৬.৩ অধিবৃত্ত (Hyperbola)
অধিবৃত্ত (Hyperbola) হলো সেই কনিক যার উৎকেন্দ্রিকতা এক থেকে বেশি (\(e > 1\))। এটি একটি উন্মুক্ত বক্ররেখা যা দুটি অসমপ্রসারিত শাখা নিয়ে গঠিত এবং দুটি উপকেন্দ্র বিশিষ্ট। জ্যামিতিক সংজ্ঞায়, সমতলে এমন সকল বিন্দুর স্থানাঙ্কের সেট যাদের দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দূরত্বের বিয়োগফলের পরম মান সর্বদা অপরিবর্তনীয় থাকে, তাকে অধিবৃত্ত বলে। অধিবৃত্তের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য হলো এর অসীমতট (Asymptotes) বা স্পর্শক বৃত্তি রেখা, যার দিকে বক্ররেখাটি অসীমতায় গমন করলে ধীরে ধীরে মিলিত হতে থাকে কিন্তু কখনো স্পর্শ করে না। নৌযানের জ্যামিতিক নকশা, বৃহৎ দূরত্বের বেতার সংকেতের পথ নির্ণয় এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানে কিছু ধূমকেতুর কক্ষপথে এই বক্ররেখার প্রয়োগ দেখা যায়।
অধিবৃত্তের সংজ্ঞা ও উৎপত্তি
উৎকেন্দ্রিকতার ভিত্তিতে সংজ্ঞা
একটি অচল বিন্দু এবং একটি অচল সরলরেখা থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত সর্বদা অপরিবর্তনীয় এবং এক থেকে বেশি (\(e > 1\)), সেই সকল বিন্দুর স্থানাঙ্কের সেটকে অধিবৃত্ত বলে। এখানে অচল বিন্দুকে উপকেন্দ্র (Focus) এবং অচল সরলরেখাকে নিয়ামত (Directrix) বলা হয়।
ধরা যাক, উপকেন্দ্র \(S\) এবং নিয়ামতের উপর বিন্দু \(P\) হতে অঙ্কিত লম্ব \(PM\)。 তাহলে:
\[\frac{SP}{PM} = e \quad \text{যেখানে} \quad e > 1\]
দুটি উপকেন্দ্র বিশিষ্ট সংজ্ঞা
সমতলে অবস্থিত দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(S\) ও \(S'\) থেকে দূরত্বের বিয়োগফলের পরম মান যে সকল বিন্দু \(P\) এর জন্য অপরিবর্তনীয় (\(2a\)), সেই সকল বিন্দুর স্থানাঙ্কের সেটই অধিবৃত্ত গঠন করে।
\[|S'P - SP| = 2a\]
যেখানে \(2a\) হলো অধিবৃত্তের অনুপ্রস্থ অক্ষের (Transverse Axis) দৈর্ঘ্য।
এই সংজ্ঞা থেকে স্পষ্ট যে অধিবৃত্তের দুটি শাখা বিদ্যমান, একটি শাখায় \(S'P - SP = 2a\) এবং অপর শাখায় \(SP - S'P = 2a\)।
মূল বিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ
অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য আমরা এমন একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা গ্রহণ করি যেখানে কেন্দ্র মূল বিন্দুতে অবস্থিত এবং অনুপ্রস্থ অক্ষ \(x\)-অক্ষের উপর অবস্থিত।
সমীকরণের উৎপত্তি
ধরা যাক, অধিবৃত্তের কেন্দ্র মূল বিন্দু \(O(0,0)\) এবং অনুপ্রস্থ অক্ষ \(x\)-অক্ষের উপর অবস্থিত। উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(ae, 0)\) এবং \(S'(-ae, 0)\), যেখানে \(e > 1\) এবং \(a\) হলো অনুপ্রস্থ অক্ষের অর্ধেক দৈর্ঘ্য।
অধিবৃত্তের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যেকোনো বিন্দু \(P(x,y)\) এর জন্য:
\[S'P - SP = 2a \quad \text{(ডান শাখার জন্য)}\]
\[\sqrt{(x+ae)^2 + y^2} - \sqrt{(x-ae)^2 + y^2} = 2a\]
দ্বিতীয় পদকে স্থানান্তর করে বর্গ করে:
\[(x+ae)^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-ae)^2 + y^2} + (x-ae)^2 + y^2\]
সরলীকরণ করে:
\[4aex = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-ae)^2 + y^2}\]
\[ex - a = \sqrt{(x-ae)^2 + y^2}\]
আবার বর্গ করে:
\[e^2x^2 - 2aex + a^2 = x^2 - 2aex + a^2e^2 + y^2\]
\[x^2(e^2 - 1) - y^2 = a^2(e^2 - 1)\]
\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2(e^2-1)} = 1\]
ধরি, \(b^2 = a^2(e^2 - 1)\) যেখানে \(b\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(e > 1\) হওয়ায় \(b^2 > 0\)। সুতরাং অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ:
