1. \( ABCD \) একটি বর্গক্ষেত্র। \( 2\overrightarrow{AB},\; 2\overrightarrow{BC},\; 3\overrightarrow{CD},\; \overrightarrow{DA},\; \overrightarrow{DB} \) বলসমূহ একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে। দেখাও যে, এরা ভারসাম্য সৃষ্টি করে।
2. \( \triangle ABC \) এর পরিকেন্দ্র \( O \) হতে \( BC, CA, AB \) বাহুর উপর যথাক্রমে \( OD, OE, OF \) লম্ব অঙ্কন করা হলে, দেখাও যে, \( \overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OE}, \overrightarrow{OF}, \overrightarrow{AO}, \overrightarrow{BO}, \overrightarrow{CO} \) বলসমূহ সাম্যাবস্থায় থাকে।
3. \( 4 : 7 : 11 \) অনুপাতে তিনটি বল কোনো একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে। বল তিনটি কি সাম্যাবস্থায় থাকবে?
4. \( 1 : 2 : 3 \) অনুপাতে তিনটি বল কোনো একটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে। বল তিনটি কি সাম্যাবস্থায় থাকতে পারে?
5. কোনো একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল \( \sqrt{3},\; 2 \) এবং \( 1 \) একক মানের তিনটি বল সাম্যাবস্থায় আছে। এদের অন্তর্গত কোণগুলি নির্ণয় কর।
6. কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করে। তাদের প্রথম ও দ্বিতীয়ের মধ্যবর্তী কোণ \( 90^\circ \) এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয়ের মধ্যবর্তী কোণ \( 120^\circ \) হলে, বলগুলির অনুপাত নির্ণয় কর।
7. পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত দুইটি সুতা একটি বস্তুকে ভারসাম্যে রাখলে এবং তাদের একটি খাড়া রেখার সাথে \( 30^\circ \) কোণ উৎপন্ন করলে, সুতা দুইটির টানের অনুপাত নির্ণয় কর।
8. 5 কেজি ওজনের একটি বস্তুকে দুইটি বল দ্বারা ভারসাম্যে রাখা হয়েছে। এদের একটি অনুভূমিক এবং অপরটি অনুভূমিকের সাথে \( 30^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে। বলদ্বয় নির্ণয় কর।
9. \( O \) বিন্দুতে নির্দিষ্ট দিকে কার্যরত বলসমূহ সাম্যাবস্থায় আছে। \( O \) বিন্দুগামী কোনো বৃত্ত বলগুলির ক্রিয়ারেখাগুলিকে যথাক্রমে \( A, B, C \) বিন্দুতে ছেদ করলে, দেখাও যে, বলগুলির মান \( ABC \) ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক হবে।

প্রমাণ করঃ

1. \( ABC \) ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র \( O \) বিন্দুতে \( OA, OB, OC \) বরাবর যথাক্রমে \( P, Q, R \) বলগুলি ক্রিয়ারত আছে। তারা ভারসাম্য সৃষ্টি করলে দেখাও যে, \[ \frac{P}{a^2(b^2 + c^2 - a^2)} = \frac{Q}{b^2(c^2 + a^2 - b^2)} = \frac{R}{c^2(a^2 + b^2 - c^2)} \] এবং \[ P : Q : R = a\cos A : b\cos B : c\cos C. \]
   [ঢাকা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ); সিলেট বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(খ)]
2. \( ABC \) ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র \( I \) বিন্দুতে \( IA, IB, IC \) বরাবর \( P, Q, R \) বল তিনটি ক্রিয়ারত আছে। তারা ভারসাম্য সৃষ্টি করলে প্রমাণ কর যে, \[ P^2 : Q^2 : R^2 = a(b + c - a) : b(c + a - b) : c(a + b - c). \]
   [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৯(খ)]

