1. \( \tan^{-1}\!\left(\frac{7}{11}\right) + \tan^{-1}\!\left(\frac{1}{7}\right) + \tan^{-1}\!\left(\frac{1}{13}\right) = \frac{\pi}{4} \)
2. \( 2\tan^{-1}\!\left(\frac{1}{5}\right) + \tan^{-1}\!\left(\frac{1}{4}\right) = \tan^{-1}\!\left(\frac{32}{43}\right) \)
3. \( 2\tan^{-1}\!\left(\frac{1}{3}\right) + \tan^{-1}\!\left(\frac{1}{7}\right) = \frac{\pi}{4} \)
   [রা: বো: ০৫]

1. \( \sin^{-1}\!\left(\frac{1}{3}\right) + \cos^{-1}\!\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = \tan^{-1}\!\left(\sqrt{2}\right) \)
2. \( 4\left( \sin^{-1}\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + \cot^{-1}(3) \right) = \pi \)
   [ঢা: বো: ০৯, ০৮; দি: বো: ১২; রা: বো: ১১; চ: বো: ০৭; মাদ্রাসা বো: ১৪]
3. \( \cot^{-1}(3) + \cosec^{-1}\!\left(\sqrt{5}\right) = \frac{\pi}{4} \)
4. \( \tan^{-1}\!\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\pi}{2} - \sec^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right) \)
   [ঢা: বো: ১১; সি: বো: ১০; ব: বো: ০৮; য: বো: ০৮]
5. \( \sin^{-1}\!\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{1}{2}\cos^{-1}\!\left(\frac{5}{13}\right) - \cot^{-1}(2) = \tan^{-1}\!\left(\frac{28}{29}\right) \)
   [দিনাজপুর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৪(খ); ঢা: বো: ০৫; রা: বো: ১৪; চ: বো: ১৩; সি: বো: ১৩; ব: বো: ১৩, ১২; কু: বো: ১২; মাদ্রাসা বো: ১২, ১০]
6. \( \sec^{-1}\!\left(\frac{5}{3}\right) + \cot^{-1}\!\left(\frac{12}{5}\right) + \sin^{-1}\!\left(\frac{16}{65}\right) = \frac{\pi}{2} \)

1. \( \sec^2\!\left(\tan^{-1} 4\right) + \tan^2\!\left(\sec^{-1} 3\right) = 25 \)
   [বুয়েট ১০–১১; কু: বো: ১০, ০৬; রা: বো: ১৩; চ: বো: ০৫; সি: বো: ০৫; ব: বো: ০৫; মাদ্রাসা বো: ১২]
2. \( \sec^2\!\left(\tan^{-1} 2\right) + \cosec^2\!\left(\cot^{-1} 3\right) = 15 \)
   [বুয়েট ০৫–০৬; ঢা: বো: ১৩, ০৭; রা: বো: ১২, ০৮; য: বো: ০৭; সি: বো: ১৪; চ: বো: ১৪; দি: বো: ১৫; মাদ্রাসা বো: ০৯]
3. \( \sec^2\!\left(\cot^{-1} 3\right) + \cosec^2\!\left(\tan^{-1} 2\right) = 2\frac{13}{36} \)
   [বরিশাল বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৪(ক); ঢা: বি: ১৫–১৬; বিয়ুট ৯৬–৯৭]

প্রমাণ করঃ

1. \( 2\tan^{-1}\!\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan\frac{\theta}{2}\right) = \cos^{-1}\!\left(\frac{b + a\cos\theta}{a + b\cos\theta}\right) \)
   [ঢাকা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৮(গ); ঢা: বো: ১৪, ০৫; কু: বো: ১৬; য: বো: ০৮; কু: বো: ১৫, ১১, ০৮; সি: বো: ১৩]
2. \( 2\tan^{-1}\!\left(\sqrt{\frac{a}{b}} \tan\frac{x}{2}\right) = \sin^{-1}\!\left(\frac{2\sqrt{ab}\sin x}{(b+a) + (b-a)\cos x}\right) \)
3. \( 2\tan^{-1}\!\left[\tan\frac{A}{2} \tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{B}{2}\right)\right] = \tan^{-1}\!\left(\frac{\sin A \cos B}{\cos A + \sin B}\right) \)
   [যশোর বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৮(গ)]
4. \( \tan^{-1}\!\big((\sqrt{2}+1)\tan\alpha\big) - \tan^{-1}\!\big((\sqrt{2}-1)\tan\alpha\big) = \tan^{-1}(\sin 2\alpha) \)
5. \( \tan^{-1}\!\left(\frac{1}{2}\tan 2A\right) + \tan^{-1}(\cot A) + \tan^{-1}(\cot^3 A) = 0 \)
6. \( \sin^{-1}(\sqrt{2}\sin\theta) + \sin^{-1}(\sqrt{\cos 2\theta}) = \frac{\pi}{2} \)
   [সিলেট বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৮(খ); যশোর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৮(খ)]
7. \( \cot^{-1}(\tan 2x) + \cot^{-1}(-\tan 3x) = x \)
   [ঢাকা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৮(ক); রা: বো: ১১]
8. \( \tan(2\tan^{-1}x) = 2\tan(\tan^{-1}x + \tan^{-1}x^3) \)
   [দিনাজপুর বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৮(গ); ঢা: বো: ১৪, ০৮; কু: বো: ০৯; রা: বো: ০৮; য: বো: ০৮]
9. \( \cos\!\left(2\tan^{-1}\frac{y}{x}\right) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \)
   [সিলেট বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৮(ক)]
10. \( \tan^{-1}\!\big((2+\sqrt{3})\tan x\big) + \tan^{-1}\!\big((2-\sqrt{3})\tan x\big) = \tan^{-1}\!\big(2\tan(2x)\big) \)
    [সিলেট বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৮(গ)]