\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]
শর্ত: \(b^2 = a^2(e^2 - 1)\) অথবা \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)
উলম্ব অনুপ্রস্থ অক্ষের ক্ষেত্রে
যদি অনুপ্রস্থ অক্ষ \(y\)-অক্ষের উপর অবস্থিত হয়, তবে সমীকরণ হয়:
\[\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\]
এক্ষেত্রে উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm ae)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((0, \pm a)\)।
অধিবৃত্তের মৌলিক উপাদানসমূহ ও তাদের বৈশিষ্ট্য
অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণের বৈশিষ্ট্যসমূহ
সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) এর জন্য:
- কেন্দ্র (Centre): মূল বিন্দু \((0,0)\), যা বক্রতার সমমিতির কেন্দ্রবিন্দু।
- অনুপ্রস্থ অক্ষ (Transverse Axis): উপকেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখা বা \(x\)-অক্ষ, দৈর্ঘ্য \(2a\)।
- অনুদৈর্ঘ্য অক্ষ (Conjugate Axis): কেন্দ্র দিয়ে অনুপ্রস্থ অক্ষের উপর লম্ব রেখা বা \(y\)-অক্ষ, দৈর্ঘ্য \(2b\)।
- শীর্ষবিন্দু (Vertices): অনুপ্রস্থ অক্ষ ও অধিবৃত্তের ছেদবিন্দু দুটি \((\pm a, 0)\)।
- উপকেন্দ্র (Foci): \((\pm ae, 0)\) যেখানে \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)।
- নিয়ামত (Directrices): \(x = \pm \frac{a}{e}\)।
উপকেন্দ্রিক লম্ব (Latus Rectum) ও এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়
উপকেন্দ্র দিয়ে অনুপ্রস্থ অক্ষের উপর লম্ব অঙ্কিত জ্যাকে উপকেন্দ্রিক লম্ব বলে। উপকেন্দ্র \((ae, 0)\) এর জন্য \(x = ae\) বসালে:
\[\frac{a^2e^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]
\[e^2 - 1 = \frac{y^2}{b^2}\]
\[\frac{b^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2} \quad [\because b^2 = a^2(e^2-1)]\]
\[y^2 = \frac{b^4}{a^2}\]
\[y = \pm \frac{b^2}{a}\]
সুতরাং উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((ae, \frac{b^2}{a})\) এবং \((ae, -\frac{b^2}{a})\)।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \(\frac{2b^2}{a}\)
উপকেন্দ্রিক দূরত্ব (Focal Distances)
অধিবৃত্তের কোনো বিন্দু \(P(x,y)\) এর উপকেন্দ্রদ্বয় থেকে দূরত্ব:
\[SP = ex - a\]
\[S'P = ex + a\]
বিয়োগ করে: \(S'P - SP = 2a\) (অধিবৃত্তের সংজ্ঞার সাথে সামঞ্জস্য)
লক্ষণীয় যে অধিবৃত্তের কোনো বিন্দুর একটি উপকেন্দ্রিক দূরত্ব অপরটির চেয়ে সর্বদা \(2a\) বেশি।
অধিবৃত্তের অসীমতট (Asymptotes)
অসীমতট (Asymptotes) হলো এমন সরলরেখা যার দিকে অধিবৃত্তের শাখাগুলো অসীমতায় গমন করলে ধীরে ধীরে মিলিত হতে থাকে কিন্তু কখনো স্পর্শ করে না। এটি অধিবৃত্তের অন্যতম প্রধান বৈশিষ্ট্য যা একে উপবৃত্ত থেকে পৃথক করে।
অসীমতটের সমীকরণ নির্ণয়
অধিবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) কে লিখা যায়:
\[\frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{a^2} - 1\]
\[y^2 = \frac{b^2}{a^2}x^2\left(1 - \frac{a^2}{x^2}\right)\]
\[y = \pm \frac{b}{a}x\sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}}\]
যখন \(x \to \infty\), তখন \(\frac{a^2}{x^2} \to 0\) এবং \(\sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}} \to 1\)
সুতরাং অসীমতটের সমীকরণ:
\[y = \pm \frac{b}{a}x\]
বা সম্মিলিতভাবে: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0\)
বা \((\frac{x}{a} + \frac{y}{b})(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) = 0\)
অসীমতটের বৈশিষ্ট্য