1. \( ACB \) সুতার দুই প্রান্ত একই আনুভূমিক রেখায় \( A \) ও \( B \) বিন্দুতে আবদ্ধ আছে। সুতার \( C \) বিন্দুতে \( W \) ওজনের একটি বস্তুকে গিঁট দিয়ে বাঁধা হয়েছে। \( ABC \) ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য \( a, b, c \) এবং ক্ষেত্রফল \( \Delta \) হলে দেখাও যে, সুতার \( CA \) অংশের টান \[ = \frac{Wb}{4\Delta}(c^2 + a^2 - b^2). \]
   [ঢা: বো: ০৭; চ: বো: ০৭]
2. \( 2l \) দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট \( AB \) আনুভূমিক সরলরেখার \( A \) ও \( B \) প্রান্তে \( l \) ও \( 2l \) দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট সুতার প্রান্তদ্বয় আবদ্ধ রয়েছে। তাদের অপর প্রান্তদ্বয় গিঁট দিয়ে \( C \) বিন্দুতে বাঁধা এবং \( W \) ওজনের বস্তু বহন করে। সুতাদ্বয়ের টান নির্ণয় কর।
3. একই আনুভূমিক রেখার \( c \) একক দূরত্বে অবস্থিত দুইটি বিন্দুতে \( l \) একক দৈর্ঘ্যের একটি সুতা রশির প্রান্তদ্বয় বাঁধা আছে। রশির মধ্যবিন্দুতে \( W \) একক ওজনবিশিষ্ট একটি বস্তু ঝুলানো হলে, রশির টান \[ = \frac{lW}{2\sqrt{l^2 - c^2}}. \]
   [ঢা: বো: ১২; কু: বো: ১৬; সি: বো: ০৮]
4. ভূমির সাথে \( \alpha \) ও \( \beta \) কোণে হেলানো দুইটি মসৃণ তল তাদের নিম্ন প্রান্তে মিলিত হয়েছে। \( W \) ওজনের একটি গোলক তাদের মধ্যে স্থিরাবস্থায় আছে। তলদ্বয়ের প্রত্যেকটির উপর গোলকের প্রয়োগিত চাপ নির্ণয় কর।
5. \( P, Q \) বলদ্বয় যথাক্রমে একটি তল সমতলের দৈর্ঘ্য ও ভূমির সমান্তরাল থেকে প্রত্যেকে এককভাবে মসৃণ তলের উপরস্থিত \( W \) ওজনের বস্তুকে ধরে রাখতে পারে। প্রমাণ কর যে, \[ \frac{1}{P^2} - \frac{1}{Q^2} = \frac{1}{W^2} \quad \text{বা} \quad W = \frac{PQ}{\sqrt{Q^2 - P^2}}. \]
   [রা: বো: ১১; কু: বো: ১৪, ০৮; চ: বো: ১৪; সি: বো: ১০; য: বো: ১১; ব: বো: ১৬, ১৪]
6. \( ACB \) সুতার দুই প্রান্ত \( A \) ও \( B \) বিন্দুতে আবদ্ধ এবং \( C \) বিন্দুতে \( W \) ওজন সাম্যাবস্থায় আছে। \( \angle CAB = 75^\circ \) এবং \( CB \) অংশের টান 10.36 N হলে \( W \) এর মান নির্ণয় কর।
   [কুমিল্লা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৬(খ)]

1. ভূমির সাথে \( \alpha \) কোণে আনত একটি মসৃণ তলের উপর স্থাপিত একটি বস্তুকে তলের দৈর্ঘ্য বরাবর ক্রিয়াশীল বল \( P_1 \) এবং আনুভূমিক বল \( P_2 \) মিলিতভাবে তলের উপর স্থিতিশীল রাখে। \( \alpha, P_1, P_2 \) প্রত্যেকের মান অর্ধেক হলেও বস্তুটি তলের উপর স্থিতিশীল থাকে। দেখাও যে, \[ P_1 : P_2 = 2\cos^2 \alpha : 1. \]
2. একটি ভারী সমবর্ণ দণ্ডের এক প্রান্ত একটি মসৃণ খাড়া দেওয়ালে ঠেস দিয়ে এবং অপর প্রান্ত একই খাড়া দেওয়ালের সাথে \( \theta \) কোণে আনত অপর একটি মসৃণ তলের উপর অবস্থিত। সাম্যাবস্থায় দণ্ডটি অনুভূমিকের সাথে \( \alpha \) কোণ উৎপন্ন করলে দেখাও যে, \[ \tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \theta. \]
3. \( AB \) ও \( AC \) মসৃণ তলদ্বয় ভূমির সাথে যথাক্রমে \( \alpha \) ও \( \beta \) কোণে হেলানো আছে। \( A \) বিন্দুর খাড়া উপরে \( D \) বিন্দুতে একটি কপিকলের উপর দিয়ে একটি সুতার দুই প্রান্তে যথাক্রমে \( W \) এবং \( 2W \) ওজনের দুটি বস্তু \( AB \) ও \( AC \) তলের উপর ঝুলানো আছে। সুতার অংশদ্বয় যথাক্রমে \( AB \) ও \( AC \)-এর সাথে \( \beta \) ও \( \alpha \) কোণ উৎপন্ন করলে প্রমাণ কর যে, \[ \sin 2\alpha = 2 \sin 2\beta. \]
4. \( ABC \) ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত \( O \) একটি বিন্দু। \( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC} \) বলগুলি সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রমাণ কর যে, \( O \) বিন্দুটি \( ABC \) ত্রিভুজের মধ্যমাগুলির ছেদবিন্দু।