৬.২ উপবৃত্ত (Ellipse)
উপবৃত্ত (Ellipse) হলো সেই কনিক যার উৎকেন্দ্রিকতা এক থেকে কম (\(e < 1\))। এটি একটি বদ্ধ বক্ররেখা যা দুটি উপকেন্দ্র বিশিষ্ট। জ্যামিতিক সংজ্ঞায়, এমন সকল বিন্দুর স্থানাঙ্কের সেট যাদের দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু (উপকেন্দ্রদ্বয়) থেকে দূরত্বের যোগফল সর্বদা অপরিবর্তনীয় থাকে, তাকে উপবৃত্ত বলে। গ্রহগুলো সূর্যের চারদিকে উপবৃত্তাকার কক্ষপথে আবর্তন করে, যা এই বক্ররেখার বাস্তব জগতে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ। এই অধ্যায়ে আমরা উপবৃত্তের সমীকরণ, এর বিভিন্ন উপাদান যেমন বৃহদাক্ষ, ক্ষুবৃহদাক্ষ, উপকেন্দ্রিক লম্ব এবং পরামিতিক রূপ বিস্তারিত আলোচনা করব।
উপবৃত্তের সংজ্ঞা ও মৌলিক ধারণা
উৎকেন্দ্রিকতার ভিত্তিতে সংজ্ঞা
একটি অচল বিন্দু এবং একটি অচল সরলরেখা থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত সর্বদা অপরিবর্তনীয় এবং এক থেকে কম (\(e < 1\)), সেই সকল বিন্দুর স্থানাঙ্কের সেটকে উপবৃত্ত বলে। এখানে অচল বিন্দুকে উপকেন্দ্র (Focus), অচল সরলরেখাকে নিয়ামত (Directrix) এবং অনুপাতটিকে উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) বলা হয়।
ধরা যাক, উপকেন্দ্র \(S\) এবং নিয়ামত সরলরেখাটির উপর বিন্দু \(P\) হতে অঙ্কিত লম্ব \(PM\)। তাহলে উপবৃত্তের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
\[\frac{SP}{PM} = e \quad \text{যেখানে} \quad e < 1\]
দুটি উপকেন্দ্র বিশিষ্ট সংজ্ঞা
উপবৃত্তের সবচেয়ে পরিচিত সংজ্ঞা হলো: সমতলে অবস্থিত দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(S\) ও \(S'\) থেকে দূরত্বের যোগফল যে সকল বিন্দু \(P\) এর জন্য অপরিবর্তনীয় (\(2a\)), সেই সকল বিন্দুর স্থানাঙ্কের সেটই উপবৃত্ত গঠন করে।
\[SP + S'P = 2a\]
যেখানে \(2a\) হলো উপবৃত্তের বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য।
মূল উপাদানসমূহ
- কেন্দ্র (Centre): উপবৃত্তের সimetrical কেন্দ্রবিন্দু, যা বৃহদাক্ষ ও ক্ষুবৃহদাক্ষের ছেদবিন্দু।
- বৃহদাক্ষ (Major Axis): উপকেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখা, যার উপর উপবৃত্তের দীর্ঘতম व्यास অবস্থিত। দৈর্ঘ্য \(2a\)।
- ক্ষুবৃহদাক্ষ (Minor Axis): কেন্দ্র দিয়ে বৃহদাক্ষের উপর লম্ব রেখা, যার উপর উপবৃত্তের সংক্ষিপ্ততম व्यास অবস্থিত। দৈর্ঘ্য \(2b\)।
- শীর্ষবিন্দু (Vertices): বৃহদাক্ষ ও উপবৃত্তের ছেদবিন্দু দুটি, যেগুলোর মধ্যে দূরত্ব সর্বাধিক।
- উপকেন্দ্র (Foci): বৃহদাক্ষের উপর অবস্থিত দুটি বিন্দু, কেন্দ্র থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত।
- নিয়ামত (Directrices): উপকেন্দ্রদ্বয়ের বিপরীত দিকে বৃহদাক্ষের উপর লম্ব দুটি সরলরেখা।
উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণের উৎপত্তি
উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য আমরা এমন একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা গ্রহণ করি যেখানে কেন্দ্র মূল বিন্দুতে অবস্থিত এবং বৃহদাক্ষ \(x\)-অক্ষের উপর অবস্থিত।
সমীকরণ নির্ণয়
