৮.১ স্থিতিবিদ্যা (Statics): বলের সংযোজন ও সাম্যবস্থা
স্থিতিবিদ্যা (Statics) হলো বলবিদ্যার একটি শাখা যা স্থির বস্তু বা স্থির অবস্থায় থাকা বস্তুগুলোর উপর ক্রিয়াশীল বলের প্রভাব অধ্যয়ন করে। প্রতিদিনের জীবনে আমরা বিভিন্ন বলের সম্মুখীন হই, যেমন গুরুত্বের বল, ঘর্ষণের বল বা স্প্রিং এর টান। যখন একাধিক বল একই বিন্দুতে বা একই সমতলে ক্রিয়া করে, তখন সেগুলোর লব্ধি (Resultant) নির্ণয় অথবা বলগুলোকে নির্দিষ্ট দিকে অংশকে বিশ্লেষণ (Resolution) করা এবং বস্তুর সাম্যবস্থা (Equilibrium) নির্ণয় করা এই অধ্যায়ের মূল উদ্দেশ্য। এই অধ্যায়ে আমরা বলের সামান্তরিক সূত্র, ত্রিভুজ ও বহুভুজ সূত্র, লম্বাংশ উপপাদ্য এবং সমতলীয় বলের সাম্যবস্থার শর্তাবলী বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব।
বল বিদ্যার প্রাথমিক ধারণা ও বলের বৈশিষ্ট্য
বলের সংজ্ঞা ও প্রকৃতি
বল (Force) হলো এমন একটি ভৌত রাশি যা একটি বস্তুর গতির অবস্থা পরিবর্তন করে বা পরিবর্তন করার চেষ্টা করে। বল ছাড়া বস্তুর ভর বা আকৃতির কোনো পরিবর্তন হয় না। বলের একক নিউটন (Newton) বা ডাইন (Dyne)।
বল একটি ভেক্টর রাশি, অর্থাৎ এর মান ও দিক উভয়ই থাকে। বলের প্রভাব নির্ভর করে তার মান, দিক এবং ক্রিয়ারেখার উপর।
বলের বৈশিষ্ট্যসমূহ (Characteristics of Force)
যেকোনো বলকে সম্পূর্ণভাবে নির্দেশ করতে চারটি উপাদান প্রয়োজন:
- মান (Magnitude): বলের পরিমাণ, যেমন ১০ নিউটন।
- দিক (Direction): বলটি কোন দিকে ক্রিয়া করছে, যেমন উত্তর দিকে বা ঊর্ধ্বদিকে।
- ক্রিয়ারেখা (Line of Action): বলের দিকে সরলরেখা যার উপর বলটি ক্রিয়া করে।
- ক্রিয়া বিন্দু (Point of Application): বলটি বস্তুর কোন বিন্দুতে প্রয়োগ করা হয়েছে।
বলের ক্রিয়া বিন্দুর স্থানান্তর বিধি (Principle of Transmissibility)
এই উপপাদ্য অনুযায়ী, একটি বলের ক্রিয়া বিন্দুকে তার ক্রিয়ারেখা বরাবর যেকোনো স্থানে স্থানান্তর করা যায় বস্তুর ভিতরে বা বাইরে, তবে বলের প্রভাব অপরিবর্তিত থাকে। অর্থাৎ, বলটি বস্তুর কোনো বিন্দুতে প্রয়োগ করা হোক বা তার ক্রিয়ারেখার উপর অন্য কোনো বিন্দুতে, বস্তুর গতি বা সাম্যবস্থার অবস্থা একই থাকবে।
যদি বল \(F\) বিন্দু \(A\) তে ক্রিয়া করে এবং এর ক্রিয়ারেখা বিন্দু \(B\) অতিক্রম করে, তবে বল \(F\) কে বিন্দু \(B\) তে স্থানান্তর করা হলে একই ফলাফল পাওয়া যায়।
তবে এই বিধি শুধুমাত্র কঠিন বস্তুর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। নমনীয় বা বিকৃতিশীল বস্তুর ক্ষেত্রে ক্রিয়া বিন্দু পরিবর্তন করলে ভিন্ন ফলাফল পাওয়া যেতে পারে।
বলের সংযোজনের সূত্রাবলী (Composition of Forces)
যখন দুটি বা ততোধিক বল একই বিন্দুতে ক্রিয়া করে, তখন সেগুলোকে একটি একক বল দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যায় যা একই প্রভাব বিস্তার করে। এই একক বলকে লব্ধি (Resultant) বলে এবং প্রক্রিয়াটিকে বলের সংযোজন (Composition of Forces) বলে।