- অসীমতট দুটি কেন্দ্রগামী সরলরেখা যা পরস্পরের সাথে কেন্দ্রে ছেদ করে।
- অসীমতটের সমীকরণের ব্যবধান অধিবৃত্তের সমীকরণের বাম পক্ষ শূন্য রেখে পাওয়া যায়।
- অসীমতটদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(2\tan^{-1}(\frac{b}{a})\)।
- অসীমতটের ঢাল \(\pm \frac{b}{a}\)।
অনুদৈর্ঘ্য অক্ষের সাথে সম্পর্ক
অধিবৃত্তের অসীমতটগুলোর মধ্যে যে আয়তক্ষেত্র গঠিত হয়, তার বাহুর দৈর্ঘ্য \(2a\) এবং \(2b\)। এই আয়তক্ষেত্রের কर्णদ্বয়ই হলো অসীমতট।
পরামিতিক স্থানাঙ্ক ও যুগ্ম অধিবৃত্ত
পরামিতিক সমীকরণ
অধিবৃত্ত \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) এর বিন্দুসমূহকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সাহায্যে প্রকাশ করা যায়। ধরা যাক:
\[x = a\sec\phi, \quad y = b\tan\phi\]
যেখানে \(\phi\) একটি পরামিতি যাকে অধিবৃত্তীয় কোণ বলা যেতে পারে। যাচাই করে দেখা যায়:
\[\frac{a^2\sec^2\phi}{a^2} - \frac{b^2\tan^2\phi}{b^2} = \sec^2\phi - \tan^2\phi = 1\]
বিকল্পভাবে, \(\phi\) এর পরিবর্তে \(t\) পরামিতি ব্যবহার করে লেখা যায়:
\[x = a \cdot \frac{e^t + e^{-t}}{2} = a\cosh t, \quad y = b \cdot \frac{e^t - e^{-t}}{2} = b\sinh t\]
যেখানে \(\cosh t\) ও \(\sinh t\) যথাক্রমে হাইপারবোলিক কোসাইন ও সাইন ফাংশন।
যুগ্ম অধিবৃত্ত (Conjugate Hyperbola)
অধিবৃত্ত \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) এর অনুদৈর্ঘ্য অক্ষকে অনুপ্রস্থ অক্ষ এবং অনুপ্রস্থ অক্ষকে অনুদৈর্ঘ্য অক্ষ ধরে যে অধিবৃত্ত গঠিত হয়, তাকে যুগ্ম অধিবৃত্ত বলে। এর সমীকরণ:
\[\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \quad \text{বা} \quad \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1\]
যুগ্ম অধিবৃত্তের বৈশিষ্ট্য:
- শীর্ষবিন্দু \((0, \pm b)\)
- উপকেন্দ্র \((0, \pm be')\) যেখানে \(e' = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}\)
- এর অসীমতট একই থাকে, অর্থাৎ \(y = \pm \frac{b}{a}x\)
- দুটি অধিবৃত্তের একই অসীমতট থাকায় এদের সহঅসীমতট (Confocal) বলা হয় না, বরং সহঅসীমতট অধিবৃত্ত (Conjugate Hyperbolas) বলা হয়।
সমকোণী অধিবৃত্ত (Rectangular Hyperbola)
এমন অধিবৃত্ত যার অসীমতট পরস্পরের উপর লম্ব বা সমকোণ উৎপন্ন করে, তাকে সমকোণী অধিবৃত্ত বলে। অসীমতটের ঢাল \(\pm \frac{b}{a}\) হওয়ায় এবং পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত \(\frac{b}{a} \cdot (-\frac{b}{a}) = -1\) হলে:
\[\frac{b^2}{a^2} = 1 \Rightarrow a = b\]
সুতরাং সমকোণী অধিবৃত্তের সমীকরণ:
\[x^2 - y^2 = a^2\]
এক্ষেত্রে উৎকেন্দ্রিকতা:
\[e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{2}\]
সমকোণী অধিবৃত্তের অসীমতট \(y = \pm x\) যা পরস্পরের উপর লম্ব এবং কেন্দ্রে সমকোণে ছেদ করে। এটি অধিবৃত্তের বিশেষ ক্ষেত্র যা অনেক সমীকরণ সমাধানে সহজতা আনে।
অধিবৃত্তের সহায়ক বৃত্ত (Auxiliary Circle)
অধিবৃত্তের কেন্দ্রে কেন্দ্রভুক্ত এবং অনুপ্রস্থ অক্ষকে ব্যাসরূপে গ্রহণ করে যে বৃত্ত অঙ্কন করা হয়, তাকে সহায়ক বৃত্ত বলে। এর সমীকরণ \(x^2 + y^2 = a^2\)।
অধিবৃত্তের বিন্দু \((a\sec\phi, b\tan\phi)\) এবং সহায়ক বৃত্তের সংশ্লিষ্ট বিন্দু \((a\cos\phi, a\sin\phi)\) এর মধ্যে সম্পর্ক বিদ্যমান।
স্পর্শক ও অধিঃস্পর্শকের সমীকরণ
বিন্দু \((x_1, y_1)\) এ স্পর্শকের সমীকরণ
অধিবৃত্ত \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) এর বক্রতার উপর বিন্দু \((x_1, y_1)\) এ স্পর্শকের সমীকরণ:
\[\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1\]