ধরা যাক, উপবৃত্তের কেন্দ্র মূল বিন্দু \(O(0,0)\) এবং বৃহদাক্ষ \(x\)-অক্ষের উপর অবস্থিত। উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \(S(ae, 0)\) এবং \(S'(-ae, 0)\), যেখানে \(e\) হলো উৎকেন্দ্রিকতা এবং \(a\) অর্ধ-বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য।
উপবৃত্তের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যেকোনো বিন্দু \(P(x,y)\) এর জন্য:
\[SP + S'P = 2a\]
\[\sqrt{(x-ae)^2 + y^2} + \sqrt{(x+ae)^2 + y^2} = 2a\]
প্রথম পদকে স্থানান্তর করে বর্গ করে:
\[(x-ae)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x+ae)^2 + y^2} + (x+ae)^2 + y^2\]
সরলীকরণ করে:
\[x^2 - 2aex + a^2e^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x+ae)^2 + y^2} + x^2 + 2aex + a^2e^2\]
\[-4aex - 4a^2 = -4a\sqrt{(x+ae)^2 + y^2}\]
\[x + a = \sqrt{(x+ae)^2 + y^2}\]
আবার বর্গ করে:
\[x^2 + 2ax + a^2 = x^2 + 2aex + a^2e^2 + y^2\]
\[x^2(1-e^2) + y^2 = a^2(1-e^2)\]
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2(1-e^2)} = 1\]
ধরি, \(b^2 = a^2(1-e^2)\) যেখানে \(b < a\) এবং \(b\) হলো অর্ধ-ক্ষুবৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য। সুতরাং উপবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ:
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]
শর্ত: \(a > b\) এবং \(b^2 = a^2(1-e^2)\) অথবা \(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\)
উলম্ব বৃহদাক্ষের ক্ষেত্রে
যদি বৃহদাক্ষ \(y\)-অক্ষের উপর অবস্থিত হয়, তবে সমীকরণ হয়:
\[\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a > b)\]
এক্ষেত্রে উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((0, \pm ae)\) এবং শীর্ষবিন্দু \((0, \pm a)\)।
উপবৃত্তের বিভিন্ন উপাদান ও তাদের স্থানাঙ্ক
বৃহদাক্ষ ও ক্ষুবৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয়
সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) থেকে:
- বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য: \(2a\) (যদি \(a > b\) হয়)
- ক্ষুবৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য: \(2b\)
- অর্ধ-বৃহদাক্ষ: \(a\)
- অর্ধ-ক্ষুবৃহদাক্ষ: \(b\)
দুই শীর্ষবিন্দুর মধ্যে দূরত্ব \(2a\) এবং দুই সহ-শীর্ষবিন্দু (co-vertices) এর মধ্যে দূরত্ব \(2b\)।
উপকেন্দ্র ও নিয়ামতের সমীকরণ নির্ণয়
সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) এর জন্য:
উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: \((\pm ae, 0)\)
যেখানে \(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\)
নিয়ামতদ্বয়ের সমীকরণ: \(x = \pm \frac{a}{e}\)
উপকেন্দ্র থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব \(ae\) এবং কেন্দ্র থেকে নিয়ামতের দূরত্ব \(\frac{a}{e}\)। সুতরাং উপকেন্দ্র ও নিয়ামতের মধ্যে দূরত্ব \(\frac{a}{e} - ae = \frac{a(1-e^2)}{e} = \frac{b^2}{ae}\)।
উপকেন্দ্রিক লম্ব (Latus Rectum) ও এর দৈর্ঘ্য
উপকেন্দ্র দিয়ে বৃহদাক্ষের উপর লম্ব অঙ্কিত জ্যাকে উপকেন্দ্রিক লম্ব বলে। উপকেন্দ্র \((ae, 0)\) এর জন্য \(x = ae\) বসালে:
\[\frac{a^2e^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]