বলের সামান্তরিক সূত্র (Parallelogram Law of Forces)
যদি দুটি বল কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করে এবং তাদের দিকের মধ্যে কোণ \(\theta\) হয়, তবে তাদের লব্ধি নির্ণয়ের জন্য সামান্তরিক সূত্র প্রয়োগ করা হয়।
সূত্রের বিবরণ
ধরা যাক, দুটি বল \(P\) ও \(Q\) বিন্দু \(O\) তে ক্রিয়া করে এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\)। \(OA\) ও \(OB\) যথাক্রমে বল \(P\) ও \(Q\) কে স্কেল অনুযায়ী প্রকাশ করে। \(OACB\) একটি সামান্তরিক অঙ্কন করলে, কর্ণ \(OC\) লব্ধি \(R\) কে নির্দেশ করবে।
লব্ধির মান নির্ণয়
ত্রিকোণমিতি অনুসারে, লব্ধির মান:
\[R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\theta}\]
যেখানে \(\theta\) হলো বল দুটির মধ্যকার কোণ।
প্রমাণ: ত্রিভুজ \(OCD\) এ, যেখানে \(CD\) এর উপর লম্ব \(AB\) এর সমান্তরাল। \(OD = P + Q\cos\theta\) এবং \(CD = Q\sin\theta\)। পিথাগোরাস সূত্র অনুযায়ী: \[OC^2 = OD^2 + CD^2 = (P + Q\cos\theta)^2 + (Q\sin\theta)^2\] \[= P^2 + 2PQ\cos\theta + Q^2\cos^2\theta + Q^2\sin^2\theta\] \[= P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\theta\]
লব্ধির দিক নির্ণয়
ধরা যাক, লব্ধি \(R\) বল \(P\) এর সাথে \(\alpha\) কোণ উৎপন্ন করে। তাহলে:
\[\tan\alpha = \frac{Q\sin\theta}{P + Q\cos\theta}\]
অথবা লব্ধি \(Q\) এর সাথে \(\beta\) কোণ উৎপন্ন করলে:
\[\tan\beta = \frac{P\sin\theta}{Q + P\cos\theta}\]
বিশেষ ক্ষেত্র
- যখন \(\theta = 0^\circ\): \(R = P + Q\) (সমদিকে)
- যখন \(\theta = 90^\circ\): \(R = \sqrt{P^2 + Q^2}\) (পরস্পর লম্ব)
- যখন \(\theta = 180^\circ\): \(R = |P - Q|\) (বিপরীত দিকে)
- যখন \(P = Q\): \(R = 2P\cos\frac{\theta}{2}\)
বলের সংযোজনের ত্রিভুজ সূত্র (Triangle Law of Forces)
যদি দুটি বল ক্রিয়াশীল থাকে, তবে প্রথম বলের পরিপ্রান্তে দ্বিতীয় বলের মান ও দিক অনুযায়ী স্থানান্তরিত বল অঙ্কন করলে, প্রথম বলের আদি বিন্দু থেকে দ্বিতীয় বলের শেষ বিন্দুর সংযোজক রেখা লব্ধিকে নির্দেশ করে।
যদি বল \(P\) ও \(Q\) কে ক্রমান্বয়ে ত্রিভুজের দুই বাহু \(AB\) ও \(BC\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেখানে \(AB\) এর দিক বল \(P\) এর দিকে এবং \(BC\) এর দিক বল \(Q\) এর দিকে, তবে \(AC\) লব্ধি \(R\) কে নির্দেশ করে এবং এর দিক \(A\) থেকে \(C\) এর দিকে।
ত্রিভুজ সূত্রটি সামান্তরিক সূত্রেরই একটি বিকল্প রূপ। সামান্তরিকের একটি ত্রিভুজ বিবেচনা করলেই এটি প্রমাণিত হয়।
বলের সংযোজনের বহুভুজ সূত্র (Polygon Law of Forces)
দুটির অধিক বলের ক্ষেত্রে ত্রিভুজ সূত্রকে সম্প্রসারিত করে বহুভুজ সূত্র পাওয়া যায়। যদি একাধিক বল ক্রিয়াশীল থাকে, তবে সেগুলোকে ক্রমান্বয়ে একটি বহুভুজের বাহুরূপে অঙ্কন করলে, প্রথম বলের আদি বিন্দু থেকে শেষ বলের অন্ত বিন্দুর সংযোজক রেখা লব্ধিকে নির্দেশ করে।
