৩. জটিল সংখ্যা (Complex Numbers)
জটিল সংখ্যা (Complex Numbers) হলো বীজগাণিতিক সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রে উদ্ভূত একটি সংখ্যা ব্যবস্থা যা বাস্তব সংখ্যার ধারণাকে সম্প্রসারিত করে। \(x^2 + 1 = 0\) এর মতো সমীকরণের সমাধান বের করতে গিয়ে আমরা কাল্পনিক একক \(i\) এর সন্ধান পাই। এই অধ্যায়ে আমরা জটিল সংখ্যার আলজেবরিক গঠন, আর্গ্যান্ড চিত্রে জ্যামিতিক অবস্থান, পরমান ও নতি নির্ণয় এবং বিভিন্ন ক্রিয়ার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা নিয়ে আলোচনা করব।
জটিল সংখ্যার সংজ্ঞা ও বীজগাণিতিক রূপ
মৌলিক সংজ্ঞা
যদি \(a\) ও \(b\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(i = \sqrt{-1}\) (কাল্পনিক একক) হয়, তবে \(z = a + ib\) আকারের সংখ্যাকে জটিল সংখ্যা (Complex Number) বলা হয়। এখানে:
- \(a = \text{Re}(z)\) বলে বাস্তব অংশ (Real Part)
- \(b = \text{Im}(z)\) বলে কাল্পনিক অংশ (Imaginary Part)
কাল্পনিক একক \(i\) এর ধর্ম
\[i = \sqrt{-1} \quad \text{অর্থাৎ} \quad i^2 = -1\]
\(i\) এর ঘাতের পর্যায়ক্রম:
- \(i^1 = i\)
- \(i^2 = -1\)
- \(i^3 = -i\)
- \(i^4 = 1\)
- সাধারণতঃ \(i^{4n} = 1\), \(i^{4n+1} = i\), \(i^{4n+2} = -1\), \(i^{4n+3} = -i\)
জটিল সংখ্যার প্রকারভেদ
| শ্রেণী | শর্ত | উদাহরণ |
|---|---|---|
| বাস্তব সংখ্যা | \(\text{Im}(z) = 0\) অর্থাৎ \(b = 0\) | \(5\), \(-3\), \(\sqrt{2}\) |
| শुद्ध কাল্পনিক সংখ্যা | \(\text{Re}(z) = 0\) অর্থাৎ \(a = 0\), \(b \neq 0\) | \(3i\), \(-2i\) |
| শূন্য সংখ্যা | \(a = 0\) এবং \(b = 0\) | \(0 + 0i = 0\) |
| অ-বাস্তব জটিল সংখ্যা | \(\text{Im}(z) \neq 0\) | \(3 + 4i\), \(1 - i\) |
জ্যামিতিক প্রতিরূপ: আর্গ্যান্ড চিত্র (Argand Diagram)
জটিল সংখ্যাকে জ্যামিতিকভাবে প্রকাশ করতে আমরা আর্গ্যান্ড তল (Argand Plane বা Complex Plane) ব্যবহার করি। এটি একটি দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা যেখানে:
- অনুভূমিক অক্ষ (X-axis): বাস্তব অক্ষ (Real Axis), যা বাস্তব সংখ্যাকে প্রকাশ করে।
- উলম্ব অক্ষ (Y-axis): কাল্পনিক অক্ষ (Imaginary Axis), যা \(i\) গুণিতককে প্রকাশ করে।
বিন্দুর স্থানাঙ্ক
জটিল সংখ্যা \(z = x + iy\) কে আর্গ্যান্ড তলের বিন্দু \(P(x, y)\) হিসেবে বা অদিবিন্দু \(\vec{OP}\) হিসেবে প্রকাশ করা যায়।
জটিল সংখ্যা \(z = x + iy\) ↔ বিন্দু \((x, y)\) ↔ সদিক রাশি \(\vec{OP} = (x, y)\)
দূরত্ব ও দিক
মূলবিন্দু \(O\) থেকে বিন্দু \(P(x,y)\) পর্যন্ত দূরত্ব হলো \(z\) এর পরমান (Modulus) এবং ধনাত্মক বাস্তব অক্ষের সাথে \(\vec{OP}\) এর উৎপন্ন কোণকে নতি বা আর্গুমেন্ট (Argument) বলে।
পরমান (Modulus) ও নতি (Argument)
পরমান বা মডুলাস (|z|)
জটিল সংখ্যা \(z = x + iy\) এর পরমান:
\[|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2}\]
এটি মূলবিন্দু থেকে বিন্দু \((x,y)\) এর দূরত্ব নির্দেশ করে এবং সর্বদা অঋণাত্মক (\(|z| \geq 0\))।
নতি বা আর্গুমেন্ট (arg z বা amp z)
জটিল সংখ্যা \(z = x + iy\) এর নতি হলো ধনাত্মক বাস্তব অক্ষের সাথে \(\vec{OP}\) এর উৎপন্ন কোণ \(\theta\):
\[\tan\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)\]
বা \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\)
প্রধান নতি (Principal Value)
একটি জটিল সংখ্যার অসংখ্য নতি আছে কেননা কোণের পর্যায়বৃত্তিত্ব (\(2\pi\) যোগ করলে একই অবস্থান)। তবে \(-\pi < \theta \leq \pi\) বা \(0 \leq \theta < 2\pi\) এর মধ্যে থাকা নতিকে প্রধান নতি বলে, যা \(\text{Arg } z\) (বড় হাতের A) দ্বারা সূচিত হয়।
চতুর্ভাগ অনুযায়ী নতি নির্ণয়
| চতুর্ভাগ | শর্ত | পরমান | নতি \(\theta\) |
|---|---|---|---|