\[\frac{y^2}{b^2} = 1 - e^2 = \frac{b^2}{a^2}\]
\[y^2 = \frac{b^4}{a^2}\]
\[y = \pm \frac{b^2}{a}\]
সুতরাং উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((ae, \frac{b^2}{a})\) এবং \((ae, -\frac{b^2}{a})\)।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \(2\frac{b^2}{a} = \frac{2b^2}{a}\)
অর্ধেক উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \(\frac{b^2}{a}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য বৃহদাক্ষ ও ক্ষুবৃহদাক্ষের সাথে সম্পর্কিত। যদি \(l\) দ্বারা উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করা হয়, তবে \(l = \frac{2b^2}{a}\) এবং \(b^2 = \frac{al}{2}\)।
উপকেন্দ্রিক দূরত্ব (Focal Distances)
উপবৃত্তের কোনো বিন্দু \(P(x,y)\) এর উপকেন্দ্রদ্বয় থেকে দূরত্বকে উপকেন্দ্রিক দূরত্ব বলে।
\[SP = a - ex\]
\[S'P = a + ex\]
যোগ করে: \(SP + S'P = 2a\) (উপবৃত্তের সংজ্ঞার সাথে সামঞ্জস্য)
পরামিতিক স্থানাঙ্ক ও সহায়ক বৃত্ত
পরামিতিক সমীকরণ
উপবৃত্ত \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) এর বিন্দুসমূহকে একটি কোণ \(\phi\) এর সাহায্যে প্রকাশ করা যায়। ধরা যাক:
\[x = a\cos\phi, \quad y = b\sin\phi\]
যেখানে \(\phi\) কে উৎকেন্দ্রিক কোণ (Eccentric Angle) বলা হয়। এই কোণটি সহায়ক বৃত্তে সংশ্লিষ্ট বিন্দুর কেন্দ্রস্থ কোণ।
বিন্দু \((a\cos\phi, b\sin\phi)\) কে সংক্ষেপে বিন্দু \(\phi\) বলা হয়। এই পরামিতিক রূপ ব্যবহার করে স্পর্শক, অধিঃস্পর্শক এবং অন্যান্য জ্যামিতিক রেখার সমীকরণ সহজে নির্ণয় করা যায়।
সহায়ক বৃত্ত (Auxiliary Circle)
উপবৃত্তের কেন্দ্রে কেন্দ্রভুক্ত এবং বৃহদাক্ষকে ব্যাসরূপে গ্রহণ করে যে বৃত্ত অঙ্কন করা হয়, তাকে সহায়ক বৃত্ত (Auxiliary Circle) বলে। এর সমীকরণ:
\[x^2 + y^2 = a^2\]
উপবৃত্তের বিন্দু \(P(a\cos\phi, b\sin\phi)\) এবং সহায়ক বৃত্তের সংশ্লিষ্ট বিন্দু \(Q(a\cos\phi, a\sin\phi)\) এর মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে। বিন্দু \(P\) এবং \(Q\) একই লম্ব রেখার উপর অবস্থিত যা বৃহদাক্ষের উপর লম্ব।
নির্দেশক বৃত্ত (Director Circle)
উপবৃত্তের উপর অঙ্কিত দুটি পরস্পর লম্ব স্পর্শকের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্কের সেট একটি বৃত্ত গঠন করে, যাকে নির্দেশক বৃত্ত বলে।
\[x^2 + y^2 = a^2 + b^2\]
এই বৃত্তের ব্যাসসমূহ উপবৃত্তের বৃহদাক্ষ ও ক্ষুবৃহদাক্ষের উপর লম্ব।
অন্যান্য বিশেষ বৃত্ত
ক্ষুবৃহদাক্ষ সহায়ক বৃত্ত (Minor Auxiliary Circle): কেন্দ্রে কেন্দ্রভুক্ত এবং ক্ষুবৃহদাক্ষকে ব্যাসরূপে গ্রহণ করে যে বৃত্ত, তার সমীকরণ \(x^2 + y^2 = b^2\)।
উপবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ ও বিশ্লেষণ
কেন্দ্র মূল বিন্দুতে না থাকলে
যদি উপবৃত্তের কেন্দ্র \((h, k)\) বিন্দুতে অবস্থিত করে এবং বৃহদাক্ষ \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে সমীকরণ:
\[\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)\]
এর উন্মোচন করে পাওয়া যায়:
\[b^2x^2 + a^2y^2 - 2b^2hx - 2a^2ky + b^2h^2 + a^2k^2 - a^2b^2 = 0\]