যদি বলগুলো \(P_1, P_2, P_3, \dots, P_n\) কে ক্রমান্বয়ে বহুভুজের বাহু \(AB, BC, CD, \dots\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তবে আদি বিন্দু \(A\) থেকে শেষ বিন্দু \(N\) এর সংযোজক রেখা \(AN\) লব্ধিকে নির্দেশ করে।
যদি বহুভুজটি একটি বদ্ধ বহুভুজ হয় (অর্থাৎ শেষ বিন্দু প্রথম বিন্দুর সাথে মিলে যায়), তবে লব্ধি শূন্য, যা সাম্যবস্থার শর্ত নির্দেশ করে।
বলের অংশক বা লম্বাংশ (Resolution of Forces)
বলের অংশক বিশ্লেষণ
একটি বলকে দুটি বা ততোধিক নির্দিষ্ট দিকে বিয়োজন করাকে বলের অংশক বিশ্লেষণ (Resolution of Force) বলে। সাধারণত একটি বলকে দুটি পরস্পর লম্ব দিকে বিশ্লেষণ করা হয়, যেগুলোকে লম্বাংশ (Resolved Parts/Components) বলা হয়।
লম্বাংশ উপপাদ্য (Principle of Resolution)
যদি কোনো বল \(F\) কোণ \(\theta\) উৎপন্ন করে অক্ষের উপর ক্রিয়া করে, তবে এর লম্বাংশসমূহ:
\(X\)-অক্ষ বরাবর লম্বাংশ: \(F_x = F\cos\theta\)
\(Y\)-অক্ষ বরাবর লম্বাংশ: \(F_y = F\sin\theta\)
এখানে \(F_x\) কে অভিলম্ব (Abscissa Component) এবং \(F_y\) কে কোটিলম্ব (Ordinate Component) বলা হয়।
দুটি প্রদত্ত দিকে বলের অংশক নির্ণয়
যদি একটি বল \(F\) দুটি প্রদত্ত দিকে \(OX\) ও \(OY\) বিশ্লেষণ করতে হয়, যেখানে \(\angle XOY = \alpha\) এবং বল \(F\) রেখা \(OX\) এর সাথে \(\theta\) কোণ করে, তবে অংশকসমূহ নির্ণয়ের সূত্র:
\(OX\) বরাবর অংশক: \(\frac{F\sin(\alpha - \theta)}{\sin\alpha}\)
\(OY\) বরাবর অংশক: \(\frac{F\sin\theta}{\sin\alpha}\)
লম্বাংশের সাহায্যে লব্ধি নির্ণয়
একাধিক বলের লব্ধি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে প্রতিটি বলকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বরাবর লম্বাংশে বিশ্লেষণ করে যোগ করা হয়।
যদি বলগুলো \(F_1, F_2, F_3, \dots\) হয় এবং তারা যথাক্রমে \(X\)-অক্ষের সাথে \(\theta_1, \theta_2, \theta_3, \dots\) কোণ করে, তবে:
\(X = \sum F_x = F_1\cos\theta_1 + F_2\cos\theta_2 + F_3\cos\theta_3 + \dots\)
\(Y = \sum F_y = F_1\sin\theta_1 + F_2\sin\theta_2 + F_3\sin\theta_3 + \dots\)
লব্ধি: \(R = \sqrt{X^2 + Y^2}\)
দিক: \(\tan\theta = \frac{Y}{X}\)
এই পদ্ধতি বিশেষ করে দুটির অধিক বলের ক্ষেত্রে সামান্তরিক সূত্রের চেয়ে সুবিধাজনক।
বল জোটের সাম্যবস্থা (Equilibrium of Force Systems)
সাম্যবস্থার সংজ্ঞা
যখন একাধিক বল কোনো কঠিন বস্তুর উপর ক্রিয়া করে এবং বস্তুটি স্থির থাকে বা সরলরেখায় সমবেগে গতিশীল থাকে, তখন বলে বলগুলো সাম্যবস্থায় (Equilibrium) আছে। সাম্যবস্থায় বলগুলোর লব্ধি শূন্য হয়।
ত্রিভুজ সূত্রের বিপরীত (Converse of Triangle Law)
