৪. বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomials and Polynomial Equations)
এই অধ্যায়ে আমরা বহুপদীর গাঠনিক বৈশিষ্ট্য, বাকশেষ ও গুণনীয়ক উপপাদ্য এবং দ্বিঘাত ও ত্রিঘাত সমীকরণের গভীর আলোচনা করব। বিশেষ করে সমীকরণের মূল নির্ণয়ের পদ্ধতি, মূলের প্রকৃতি নির্ধারণের জন্য পৃথায়কের ভূমিকা, মূল ও সহগের মধ্যকার অনিবার্য সম্পর্ক (ভিয়েতার সূত্র) এবং প্রদত্ত মূলের ভিত্তিতে সমীকরণ গঠনের কৌশল শিখব।
বহুপদীর সংজ্ঞা ও মৌলিক ধারণা
বহুপদীর সংজ্ঞা
একটি চলকের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ঘাত বিশিষ্ট পদগুলোর যোগফলকে বহুপদী বলা হয়। যদি চলকটি হয়, তবে একটি বহুপদী নিম্নলিখিত রূপে প্রকাশ করা যায়:
\[P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0\]
যেখানে \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_0\) বাস্তব সংখ্যা (সহগ) এবং \(n\) একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
মৌলিক পরিভাষা
- ঘাত (Degree): বহুপদীতে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত। যেমন: \(3x^4 - 2x^2 + 5\) এর ঘাত ৪।
- সহগ (Coefficient): প্রতিটি পদে চলকের সাথে গুণিত সংখ্যা। যেমন: \(3x^2\) এ ৩ হলো সহগ।
- অবকল পদ (Constant Term): চলকবিহীন পদ, অর্থাৎ \(x^0\) এর সহগ।
- শূন্য বহুপদী (Zero Polynomial): সকল সহগ শূন্য হলে। এর ঘাত অপ্রভাবশালী।
- অপরিবর্তনীয় বহুপদী: শূন্য ঘাতের বহুপদী, যেমন \(P(x) = 5\)।
বহুপদীর প্রকারভেদ ঘাত অনুসারে
| ঘাত | নাম | সাধারণ রূপ |
|---|---|---|
| ১ | রৈখিক (Linear) | \(ax + b\), \(a \neq 0\) |
| ২ | দ্বিঘাত (Quadratic) | \(ax^2 + bx + c\), \(a \neq 0\) |
| ৩ | ত্রিঘাত (Cubic) | \(ax^3 + bx^2 + cx + d\), \(a \neq 0\) |
| ৪ | চতুর্ঘাত (Quartic/Biquadratic) | \(ax^4 + \dots\), \(a \neq 0\) |
বহুপদীর শূন্য (Zeros/Roots)
একটি বহুপদী \(P(x)\) এর জন্য যদি কোনো বাস্তব সংখ্যা \(k\) এর জন্য \(P(k) = 0\) হয়, তবে \(k\) কে বহুপদীটির একটি শূন্য বা মূল বলা হয়। এর জ্যামিতিক অর্থ হলো, বক্ররেখা \(y = P(x)\) রেখাটি \(x\)-অক্ষকে বিন্দু \((k, 0)\) এ ছেদ করে।
বাকশেষ উপপাদ্য ও গুণনীয়ক উপপাদ্য
বাকশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem)
যদি একটি বহুপদী \(P(x)\) কে \((x - a)\) দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে প্রাপ্ত বাকশেষ হলো \(P(a)\)।
অর্থাৎ: \(P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + R\), যেখানে \(R = P(a)\) এবং \(\deg R < \deg (x-a) = 1\), সুতরাং \(R\) একটি ধ্রুবক।
প্রমাণ:
ভাগ প্রক্রিয়া অনুসারে, আমরা লিখতে পারি:
\[P(x) = (x - a)Q(x) + R\]
যেখানে \(Q(x)\) ভাগফল এবং \(R\) বাকশেষ।
\(x = a\) বসালে:
\[P(a) = (a - a)Q(a) + R = 0 + R = R\]
সুতরাং বাকশেষ \(R = P(a)\)।
উদাহরণ:
\(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) কে \((x - 2)\) দ্বারা ভাগ করলে বাকশেষ কত?