পরামিতিক বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
বিন্দু \((a\sec\phi, b\tan\phi)\) এ স্পর্শকের সমীকরণ:
\[\frac{x\sec\phi}{a} - \frac{y\tan\phi}{b} = 1\]
বা \(\frac{x}{a}\sec\phi - \frac{y}{b}\tan\phi = 1\)
ঢাল দেওয়া থাকলে স্পর্শকের সমীকরণ
ঢাল \(m\) বিশিষ্ট স্পর্শকের সমীকরণ:
\[y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}\]
যেকোনো ঢালের স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে যদি \(a^2m^2 > b^2\) বা \(|m| > \frac{b}{a}\) হয়। অর্থাৎ অসীমতটের ঢালের বাইরের সকল ঢালের জন্য স্পর্শক বিদ্যমান।
অধিঃস্পর্শকের সমীকরণ
বিন্দু \((x_1, y_1)\) এ অধিঃস্পর্শকের সমীকরণ:
\[\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2\]
বা \(\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2e^2\)
উৎকেন্দ্রিকতা হতে অধিবৃত্তের সমীকরণ ও সাধারণ রূপ
উপকেন্দ্র ও নিয়ামত হতে সমীকরণ নির্ণয়
যদি উপকেন্দ্র \((\pm ae, 0)\) এবং নিয়ামত \(x = \pm \frac{a}{e}\) দেওয়া থাকে, তবে সরাসরি সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) পাওয়া যায় যেখানে \(b^2 = a^2(e^2-1)\)।
কেন্দ্র মূল বিন্দুতে না থাকলে
যদি অধিবৃত্তের কেন্দ্র \((h, k)\) বিন্দুতে অবস্থিত করে এবং অনুপ্রস্থ অক্ষ \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে সমীকরণ:
\[\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\]
এর উন্মোচন করে পাওয়া যায় \(Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\) আকার যেখানে \(A\) ও \(B\) এর চিহ্ন বিপরীত।
সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে অধিবৃত্ত নির্ণয়
সমীকরণ \(ax^2 + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে যদি \(a\) ও \(b\) এর চিহ্ন বিপরীত হয় (একটি ধনাত্মক, অন্যটি ঋণাত্মক) এবং সমীকরণটি দুটি বাস্তব ও বিভিন্ন সরলরেখায় বিশ্লেষণীয় না হয়।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- সংজ্ঞা: \(e > 1\) এবং \(|S'P - SP| = 2a\) (ধ্রুবক)।
- আদর্শ সমীকরণ: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) যেখানে \(b^2 = a^2(e^2 - 1)\) এবং \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)।
- অনুপ্রস্থ অক্ষ: দৈর্ঘ্য \(2a\), শীর্ষ \((\pm a, 0)\)।
- অনুদৈর্ঘ্য অক্ষ: দৈর্ঘ্য \(2b\), ছেদবিন্দু \((0, \pm b)\)।
- উপকেন্দ্র: \((\pm ae, 0)\) এবং নিয়ামত: \(x = \pm \frac{a}{e}\)।
- উপকেন্দ্রিক লম্ব: দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}\)।
- অসীমতট: \(y = \pm \frac{b}{a}x\) বা \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0\), যার দিকে শাখাগুলো অসীমতায় মিলিত হতে থাকে।
- পরামিতিক স্থানাঙ্ক: \((a\sec\phi, b\tan\phi)\) বা \((a\cosh t, b\sinh t)\)।
- যুগ্ম অধিবৃত্ত: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1\), যার অসীমতট একই।
- সমকোণী অধিবৃত্ত: \(x^2 - y^2 = a^2\) যার \(e = \sqrt{2}\) এবং অসীমতট পরস্পরের উপর লম্ব।
- স্পর্শক: \(\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1\) এবং ঢাল \(m\) হলে \(y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}\) (শর্ত \(|m| > \frac{b}{a}\))।
অধিবৃত্তের অসীমতটের ধর্ম একে বাস্তব জগতের বিভিন্ন প্রয়োগে বিশেষ করে ন্যাভিগেশন প্রকৌশলে গুরুত্বপূর্ণ করে তোলে। দূরবীক্ষণ যন্ত্রের নকশা এবং বেতার তরঙ্গের ব্যাপন ক্ষেত্রে অধিবৃত্তের জ্যামিতিক ধর্ম ব্যবহার করা হয়। এছাড়াও অর্থনীতিতে সুদের হার এবং জনসংখ্যা বৃদ্ধির মডেলে অধিবৃত্তাকার ফাংশনের প্রয়োগ দেখা যায়।