গড় বিচ্যুতি: \(MD = \frac{\sum|x_i - \bar{x}|}{n}\)
মধ্যমা থেকে গড় বিচ্যুতি: \(MD = \frac{\sum|x_i - M|}{n}\)
ভেদাঙ্ক (Variance)
ভেদাঙ্ক হলো উপাত্তের মানগুলোর গড় থেকে বিচ্যুতির বর্গের গড়। এটি বিস্তার পরিমাপের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত মানদণ্ড।
জনসংখ্যার ভেদাঙ্ক (\(\sigma^2\)):
\[\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \mu)^2}{N}\]
নমুনার ভেদাঙ্ক (\(s^2\)):
\[s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}\]
(যেখানে \(n-1\) বোস-পর্যটন সংশোধন)
পরিমিত ব্যবধান বা প্রমণ বিচ্যুতি (Standard Deviation)
ভেদাঙ্কের বর্গমূলকে পরিমিত ব্যবধান বলে। এটি সর্বাধিক বিশ্বাসযোগ্য বিস্তার পরিমাপ কারণ এটি সকল মানকে বিবেচনায় নেয় এবং বীজগাণিতিকভাবে ভালভাবে প্রক্রিয়াকরণযোগ্য।
জনসংখ্যার পরিমিত ব্যবধান:
\[\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \mu)^2}{N}}\]
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি (Short-cut Method):
\[\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum x_i}{N}\right)^2} = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2}\]
শ্রেণিকৃত উপাত্তের ক্ষেত্রে
\[\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i x_i}{N}\right)^2}\]
যেখানে \(f_i\) হলো ক্ষেত্রফল, \(x_i\) হলো শ্রেণিকেন্দ্র বা মধ্যমান।
ধাপবিশিষ্ট বিচ্যুতি (Step Deviation Method)
যখন শ্রেণিসীমার মধ্যমানগুলো বড় বড় সংখ্যা হয়, তখন \(d_i = \frac{x_i - A}{h}\) ধরে হিসাব সহজ করা যায়, যেখানে \(A\) কোনো অনুমানযোগ্য মধ্যমান এবং \(h\) শ্রেণিসীমার প্রস্থ।
\[\sigma = h \times \sqrt{\frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2}\]
পরিমিত ব্যবধানের বৈশিষ্ট্য ও গুণাবলী
প্রধান বৈশিষ্ট্যসমূহ
- পরিমিত ব্যবধান সর্বদা ধনাত্মক হয় (বর্গমূলের কারণে)।
- এটি সকল মানকে বিবেচনায় নেয় এবং ভিন্ন ভিন্ন ওজন দেয় (বড় বিচ্যুতিকে বেশি ওজন)।
- গাণিতিকভাবে ভালোভাবে সংজ্ঞায়িত এবং পরবর্তী পরিসংখ্যান বিশ্লেষণের জন্য উপযোগী।
- চরম মানের প্রতি সংবেদনশীল (sensitive)।
- একক উপাত্তের এককের সমান হয়।
চেবিশেভের প্রমিত ব্যবধান (Chebyshev's Theorem)
কোনো উপাত্তের সেটের কমপক্ষে \(1 - \frac{1}{k^2}\) অংশ মান গড় থেকে \(k\) গুণ পরিমিত ব্যবধানের মধ্যে থাকে।
যেমন, \(k = 2\) হলে, কমপক্ষে \(1 - \frac{1}{4} = 75\%\) মান \(\mu \pm 2\sigma\) এর মধ্যে থাকে।
\(k = 3\) হলে, কমপক্ষে \(1 - \frac{1}{9} = 88.89\%\) মান \(\mu \pm 3\sigma\) এর মধ্যে থাকে।
পরিমিত ব্যবধানের রূপান্তর ধর্ম
যদি \(x_i\) এর পরিমিত ব্যবধান \(\sigma\) হয়, তবে:
- \(x_i + c\) এর পরিমিত ব্যবধান \(\sigma\) (যোগ বা বিয়োগে অপরিবর্তিত)
- \(cx_i\) এর পরিমিত ব্যবধান \(|c|\sigma\) (গুণনে \(c\) গুণ)
- \(\frac{x_i}{c}\) এর পরিমিত ব্যবধান \(\frac{\sigma}{|c|}\)
সমমিতি ও পরিমিত ব্যবধান