যা \(Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\) আকারের যেখানে \(A\) ও \(B\) এর চিহ্ন একই এবং \(A \neq B\)।
সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে উপবৃত্ত নির্ণয়
সমীকরণ \(ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে যদি:
- \(h^2 < ab\) (বিচরণ সূত্র অনুযায়ী)
- \(\Delta \neq 0\) (যেখানে \(\Delta\) হলো বিস্তারক)
- সমীকরণটি দুটি বাস্তব ও বিভিন্ন সরলরেখায় বিশ্লেষণীয় না হয়
বৃহদাক্ষের সমীকরণ থেকে উপকেন্দ্র ও নিয়ামত নির্ণয়
যখন উপবৃত্তের সমীকরণ দেওয়া থাকে এবং বৃহদাক্ষের অবস্থান জানা থাকে, তখন উপকেন্দ্র ও নিয়ামত নির্ণয়ের পদ্ধতি:
- সমীকরণটিকে প্রমিত রূপে রূপান্তর করে \(a\) ও \(b\) নির্ণয় করুন
- সূত্র \(e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\) ব্যবহার করে উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয় করুন
- বৃহদাক্ষের অবস্থান অনুযায়ী উপকেন্দ্র নির্ণয় করুন:
- যদি বৃহদাক্ষ \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল: উপকেন্দ্র \((h \pm ae, k)\)
- যদি বৃহদাক্ষ \(y\)-অক্ষের সমান্তরাল: উপকেন্দ্র \((h, k \pm ae)\)
- নিয়ামতের সমীকরণ:
- \(x\)-অক্ষের সমান্তরাল বৃহদাক্ষ: \(x = h \pm \frac{a}{e}\)
- \(y\)-অক্ষের সমান্তরাল বৃহদাক্ষ: \(y = k \pm \frac{a}{e}\)
উদাহরণ: \(9x^2 + 4y^2 - 18x - 16y - 11 = 0\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্র ও নিয়ামত নির্ণয় কর।
সমাধান:
\(9(x^2 - 2x) + 4(y^2 - 4y) = 11\)
\(9(x-1)^2 - 9 + 4(y-2)^2 - 16 = 11\)
\(9(x-1)^2 + 4(y-2)^2 = 36\)
\[\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{9} = 1\]
এখানে \(a^2 = 9, b^2 = 4\) তবে যেহেতু \(9 > 4\) এবং \(y\) এর পরামিতি বড়, তাই বৃহদাক্ষ \(y\)-অক্ষের সমান্তরাল।
\(a = 3, b = 2\)
\(e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\)
কেন্দ্র \((1, 2)\)
উপকেন্দ্র: \((1, 2 \pm 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}) = (1, 2 \pm \sqrt{5})\)
নিয়ামত: \(y = 2 \pm \frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = 2 \pm \frac{9}{\sqrt{5}}\)
স্পর্শক ও অধিঃস্পর্শকের সমীকরণ
বিন্দু \((x_1, y_1)\) এ স্পর্শকের সমীকরণ
উপবৃত্ত \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) এর বক্রতার উপর বিন্দু \((x_1, y_1)\) এ স্পর্শকের সমীকরণ:
\[\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1\]
এটি অর্ধনীতি সূত্র অনুসরণ করে পাওয়া যায়।
পরামিতিক বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ
বিন্দু \((a\cos\phi, b\sin\phi)\) এ স্পর্শকের সমীকরণ:
\[\frac{x\cos\phi}{a} + \frac{y\sin\phi}{b} = 1\]
ঢাল দেওয়া থাকলে স্পর্শকের সমীকরণ
ঢাল \(m\) বিশিষ্ট স্পর্শকের সমীকরণ:
\[y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}\]
যেকোনো ঢালের দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
অধিঃস্পর্শকের সমীকরণ
বিন্দু \((x_1, y_1)\) এ অধিঃস্পর্শকের সমীকরণ:
\[\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2\]
বা \(\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2e^2\)
