১ম অনুচ্ছেদ
  1. \((a + x)^n = a^n + ^nC_1 a^{n-1}x + ^nC_2 a^{n-2}x^2 + \cdots + ^nC_r a^{n-r}x^r + \cdots + x^n\), যেখানে \(n \in \mathbb{N}\)
  2. \(n\) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা অথবা ভগ্নাংশ এবং \(|x| < 1\) হলে, \[ (1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!}x^r + \cdots \]

  3. সাধারণ পদ

    1. \((a + x)^n\) এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ অর্থাৎ \((r + 1)\) তম পদ, \(T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r}x^r\)
    2. \((a - x)^n\) এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ অর্থাৎ \((r + 1)\) তম পদ, \(T_{r+1} = (-1)^nC_r a^{n-r}x^r\)
    3. \((1+x)^n\) এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ , \(T_{r+1} = ^nC_r x^r\)

  4. \((a + x)^n\) এর বিস্তৃতির মধ্য পদ:

    1. \(n\) জোড় সংখ্যা হলে, মধ্যপদ একটি এবং তা \(\left(\frac{n}{2} + 1\right)\) তম পদ \( = ^nC_{\frac{n}{2}} a^{\frac{n}{2}} x^{\frac{n}{2}}\)
    2. \(n\) বিজোড় সংখ্যা হলে, মধ্যপদ দুইটি এবং তা \(\left(\frac{n-1}{2} + 1\right)\) এবং \(\left(\frac{n+1}{2} + 1\right)\) তম পদদ্বয়
      • \( \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = ^nC_{\frac{1}{2}(n-1)} a^{\frac{1}{2}(n+1)} x^{\frac{1}{2}(n-1)}\)
      • \( \left( \frac{n+1}{2} + 1 \right) = ^nC_{\frac{1}{2}(n+1)} a^{\frac{1}{2}(n-1)} x^{\frac{1}{2}(n+1)}\)
  5. \((ax^p + bx^q)^n\) এর বিস্তৃতিতে \((r + 1)\) তম পদ \(x^m\) সম্বলিত হলে \(r = \frac{np - m}{p - q}\) এবং \(x^m\) এর সহগ = \(^nC_r a^{n-r}b^r\) যেখানে \(m, n \in \mathbb{N}\)
২য় অনুচ্ছেদ

  1. \(|x| < 1\) হলে,

    1. \((1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^r + \cdots\)
    2. \((1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^r x^r + \cdots\)
    3. \((1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots + (r + 1)x^r + \cdots\)
    4. \((1 + x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \cdots + (-1)^r (r + 1)x^r + \cdots\)
    5. \((1 - x)^{-3} = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \cdots + \frac{1}{2}(r + 1)(r + 2)x^r + \cdots\)
    6. \((1 + x)^{-3} = 1 - 3x + 6x^2 - 10x^3 + \cdots + (-1)^r \frac{1}{2}(r + 1)(r + 2)x^r + \cdots\)

  2. কিছু গুরুত্বপূর্ণ অসীম ধারার বিস্তৃতি:

    1. \( e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \)
    2. \( e^{-x} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots \)
    3. \( \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{r=1}^{\infty} (-1)^{r-1} \frac{x^r}{r} \)
    4. \( \ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots = -\sum_{r=1}^{\infty} \frac{x^r}{r} \)
    5. \( \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots \)
    6. \( \frac{1}{2} \ln \frac{1-x}{1+x} = -\left( \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6} + \cdots \right) \)
    7. \( \frac{1}{2} \left( e + \frac{1}{e} \right) = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \cdots \)
    8. \( \frac{1}{2} \left( e - \frac{1}{e} \right) = 1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{7!} + \cdots \)
    9. \( \frac{1}{2} (e^x + e^{-x}) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \)
    10. \( \frac{1}{2} (e^x - e^{-x}) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \)
    11. \( a^x = 1 + x \ln a + \frac{x^2}{2!}(\ln a)^2 + \frac{x^3}{3!}(\ln a)^3 + \cdots \)
    12. \( a^{-x} = 1 - x \ln a + \frac{x^2}{2!}(\ln a)^2 - \frac{x^3}{3!}(\ln a)^3 + \cdots \)