যদি দুটি উপাত্তের সেটের পরিমিত ব্যবধান সমান হয়, তবে তারা সমমিতি হতে পারে, কিন্তু সমান পরিমিত ব্যবধান মানেই সমান বিস্তার নয় কারণ বিস্তারের ধরন ভিন্ন হতে পারে।
আপেক্ষিক বিস্তার পরিমাপ (Relative Measures of Dispersion)
যখন দুটি ভিন্ন একক বা ভিন্ন গড় বিশিষ্ট উপাত্তের সেটের বিস্তার তুলনা করতে হয়, তখন পরম বিস্তার পরিমাপ ব্যবহার করা যায় না। সেক্ষেত্রে আপেক্ষিক বিস্তার পরিমাপ ব্যবহার করা হয়।
পরিমিত ব্যবধান সহগ বা পরিবর্তন সহগ (Coefficient of Variation, CV)
এটি সবচেয়ে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত আপেক্ষিক বিস্তার পরিমাপ:
\[CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%\]
যেখানে \(\sigma\) হলো পরিমিত ব্যবধান এবং \(\bar{x}\) হলো গাণিতিক গড়।
CV কম হলে উপাত্তটি বেশি সুষম (uniform) এবং গড় বেশি বিশ্বাসযোগ্য। CV বেশি হলে উপাত্তটি অসুষম এবং গড় কম বিশ্বাসযোগ্য।
উদাহরণ: দুটি শ্রেণীর ছাত্রদের নম্বরের বিস্তার তুলনা কর:
শ্রেণী ক: গড় = ৬০, পরিমিত ব্যবধান = ১০
শ্রেণী খ: গড় = ৪৫, পরিমিত ব্যবধান = ৮
সমাধান:
শ্রেণী ক এর CV = \(\frac{১০}{৬০} \times ১০০ = ১৬.৬৭\%\)
শ্রেণী খ এর CV = \(\frac{৮}{৪৫} \times ১০০ = ১৭.৭৮\%\)
যেহেতু শ্রেণী ক এর CV কম, সুতরাং শ্রেণী ক এর নম্বর বেশি সুষমভাবে বণ্টিত এবং তাদের গড় বেশি বিশ্বাসযোগ্য।
অন্যান্য আপেক্ষিক পরিমাপ
- পরিসরাঙ্ক সহগ: \(\frac{L-S}{L+S}\)
- চতুর্থক ব্যবধান সহগ: \(\frac{Q_3-Q_1}{Q_3+Q_1}\)
- গড় বিচ্যুতি সহগ: \(\frac{MD}{\bar{x}}\) বা \(\frac{MD}{M}\)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- বিস্তার পরিমাপের প্রয়োজনীয়তা: উপাত্তের ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকার পরিমাণ জানতে, কেন্দ্রীয় মানের বিশ্বাসযোগ্যতা যাচাই করতে।
- পরিসরাঙ্ক: \(R = L - S\), সহজ কিন্তু চরম মানের উপর নির্ভরশীল।
- চতুর্থক ব্যবধান: \(QD = \frac{Q_3 - Q_1}{2}\), চরম মান থেকে মুক্ত, মধ্য ৫০% উপাত্তের ভিত্তিতে।
- ভেদাঙ্ক: \(\sigma^2 = \frac{\sum(x-\bar{x})^2}{N}\), বিচ্যুতির বর্গের গড়।
- পরিমিত ব্যবধান: \(\sigma = \sqrt{\text{ভেদাঙ্ক}}\), সর্বাধিক বিশ্বাসযোগ্য বিস্তার পরিমাপ।
- পরিমিত ব্যবধানের বৈশিষ্ট্য: সকল মানকে বিবেচনায় নেয়, গাণিতিকভাবে উপযোগী, চরম মানের প্রতি সংবেদনশীল।
- আপেক্ষিক পরিমাপ: CV = \(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%\), ভিন্ন উপাত্তের তুলনায় ব্যবহৃত হয়।
বিস্তার পরিমাপ পরিসংখ্যানের অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অংশ যা শুধু কেন্দ্রীয় প্রবণতা দিয়ে পাওয়া যায় না এমন তথ্য প্রদান করে। পরিমিত ব্যবধান সবচেয়ে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় কারণ এটি সম্পূর্ণ উপাত্তের তথ্য ব্যবহার করে এবং পরবর্তী পরিসংখ্যান বিশ্লেষণের জন্য উপযোগী। তবে বিভিন্ন পরিস্থিতিতে বিভিন্ন পরিমাপ ব্যবহার করতে হয়, যেমন চরম মান থাকলে চতুর্থক ব্যবধান বেশি উপযুক্ত। সঠিক বিস্তার পরিমাপ নির্বাচন উপাত্তের প্রকৃতি এবং বিশ্লেষণের উদ্দেশ্যের উপর নির্ভর করে।