যদি তিনটি বল ক্রিয়াশীল থাকে এবং তাদের মান ও দিক ক্রমান্বয়ে একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর সমান হয়, তবে বলগুলো সাম্যবস্থায় থাকে।
যদি বল \(P, Q, R\) কে ত্রিভুজ \(ABC\) এর বাহু \(BC, CA, AB\) যথাক্রমে প্রকাশ করা যায়, তবে বলগুলো সাম্যবস্থায় আছে।
লামির উপপাদ্য (Lami's Theorem)
তিনটি বল সাম্যবস্থায় থাকলে প্রতিটি বল অপর দুটির মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমানুপাতিক হয়।
যদি তিনটি বল \(P, Q, R\) বিন্দু \(O\) তে ক্রিয়া করে সাম্যবস্থায় থাকে এবং \(Q\) ও \(R\) এর মধ্যকার কোণ \(\alpha\), \(R\) ও \(P\) এর মধ্যকার কোণ \(\beta\), এবং \(P\) ও \(Q\) এর মধ্যকার কোণ \(\gamma\) হয়, তবে:
\[\frac{P}{\sin\alpha} = \frac{Q}{\sin\beta} = \frac{R}{\sin\gamma}\]
এই উপপাদ্যটি তিন বলের সাম্যবস্থার সমস্যা সমাধানে অত্যন্ত কার্যকরী। যখন তিনটি বলের মধ্যকার কোণ জানা থাকে এবং একটি বলের মান জানা থাকে, তখন অপর দুটির মান সহজে নির্ণয় করা যায়।
উদাহরণ: একটি ভার বিন্দু \(O\) তে ঝুলছে এবং এটি দুটি তার \(OA\) ও \(OB\) দ্বারা ধরে রাখা আছে। \(OA\) অনুভূমিকের সাথে \(30^\circ\) এবং \(OB\) অনুভূমিকের সাথে \(60^\circ\) কোণ করে। যদি ভারের মান ১০০ নিউটন হয়, তবে তার দুটির টান নির্ণয় কর।
সমাধান:
তার দুটির মধ্যকার কোণ \(\alpha = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ\)
ভারের বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল বল \(W = 100\) নিউটন।
লামির উপপাদ্য অনুযায়ী:
\[\frac{T_1}{\sin(180^\circ-60^\circ)} = \frac{T_2}{\sin(180^\circ-30^\circ)} = \frac{100}{\sin 90^\circ}\]
\[\frac{T_1}{\sin 120^\circ} = \frac{T_2}{\sin 150^\circ} = 100\]
\(T_1 = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}\) নিউটন
\(T_2 = 100 \times \frac{1}{2} = 50\) নিউটন
সমতলীয় বলের সাম্যবস্থার শর্তাবলী
বিশ্লেষণাত্মক শর্ত (Analytical Conditions)
সমতলে ক্রিয়াশীল বলগুলোর সাম্যবস্থার জন্য দুটি শর্ত পূরণ করতে হয়:
প্রথম শর্ত (অনুভূমিক সাম্য): সকল বলের অনুভূমিক লম্বাংশের বীজগাণিতিক যোগফল শূন্য হতে হবে।
\[\sum F_x = 0 \quad \text{বা} \quad \sum X = 0\]
দ্বিতীয় শর্ত (উলম্ব সাম্য): সকল বলের উলম্ব লম্বাংশের বীজগাণিতিক যোগফল শূন্য হতে হবে।
\[\sum F_y = 0 \quad \text{বা} \quad \sum Y = 0\]
এই দুটি শর্ত একত্রে নিশ্চিত করে যে বলগুলোর লব্ধি শূন্য এবং বস্তু স্থানান্তরগত সাম্যবস্থায় আছে।
মুহূর্তের শর্ত (Moment Condition)
যদি বলগুলো ক্রিয়াশীল বিন্দুগুলো ভিন্ন হয় (অর্থাৎ সাধারণ বিন্দুতে না মিলে), তবে শুধু বলের সাম্য নয়, মুহূর্তের সাম্যও প্রয়োজন। সমতলে সাম্যবস্থার জন্য তিনটি শর্ত:
\[\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M = 0\]
যেখানে \(\sum M\) হলো যেকোনো বিন্দুর সাপেক্ষে বলগুলোর মুহূর্তের বীজগাণিতিক যোগফল।
