1. \( 2i \)
   [ঢা: বো: ০৯; সি: বো: ১৪, ০৫; রা: বো: ০৮, ০৬]
2. \( 3 + 4i \)
   [মাদ্রাসা বো: ১৫]
3. \( -7 + 24i \)
   [ঢা: বো: ১২]
4. \( -8 - 6\sqrt{-1} \)
   [কু: বো: ০৯; রা: বো: ১৩; চ: বো: ১৪; ব: বো: ১৪, ১০; দি: বো: ১৫, ১০; সি: বো: ১১; মাদ্রাসা বো: ১৩, ০৯]
5. \( 7 - 30\sqrt{-2} \)
   [কু: বো: ১২; রা: বো: ১৫]
6. \( 1 \pm i \)
   [চ: বো: ০৫]
7. \( 2x + i(x^2 - 1) \)
8. \( 2 + i\sqrt{x^2 - 4}, \; x > 2 \)
   [যশোর ১১–১২]
9. \( 8i \)
   [দিনাজপুর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–২(ক)]
10. \( \dfrac{-8i}{1 - i^2} \)
    [কুমিল্লা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(গ)]
11. \( -3 - 4i \)
    [বরিশাল বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(খ)]
12. \( -5 + 12\sqrt{-1} \)
    [যশোর বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(খ); রাজশাহী বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(ক)]

দেখাও যে,

1. \( i \) এর বর্গমূল \( \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) \)।
   [বরিশাল বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(ক)]
2. \( -i \) এর বর্গমূল \( \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} (1 - i) \)।
   [কুমিল্লা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(ক); দি: বো: ০৯; রা: বো: ০৬]
3. \( \sqrt{i} + \sqrt{-i} = \pm \sqrt{2} \)।
   [যশোর ০৫–০৬; কুমিল্লা ০৬–০৭, ০৮–০৯; য: বো: ১২]
4. \( \sqrt{4 + 2i} = \pm \left( \sqrt{2 + \sqrt{5}} + i\sqrt{\sqrt{5} - 2} \right) \)।
   [রাজশাহী বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(খ)]
5. \( \sqrt{x + i\sqrt{1 - x^2}} = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \sqrt{1 + x} + i\sqrt{1 - x} \right) \)।
6. \( \sqrt{-2 + 2\sqrt{-2 + 2\sqrt{-2 + \cdots}}} = 1 \pm i \)।
   [কুয়েট ০৭–০৮]

মান নির্ণয় কর:

1. \( \sqrt[3]{i} \)
   [ঢা: বো: ০৮; ব: বো: ১০; সি: বো: ১৫, ০৬; চ: বো: ১৩, ০৯; য: বো: ১৬; রা: বো: ০৫; কু: বো: ১২, ০৫; মাদ্রাসা বো: ১৪]
2. \( \sqrt[3]{-1} \)
   [রা: বো: ১৪]
3. \( \sqrt[4]{-144} \)
4. \( \sqrt[4]{-64} \)
5. \( \sqrt[4]{1} \)
6. \( \sqrt[6]{-64} \)
   [যশোর ০৩–০৪, ১০–১১; ঢা: বো: ০৬; রা: বো: ১৪; ব: বো: ১৬; কু: বো: ১৫; সি: বো: ১৬, ১১; য: বো: ০৩]
7. \( \sqrt[4]{-81} \)
   [ঢা: বো: ১০; কু: বো: ১৬; ব: বো: ০৮; সি: বো: ১৬; য: বো: ১১; দি: বো: ১৬]

1. যদি \( P = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}} \) হয়, তবে দেখাও যে, \( P^6 + P^4 + P^2 + 1 = 0 \)।
   [ঢা: বো: ০৫; চ: বো: ১৫, ১০, ০৮; ব: বো: ১১]
2. দেখাও যে, \( 1 + i + i^2 + i^3 + \cdots + i^{39} = 0 \)।
3. যদি \( x = 2 + i \) হয়, তবে দেখাও যে, \( x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5 = 0 \)।
   [মাদ্রাসা বো: ১৩]
4. \( x = 2 + \sqrt{-3} \) হলে \( 3x^4 - 17x^3 + 41x^2 - 35x + 5 \) এর মান নির্ণয় কর।
   [বুয়েট ০১–০২; মাদ্রাসা বো: ১০]

\( \sqrt[3]{a + ib} = x + iy \) হলে, প্রমাণ কর যে,

1. \( \sqrt[3]{a - ib} = x - iy \)
   [ঢাকা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(খ); বুয়েট ০৩–০৪, ০১–০২; রুয়েট ০৩–০৪, ০৭–০৮; চ: বো: ১৩; কু: বো: ১১; রা: বো: ১১, ০৯; সি: বো: ১০; দি: বো: ১০; য: বো: ০৬]
2. \( 4(x^2 - y^2) = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} \)
   [বরিশাল বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৪(গ); যশোর বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(গ); বুয়েট ০৫–০৬; কুয়েট ০৫–০৬, ০৮–০৯, ১১–১২; রুয়েট ০৫–০৬; ঢা: বো: ১১; কু: বো: ১৩, ০৯; দি: বো: ১৩; য: বো: ১৪, ১২; সি: বো: ১৬, ১৩; রা: বো: ১৬, ১৩; চ: বো: ১৬, ১২]