| ১ম | \(x > 0, y > 0\) | \(\sqrt{x^2+y^2}\) | \(\tan^{-1}(y/x)\) |
| ২য় | \(x < 0, y > 0\) | \(\sqrt{x^2+y^2}\) | \(\pi - \tan^{-1}(|y/x|)\) |
| ৩য় | \(x < 0, y < 0\) | \(\sqrt{x^2+y^2}\) | \(-\pi + \tan^{-1}(|y/x|)\) বা \(\pi + \tan^{-1}(y/x)\) |
| ৪র্থ | \(x > 0, y < 0\) | \(\sqrt{x^2+y^2}\) | \(-\tan^{-1}(|y/x|)\) |
উদাহরণ:
\(z = -1 + i\) এর পরমান ও প্রধান নতি নির্ণয় করো।
সমাধান:
এখানে \(x = -1\), \(y = 1\) (২য় চতুর্ভাগ)
পরমান: \(|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
নতি: \(\tan^{-1}\left|\frac{1}{-1}\right| = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}\)
২য় চতুর্ভাগ হওয়ায়: \(\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\)
অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা (Conjugate Complex Number)
সংজ্ঞা
\(z = x + iy\) এর অনুবন্ধী (Complex Conjugate) হলো \(\bar{z} = x - iy\)। এটি বাস্তব অক্ষের সাপেক্ষে \(z\) এর প্রতিবিম্ব।
অনুবন্ধীর বৈশিষ্ট্যসমূহ
মৌলিক ধর্ম
- \(\overline{\bar{z}} = z\)
- \(z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) = 2x\) (বাস্তব)
- \(z - \bar{z} = 2i\text{Im}(z) = 2iy\) (কাল্পনিক)
- \(z \cdot \bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2\) (বাস্তব ও অঋণাত্মক)
ক্রিয়াসমূহে
- \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2\)
- \(\overline{z_1 - z_2} = \bar{z}_1 - \bar{z}_2\)
- \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2\)
- \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}\) (\(z_2 \neq 0\))
পরমান সংক্রান্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
- \(|z| = |\bar{z}|\)
- \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
- \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\)
- \(|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)\) (সমান্তরাল চতুর্ভুজের সূত্র)
- \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\) (ত্রিভুজ অসমতা)
ক্রিয়াসমূহের জ্যামিতিক প্রতিরূপ
১. যোগ ও বিয়োগ (Addition and Subtraction)
জটিল সংখ্যার যোগ-বিয়োগ সদিক রাশির (ভেক্টরের) যোগ-বিয়োগের নিয়ম অনুসরণ করে।
যদি \(z_1 = x_1 + iy_1\) ও \(z_2 = x_2 + iy_2\) হয়:
\[z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + i(y_1+y_2)\]
জ্যামিতিকভাবে, এটি সমান্তরাল চতুর্ভুজের সূত্র অনুসারে হয়।
- যোগ: \(z_1\) ও \(z_2\) কে সদিক রেখা হিসেবে অঙ্কন করে সমান্তরাল চতুর্ভুজ গঠন করলে কর্ণটি হবে \(z_1 + z_2\)
- বিয়োগ: \(z_1 - z_2\) হলো \(z_1\) ও \(z_2\) এর শীর্ষবিন্দু যোগ করে \(z_2\) থেকে \(z_1\) এর দিকে নির্দেশক রেখা।
২. গুণন (Multiplication)
আলজেবরিকভাবে: \((x_1+iy_1)(x_2+iy_2) = (x_1x_2-y_1y_2) + i(x_1y_2+x_2y_1)\)
জ্যামিতিকভাবে, গুণন দুটি কাজ করে:
- স্কেলিং: পরমানগুলো গুণ হয়: \(|z_1z_2| = |z_1||z_2|\)
- ঘূর্ণন: নতিগুলো যোগ হয়: \(\arg(z_1z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\)
৩. ভাগ (Division)
জ্যামিতিকভাবে, ভাগনের পরমান ভাগ করা হয় এবং নতি বিয়োগ করা হয়:
- \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\)
- \(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\)
মেরু রূপ (Polar Form) ও জ্যামিতিক তাৎপর্য
\(z = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\text{cis}\theta = re^{i\theta}\) (অয়লারের সূত্র)
এই রূপে গুণন ও ভাগ বিশেষ সহজ হয়ে যায়:
- \(z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]\)
- \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2)]\)
জ্যামিতিক ব্যাখ্যা:
\(z\) কে \(i\) দ্বারা গুণ করলে কী হয়?