1. \( \sin\!\left(\cot^{-1}\!\big(\tan(\cos^{-1}\tfrac{3}{4})\big)\right) = \frac{3}{4} \)
   [ঢা: বো: ১২]
2. \( \cos\!\left(\tan^{-1}\!\big(\cot(\sin^{-1}x)\big)\right) = x \)
   [বুয়েট ০৫–০৬; বুয়েট ১০–১১; সি: বো: ০৬; য: বো: ১২; মাদ্রাসা বো: ১৪, ১০]
3. \( \cot\!\left(\cos^{-1}(\sin(\tan^{-1}x))\right) = x \)
   [সি: বো: ০৮; রা: বো: ১৬; ব: বো: ১১; দি: বো: ১৬; মাদ্রাসা বো: ১৫]
4. \( \sin\!\left(\cos^{-1}\!\big(\tan(\sec^{-1}\tfrac{x}{y})\big)\right) = \frac{\sqrt{2y^2 - x^2}}{y} \)
   [বুয়েট ১০–১১; ঢা: বো: ১০; রা: বো: ০৮; দি: বো: ০৮; চ: বো: ১২; ব: বো: ১৪; সি: বো: ১৪, ০৫]

1. \( \cot^{-1}\!\left(\cos\!\left(\cosec^{-1}\!\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\right) \) এর মুখ্য মান নির্ণয় কর।
   [রাজশাহী বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৮(ক)]
2. \( \tan^{-1}\!\left(\sin\!\left(\cos^{-1}\!\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\right) \) এর মান নির্ণয় কর।
   [দিনাজপুর বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৮(ক)]
3. \( \cos^{-1}\!\left(\sin\!\left(\cos^{-1}\!\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) \) এর মুখ্য মান নির্ণয় কর।
   [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৮(ক)]

1. যদি \( \sec(\pi\cosec\theta) = \cosec(\pi\sec\theta) \) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \( \theta = \dfrac{1}{2}\sin^{-1}(8 \pm 4\sqrt{5}) \)।
2. \( \sec^{-1}\!\left(\frac{1}{a}\right) + \sec^{-1}\!\left(\frac{1}{b}\right) = \alpha \) হলে প্রমাণ কর যে, \[ \sin\alpha = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha}. \]
   [চট্টগ্রাম বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৮(গ)]
3. \( \cos^{-1}\!\left(\frac{x}{r}\right) + \cos^{-1}\!\left(\frac{y}{r}\right) = \phi \) হলে প্রমাণ কর যে, \[ x^2 + y^2 - 2xy\cos\phi = r^2\sin^2\phi. \]
   [সিলেট বোর্ড–২০১৯ এর সৃজনশীল–৮(খ)]
4. \( \cos^{-1}(2x) + \cos^{-1}(2y) = \frac{3\pi}{2} \) হলে দেখাও যে, \( x^2 + y^2 = \frac{1}{4} \)।
   [ময়মনসিংহ বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৮(খ)]
5. যদি \( \cot^{-1}\!\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{2}\sec^{-1}\!\left(\frac{1 + y^2}{1 - y^2}\right) + \frac{1}{2}\cosec^{-1}\!\left(\frac{1 + z^2}{2z}\right) = \pi \) হয়, প্রমাণ কর যে, \( x + y + z = xyz \)।
   [কুমিল্লা বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৮(গ)]
6. যদি \( x = \dfrac{1}{2}\cos^{-1}\!\left(\frac{3}{4}\right) \) হয়, তবে \( \tan x \) এর মান নির্ণয় কর।
   [দিনাজপুর বোর্ড–২০২২ এর সৃজনশীল–৮(ক)]

সমাধান করঃ

1. \( \tan^{-1}(x + 2) + \tan^{-1}(x - 2) = \tan^{-1}\!\left(\frac{1}{2}\right) \)
2. \( \tan^{-1}(x + 1) + \tan^{-1}x + \tan^{-1}(x - 1) = \tan^{-1}(3x) \)
   [সি: বো: ০৬]
3. \( \tan^{-1}\!\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) = \frac{1}{2}\tan^{-1}x \)
   [বুয়েট: ২১–২২; বুয়েট: ০৬–০৭]
4. \( \tan^{-1}x + 2\cot^{-1}x = \frac{2\pi}{3} \)
   [বুয়েট ১০–১১]
5. \( \tan(\cos^{-1}x) = \sin(\tan^{-1}2) \)
   [বুয়েট ১২–১৩]