উপবৃত্তের বিশেষ ধর্ম ও জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য
ব্যাসের সমীকরণ (Equation of Diameter)
সমান্তরাল জ্যাবিলম্বের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কের সেট একটি সরলরেখা দেয়, যাকে ব্যাস বলে। ঢাল \(m\) বিশিষ্ট জ্যাবিলম্বের ব্যাসের সমীকরণ:
\[y = -\frac{b^2}{a^2m}x\]
দুটি ব্যাস পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের একটিকে অন্যটির অনুরূপ ব্যাস (Conjugate Diameter) বলে।
বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়
বিন্দু \((x_1, y_1)\) উপবৃত্তের উপর, ভেতরে বা বাইরে আছে কিনা তা নির্ণয়:
- যদি \(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1\) হয়: বিন্দু উপবৃত্তের উপর
- যদি \(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} < 1\) হয়: বিন্দু উপবৃত্তের ভেতরে
- যদি \(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} > 1\) হয়: বিন্দু উপবৃত্তের বাইরে
উপকেন্দ্রিক বৃত্ত (Focal Circle)
উপবৃত্তের উপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শক অক্ষগুলোকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেই ছেদবিন্দুতে অঙ্কিত উপকেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস সমান হয়।
প্রতিফলন ধর্ম
উপবৃত্তের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ঐ বিন্দুর উপকেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখার বহিঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক হয়। অর্থাৎ, একটি উপকেন্দ্র থেকে আসোয়া কিরণ উপবৃত্তে প্রতিফলিত হয়ে অন্য উপকেন্দ্রের দিকে যায়। এই ধর্মের কারণে উপবৃত্তাকার দর্পণে এক উপকেন্দ্রে রাখা বস্তুর প্রতিবিম্ব অন্য উপকেন্দ্রে দেখা যায় (Whispering Gallery এর নীতি)।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- সংজ্ঞা: \(e < 1\) এবং \(SP + S'P = 2a\) (ধ্রুবক)।
- প্রমিত সমীকরণ: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) যেখানে \(a > b\) এবং \(b^2 = a^2(1-e^2)\)।
- বৃহদাক্ষ: দৈর্ঘ্য \(2a\), শীর্ষ \((\pm a, 0)\)।
- ক্ষুবৃহদাক্ষ: দৈর্ঘ্য \(2b\), সহ-শীর্ষ \((0, \pm b)\)।
- উপকেন্দ্র: \((\pm ae, 0)\) এবং নিয়ামত: \(x = \pm \frac{a}{e}\)।
- উপকেন্দ্রিক লম্ব: দৈর্ঘ্য \(\frac{2b^2}{a}\)।
- পরামিতিক স্থানাঙ্ক: \((a\cos\phi, b\sin\phi)\) যেখানে \(\phi\) উৎকেন্দ্রিক কোণ।
- সহায়ক বৃত্ত: \(x^2 + y^2 = a^2\) এবং নির্দেশক বৃত্ত: \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\)
- স্পর্শক: \(\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1\) এবং ঢাল \(m\) হলে \(y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}\)।
- বিশেষ ধর্ম: উপকেন্দ্র থেকে আসা কিরণ প্রতিফলিত হয়ে অন্য উপকেন্দ্রে যায়।
উপবৃত্তের প্রয়োগ কেবল গণিতেই সীমাবদ্ধ নেই। মহাকাশ বিজ্ঞানে গ্রহের কক্ষপথ, প্রকৌশলে সেতুর নকশা, চিকিৎসাবিজ্ঞানে শব্দ তরঙ্গের ফোকাসিং এবং স্থাপত্যে উপবৃত্তাকার বলয়ের ব্যবহার স্বয়ংসম্পূর্ণ এই বক্ররেখার গুরুত্বকে তুলে ধরে। বিশেষ করে গ্রহের কক্ষপথ সম্পর্কে কেপলারের সূত্রাবলীতে উপবৃত্তের ভূমিকা অপরিসীম।