ধরি \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) এবং \(i = 1(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})\)
\(iz = r[\cos(\theta+\frac{\pi}{2}) + i\sin(\theta+\frac{\pi}{2})]\)
অর্থাৎ \(z\) এর মান একই থাকে কিন্তু মূলবিন্দুর সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে \(90^\circ\) ঘূর্ণন হয়।
জটিল সংখ্যার গুরুত্বপূর্ণ ধর্মসমূহ
ত্রিভুজ অসমতা (Triangle Inequality)
\[|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\]
সমানতা তখনই হয় যখন \(z_1\) ও \(z_2\) একই দিকে অবস্থিত (অর্থাৎ \(\arg(z_1) = \arg(z_2)\))।
পরমানের সীমাবদ্ধতা
- \(|\text{Re}(z)| \leq |z|\) এবং \(|\text{Im}(z)| \leq |z|\)
- \(|z| = 0 \iff z = 0\)
- \(z\bar{z} = |z|^2\) ব্যবহার করে ভাগ সরলীকরণ করা যায়।
উদাহরণ:
প্রমাণ করো যে \(\left|\frac{z-1}{z+1}\right| = 1\) হলে \(z\) বাস্তব অক্ষের উপর অবস্থিত।
সমাধান:
\(|z-1| = |z+1|\) (পরমান সমান)
জ্যামিতিক অর্থ: \(z\) থেকে \((1,0)\) ও \((-1,0)\) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।
সুতরাং \(z\) হলো \((1,0)\) ও \((-1,0)\) এর মধ্যবর্তী লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপর, অর্থাৎ কাল্পনিক অক্ষের উপর নয়, বরং \(y\)-অক্ষের সমান্তরাল অর্থাৎ কাল্পনিক অক্ষ নয়—বরং এটি বাস্তব অক্ষের লম্ব বরাবর, কিন্তু মূলবিন্দুতে?
সঠিক ব্যাখ্যা: \((1,0)\) ও \((-1,0)\) এর সমদূরবর্তী বিন্দুরা হলো কাল্পনিক অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুগুলো। সুতরাং \(\text{Re}(z) = 0\), অর্থাৎ \(z\) শुद्ध কাল্পনিক।
[পাঠকের জন্য অনুশীলনী: যদি \(\left|\frac{z-1}{z+1}\right| = 2\) হতো, তবে কী হতো?]
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- জটিল সংখ্যা: \(z = x + iy\) যেখানে \(i^2 = -1\); \(x = \text{Re}(z)\), \(y = \text{Im}(z)\)
- আর্গ্যান্ড চিত্র: জটিল সংখ্যাকে বিন্দু \((x,y)\) বা সদিক রাশি হিসেবে প্রকাশ
- পরমান: \(|z| = \sqrt{x^2+y^2}\) (মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব)
- নতি: \(\theta = \tan^{-1}(y/x)\); চতুর্ভাগ অনুযায়ী সামঞ্জস্য করতে হবে; প্রধান মান \(-\pi < \theta \leq \pi\)
- অনুবন্ধী: \(\bar{z} = x - iy\); \(z\bar{z} = |z|^2\) (বাস্তব); \(|z| = |\bar{z}|\)
- যোগ-বিয়োগ: ভেক্টরের নিয়মে (সমান্তরাল চতুর্ভুজ সূত্র)
- গুণন-ভাগ: পরমান গুণ/ভাগ, নতি যোগ/বিয়োগ হয়; \(i\) দ্বারা গুণ = \(90^\circ\) ঘূর্ণন
- মেরু রূপ: \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) যেখানে \(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\)