4. \( (1 - \omega^2)(1 - \omega^4)(1 - \omega^8)(1 - \omega^{10}) = 9 \)
   [ঢা. বি. ১৫–১৬; দি: বো: ১১; মাদ্রাসা বো: ১৫, ০৯]
5. \( (1 - \omega + \omega^2)^2 + (1 + \omega - \omega^2)^2 = -4 \)
6. \( (x + y)^2 + (x\omega + y\omega^2)^2 + (x\omega^2 + y\omega)^2 = 6xy \)
   [চ: বো: ১৫, ১২, ০৭; সি: বো: ১১; মাদ্রাসা বো: ১১]
7. \( (a + b + c)(a + b\omega + c\omega^2)(a + b\omega^2 + c\omega) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)
8. \( (1 - \omega + \omega^2)(1 - \omega^2 + \omega^4) (1 - \omega^4 + \omega^8)(1 - \omega^8 + \omega^{16}) = 16 \)
   [রা: বো: ০৮; ব: বো: ০৫; কু: বো: ১১]
9. \( (1 - \bar{\omega})(1 - \bar{\omega}^2) (1 - \bar{\omega}^4)(1 - \bar{\omega}^8) = 9 \)
10. \( (1 + \omega - \omega^2)(\omega + \omega^2 - 1) (\omega^2 + 1 - \omega) = -8 \)
    [চুয়েট ০৯–১০; ঢা: বো: ১৫, ১২; ব: বো: ০৯]
11. \( (1 - \omega + \omega^2)(1 - \omega^2 + \omega^4) (1 - \omega^4 + \omega^8) \cdots 2n \text{ উৎপাদক পর্যন্ত } = 2^{2n} \)
    [দি: বো: ১৩; ব: বো: ১১]

1. \( (a + b\omega + c\omega^2)^2 + (a\omega + b + c\omega^2)^2 + (a\omega + b\omega^2 + c)^2 = 0 \) হলে, প্রমাণ কর যে, \( a = c \) বা \( b = \dfrac{1}{2}(a + c) \)।
   [কু: বো: ১১]
2. \( (a\omega^2 + b + c\omega)^3 + (a\omega + b + c\omega^2)^3 = 0 \) হলে প্রমাণ কর যে, \( a = \dfrac{1}{2}(b + c) \) বা \( b = \dfrac{1}{2}(a + c) \) বা \( c = \dfrac{1}{2}(a + b) \)।
   [কুমিল্লা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–২(গ)]
3. যদি \( a + b + c = 0 \) হয় তবে দেখাও যে, \( (a + b\omega + c\omega^2)^3 + (a + b\omega^2 + c\omega)^3 = 27abc \)।
   [বরিশাল বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(গ); ঢা: বো: ১৬, ০৭, ০৫; য: বো: ১৫; সি: বো: ১০, ০৮; চ: বো: ১৬; রা: বো: ১০, ০৭; ব: বো: ১০]
4. \( z^2 + z + 1 = 0 \) সমীকরণের যে কোনো জটিল মূল \( \omega \) হলে, দেখাও যে, \( (1 + 3\omega)(1 + \omega)^2 \) এবং \( (1 + \omega + 3\omega^2) \) রাশিদ্বয়ের গুণফল \( 16 \) এবং যোগফল \( -4 \)।
5. এককের জটিল ঘনমূল \( \omega, \omega^2 \) হলে \( (-1 + \sqrt{-3})^7 + (-1 - \sqrt{-3})^7 \) এর মান নির্ণয় কর।
   [রাজশাহী বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–২(ক)]
6. \( x = p + q,\; y = p + \omega q \) এবং \( z = p + \omega^2 q \) হলে, দেখাও যে, \( x^3 + y^3 + z^3 = 3(p^3 + q^3) \)।
   [রাজশাহী, কুমিল্লা, চট্টগ্রাম ও বরিশাল বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–২(গ); রা: বো: ১৪]
7. \( x = p + q,\; y = p\omega + q\omega^2,\; z = p\omega^2 + q\omega \) হলে, দেখাও যে, \( x^2 + y^2 + z^2 = 6pq \)।
   [ঢা: বো: ১৩, ১০; রা: বো: ১১; চ: বো: ০৯; সি: বো: ১৩, ০৭; মাদ্রাসা বো: ১২]
8. \( x = \dfrac{1}{2}(-1 + \sqrt{-3}) \) এবং \( y = \dfrac{1}{2}(-1 - \sqrt{-3}) \) হলে, প্রমাণ কর যে,
   (a) \( x^2 + xy + y^2 = 0 \)
   (b) \( x^3 + y^3 = 2 = x^{-3} + y^{-3} \)
   (c) \( x^4 + y^4 = -1 \)।
9. প্রমাণ কর যে, \( \left( \dfrac{-1 + \sqrt{-3}}{2} \right)^n + \left( \dfrac{-1 - \sqrt{-3}}{2} \right)^n = 2 \) যখন \( n \) এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য এবং \( -1 \), যখন \( n \) অপর কোনো পূর্ণ সংখ্যা।
   [ঢা: বো: ০৮; কু: বো: ১৫; রা: বো: ০৯; সি: বো: ০৯; য: বো: ০৯; ব: বো: ০৬]