1. \( 2 + 3i \)
   [বুয়েট ০৪–০৫, ১২–১৩]
2. \( 4 + 3i \)
3. \( 1 + \sqrt{3}\, i \)
   [বুয়েট ০৬–০৭, ১০–১১]
4. \( 3 - 5i \)
5. \( -2 + 2i \)
   [কুমিল্লা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(ক)]
6. \( -8 - 6i \)
7. \( -i \)
8. \( 6 - 2\sqrt{3}\, i \)
   [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(ক)]

1. \( z = -2 - 2\sqrt{3}\, i \) একটি জটিল রাশি হলে \( \mathrm{Arg}(\sqrt{z}) \) নির্ণয় কর।
   [সিলেট বোর্ড–২০১৭ এর সৃজনশীল–২(খ)]
2. \( z_1 = 1 + i\sqrt{3}, \; z_2 = \sqrt{3} - i \) হলে দেখাও যে,
   
   (a) \( \mathrm{Arg}(z_1 z_2) = \mathrm{Arg}\,z_1 + \mathrm{Arg}\,z_2 \)
   (b) \( \mathrm{Arg}\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \mathrm{Arg}\,z_1 - \mathrm{Arg}\,z_2 \)

1. \( 1 + \sqrt{3i} \)

1. \( (1 + 2i ) (2 + 3i ) (3 + 4i) \)
2. \( \dfrac{1 +2i}{3 - 4i} \)
3. \( \dfrac{1 + 2i}{ 2+ 3i} + \dfrac{1 - 4i}{3 - i}\)
4. \( \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^3 \)

1. যদি \( a \) ও \( b \) বাস্তব সংখ্যা এবং \( a^2 + b^2 = 1 \) হয়, তবে দেখাও যে, \( x \) এর একটি বাস্তব মান \( \dfrac{1 - ix}{1 + ix} = a - ib \) সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
   [ময়মনসিংহ বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(খ); ঢা: বো: ১৬, ১৫, ১৪, ০৭; ব: বো: ০৯; রা: বো: ১৬, ১২, ০৬; সি: বো: ১২; কু: বো: ১৪, ১০, ০৮; চ: বো: ১২, ০৮; য: বো: ০৮, ০৬; মাদ্রাসা বো: ১৪]
2. \( \dfrac{x}{y} = \dfrac{a + ib}{c + id} \) হলে, দেখাও যে, \( (c^2 + d^2)x^2 - 2(ac + bd)xy + (a^2 + b^2)y^2 = 0 \)।
   [বুয়েট ০৪–০৫; কু: বো: ১৪; সি: বো: ০৯, ০৫; দি: বো: ১৪, ১২; ব: বো: ১৪, ০৮; য: বো: ১০, ০৭; মাদ্রাসা বো: ১১]
3. \( x + iy = \sqrt{\dfrac{p + iq}{r + is}} \) হলে দেখাও \( (x^2 + y^2)^2 = \dfrac{p^2 + q^2}{r^2 + s^2} \)।
   [সিলেট বোর্ড–২০১৭ এর সৃজনশীল–২(ক)]
4. \( -2 - 2i = (a^2 + 2) + ib \) সমীকৃতির মূল \( a \) এবং \( b \) এর প্রকৃতি নির্ণয় কর।
   [কুমিল্লা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(গ)]
5. যদি \( \dfrac{1 - ix}{1 + ix} = a - ib \) হয় তবে দেখাও যে, \( a^2 + b^2 = 1 \)।

যদি \( z = x + iy \) হয়, তবে নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের নাম উল্লেখসহ সমীকরণ নির্ণয় কর:

1. \( |z - 8| + |z + 8| = 20 \)
   [দি: বো: ০৫; রা: বো: ১০; ব: বো: ১৪]
2. \( |z - 2| = |z - 3i| \)
   [যশোর বোর্ড–২০১৭ এর সৃজনশীল–(ক)]
3. \( |2z + 3| = |z + 6| \)
4. \( |z + i| = |z + 2| \)
   [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০১৭ এর সৃজনশীল–(খ)]
5. \( |z + 5| + |z - 5| = 15 \)
6. \( |z - 5| = 3 \)
   [ঢাকা, দিনাজপুর, যশোর ও সিলেট বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–(গ)]
7. \( |2z + 3| = |3z + 1| \)
   [যশোর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(গ)]
8. \( z\overline{z} = 4 \)
9. \( \mathrm{Re}\!\left(\frac{1}{z}\right) = 1 \)
10. \( \mathrm{Im}\!\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{1}{2} \)
11. \( |z + 4| = x \)

1. \( g(x) = 2x - 1 \) হলে, \( |g(x) + 2iy| = 3 \) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
   [কুমিল্লা বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(খ)]
2. \( f(x) = x - 2 \) এবং \( z = p + iq \) হলে, \( |f(z + 6)| + |f(z - 2)| = 10 \) দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
   [সিলেট বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(গ)]
3. \( z = x + iy \) হলে, \( |z + 3| = 4 \) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
   [সিলেট বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(খ)]
4. \( z = x + iy \) হলে, \( |z + 2| = 5 \) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
   [কুমিল্লা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(গ)]
5. \( z = x + iy \) হলে, \( |z + 6| + |z - 6| = 20 \) সমীকরণের সঞ্চারপথ এবং উহার নাম উল্লেখ করে চিত্র অঙ্কন কর।
   [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(খ)]

1. দেখাও যে, \( \left| \frac{x - iy}{x + iy} \right| = 1 \)।
   [কু: বো: ০৭]
2. \( z = x + iy \) এবং \( 3|z - 1| = 2|z - 2| \) হলে, প্রমাণ কর যে সঞ্চারপথের সমীকরণ \( 5(x^2 + y^2) = 2x + 7 \)।
   [ঢাকা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(গ); য: বো: ০৮; চ: বো: ১৩, ১১]
3. \( a + ib = e^{i\theta} \) হলে দেখাও যে, \( a^2 + b^2 = 1 \)।
   [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(ক)]
4. \( x + iy = 2e^{-i\theta} \) হলে প্রমাণ কর যে, \( x^2 + y^2 = 4 \)।
   [যশোর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–(খ)]
5. \( |z + 1| + |z - 1| = 4 \) হলে প্রমাণ কর যে, \( 3x^2 + 4y^2 = 12 \), যেখানে \( z = x + iy \)।
   [রাজশাহী, কুমিল্লা, চট্টগ্রাম ও বরিশাল বোর্ড–২০১৮ এর সৃজনশীল–(খ)]

1. \( (z + i)(x + iy) = 1 + 3i \) হলে, \( x, y \) নির্ণয় কর।
   [দিনাজপুর বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(ক)]
2. যদি \( z_1 = x_1 + iy_1 \) এবং \( z_2 = x_2 + iy_2 \) হয়, তবে দেখাও যে, \( |z_1|\,|z_2| = |z_1 z_2| \)।
3. যদি \( z_1 \) এবং \( z_2 \) দুটি জটিল সংখ্যা হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \( |z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2\big(|z_1|^2 + |z_2|^2\big) \)।
4. \( z_1 = 1 - 3i,\; z_2 = 1 - i \) হলে \( \sqrt{z_1 z_2} \) নির্ণয় কর।
   [দিনাজপুর বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–(গ)]