সমতলীয় সমবেত বলের সাম্যবস্থা
যখন সকল বল একটি নির্দিষ্ট সমতলে ক্রিয়া করে এবং সাধারণ বিন্দুতে মিলিত হয়, তখন শুধুমাত্র দুটি শর্ত (\(\sum F_x = 0\) ও \(\sum F_y = 0\)) যথেষ্ট। তবে বলগুলো সমবেত না হয়ে সমতলে বিস্তৃত থাকলে মুহূর্তের শর্ত যোগ করতে হয়।
সাম্যবস্থার সমস্যা সমাধানের ধাপ
- বলগুলোর মুক্ত দেহ চিত্র (Free Body Diagram) অঙ্কন করুন।
- সকল বলের দিক নির্ণয় করুন এবং একটি দিককে ধনাত্মক ধরুন।
- প্রতিটি বলের অনুভূমিক ও উলম্ব লম্বাংশ নির্ণয় করুন।
- \(\sum F_x = 0\) ও \(\sum F_y = 0\) শর্ত প্রয়োগ করে সমীকরণ গঠন করুন।
- সমীকরণগুলো সমাধান করে অজ্ঞাত বলগুলো নির্ণয় করুন।
উদাহরণ: একটি ভার \(W\) দুটি মসৃণ তলের উপর রাখা আছে যারা অনুভূমিকের সাথে যথাক্রমে \(\alpha\) ও \(\beta\) কোণ করে। তল দুটির উপর ভারের প্রতিক্রিয়া নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি প্রতিক্রিয়াসমূহ \(R_1\) ও \(R_2\)।
অনুভূমিক সাম্য: \(R_1\sin\alpha = R_2\sin\beta\) ... (১)
উলম্ব সাম্য: \(R_1\cos\alpha + R_2\cos\beta = W\) ... (২)
(১) থেকে: \(R_2 = R_1\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\)
(২) এ বসিয়ে: \(R_1\left(\cos\alpha + \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\beta}\right) = W\)
\(R_1\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta} = W\)
\(R_1 = \frac{W\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\) এবং \(R_2 = \frac{W\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- বলের বৈশিষ্ট্য: মান, দিক, ক্রিয়ারেখা ও ক্রিয়া বিন্দু। স্থানান্তর বিধি অনুযায়ী ক্রিয়ারেখা বরাবর বল স্থানান্তর করা যায়।
- সামান্তরিক সূত্র: \(R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\theta}\) এবং \(\tan\alpha = \frac{Q\sin\theta}{P + Q\cos\theta}\)
- ত্রিভুজ ও বহুভুজ সূত্র: বলগুলো ক্রমান্বয়ে বাহুরূপে অঙ্কন করে আদি থেকে অন্ত বিন্দুর সংযোজক রেখা লব্ধি নির্দেশ করে।
- লম্বাংশ উপপাদ্য: \(F_x = F\cos\theta\), \(F_y = F\sin\theta\); লব্ধি \(R = \sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2}\)
- লামির উপপাদ্য: তিন বলের সাম্যবস্থায় \(\frac{P}{\sin\alpha} = \frac{Q}{\sin\beta} = \frac{R}{\sin\gamma}\)
- সাম্যবস্থার শর্ত: সমবেত বলের জন্য \(\sum F_x = 0\) ও \(\sum F_y = 0\); অসমবেত বলের জন্য \(\sum M = 0\) যোগ করতে হয়।
স্থিতিবিদ্যার নীতিগুলো প্রকৌশল, স্থাপত্য এবং দৈনন্দিন জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। সেতু, ভবনের কাঠামো, ক্রেন এবং যন্ত্রাংশের নকশায় বলের সাম্যবস্থা নিশ্চিত করা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। সঠিকভাবে বলের বিশ্লেষণ করতে পারলে কাঠামোর স্থায়িত্ব ও নিরাপত্তা নিশ্চিত করা সম্ভব হয়।