সমাধান:
বাকশেষ উপপাদ্য অনুসারে, বাকশেষ \(= P(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 0\)
যেহেতু বাকশেষ শূন্য, সুতরাং \((x - 2)\) একটি গুণনীয়ক।
গুণনীয়ক উপপাদ্য (Factor Theorem)
\((x - a)\) হবে বহুপদী \(P(x)\) এর একটি গুণনীয়ক তখনই এবং কেবল তখনই, যখন \(P(a) = 0\)।
অর্থাৎ: \(P(a) = 0 \iff (x - a)\) একটি গুণনীয়ক।
প্রমাণ:
বাকশেষ উপপাদ্য থেকে \(P(x) = (x - a)Q(x) + P(a)\)
যদি \(P(a) = 0\) হয়, তবে \(P(x) = (x - a)Q(x)\), অর্থাৎ \((x - a)\) একটি গুণনীয়ক।
অন্যদিকে, যদি \((x - a)\) একটি গুণনীয়ক হয়, তবে \(P(x) = (x - a)Q(x)\), সুতরাং \(P(a) = 0\)।
গুণনীয়ক নির্ণয়ের কৌশল
যদি \(P(x) = a_nx^n + \dots + a_0\) হয়, তবে সম্ভাব্য বীজগুলো হলো \(\pm \dfrac{\text{অবকল পদের গুণনীয়ক}}{\text{সর্বোচ্চ ঘাত পদের সহগের গুণনীয়ক}}\)।
উদাহরণ:
\(2x^3 - 9x^2 + 7x + 6\) এর গুণনীয়ক নির্ণয় করো।
সমাধান:
সম্ভাব্য বীজ: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}\)
পরীক্ষা করে দেখা যায় \(P(3) = 54 - 81 + 21 + 6 = 0\), সুতরাং \((x - 3)\) একটি গুণনীয়ক।
ভাগ করে পাই: \(2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 = (x - 3)(2x^2 - 3x - 2)\)
\(= (x - 3)(2x + 1)(x - 2)\)
দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations)
সাধারণ রূপ
দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ:
\[ax^2 + bx + c = 0\]
যেখানে \(a, b, c \in \mathbb{R}\) এবং \(a \neq 0\)।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি
যদি \(ax^2 + bx + c\) কে \((px + q)(rx + s)\) আকারে লেখা যায়, তবে:
\[ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow (px + q)(rx + s) = 0\]
সুতরাং \(x = -\frac{q}{p}\) বা \(x = -\frac{s}{r}\)
উদাহরণ:
\(x^2 - 5x + 6 = 0\) সমাধান করো।
সমাধান:
উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \((x - 2)(x - 3) = 0\)
সুতরাং \(x = 2\) অথবা \(x = 3\)
দ্বিঘাত সূত্র (Quadratic Formula)
দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2 + bx + c = 0\) এর মূলদ্বয়:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
প্রমাণ:
\(ax^2 + bx + c = 0\)
\(\Rightarrow x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)
\(\Rightarrow x^2 + 2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2\)
\(\Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\)
\(\Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
পৃথায়ক বা বিভেদক (Discriminant)
দ্বিঘাত সমীকরণের পৃথায়ক \(D\) (বা \(\Delta\)) সংজ্ঞায়িত হয়:
\[D = b^2 - 4ac\]
মূলের প্রকৃতি নির্ণয়ে পৃথায়কের ভূমিকা:
| পৃথায়কের মান | মূলের প্রকৃতি | বৈশিষ্ট্য |
|---|---|---|
| \(D > 0\) এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা | বাস্তব, ভিন্ন ও যৌক্তিক | দুটি ভিন্ন মূল, উৎপাদকে বিশ্লেষণযোগ্য |
| \(D > 0\) কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় | বাস্তব, ভিন্ন ও অযৌক্তিক | দুটি ভিন্ন মূল, কিন্তু অযৌক্তিক |
| \(D = 0\) | বাস্তব ও সমান | দুটি মূল সমান, \(x = -\frac{b}{2a}\) |
| \(D < 0\) | জটিল সংযুগ্ম | দুটি জটিল মূল, \(\alpha \pm i\beta\) আকারে |
দ্বিঘাত সমীকরণে মূল ও সহগের সম্পর্ক
মনে করি দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^2 + bx + c = 0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
মূলের যোগফল (Sum of Roots)
\[\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{\text{মূলকের সহগ}}{\text{দ্বিঘাত পদের সহক}}\]
মূলের গুণফল (Product of Roots)
\[\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{\text{অবকল পদ}}{\text{দ্বিঘাত পদের সহক}}\]
মূলের প্রতিসম রাশি (Symmetric Functions of Roots)
মূল \(\alpha\) ও \(\beta\) এর প্রতিসম রাশি হলো এমন ফাংশন যা \(\alpha\) ও \(\beta\) বিনিময় করলে অপরিবর্তিত থাকে।
গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলী
- \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\)
- \(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)\)
- \(\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta)\)
- \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\)
- \(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}\)
- \((\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\)
- \(|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \frac{\sqrt{D}}{|a|}\)
উদাহরণ:
যদি \(2x^2 - 3x + 1 = 0\) এর মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হয়, তবে \(\alpha^2 + \beta^2\) ও \(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}\) এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(\alpha + \beta = \frac{3}{2}\), \(\alpha\beta = \frac{1}{2}\)
\(\alpha^2 + \beta^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2\cdot\frac{1}{2} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}\)
\(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{5/4}{1/2} = \frac{5}{2}\)
দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন
যদি মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) দেওয়া থাকে, তবে সমীকরণটি হবে:
\[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\]
বা
\[x^2 - (\text{মূলের যোগফল})x + (\text{মূলের গুণফল}) = 0\]
উদাহরণ:
এমন একটি দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন কর যার মূলদ্বয় \(2 + \sqrt{3}\) ও \(2 - \sqrt{3}\)
সমাধান:
মূলের যোগফল: \((2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4\)
মূলের গুণফল: \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1\)
সমীকরণ: \(x^2 - 4x + 1 = 0\)
ত্রিঘাত সমীকরণ (Cubic Equations)
সাধারণ রূপ
\[ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\]
যেখানে \(a \neq 0\) এবং \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\)।
মূল ও সহগের সম্পর্ক (Vieta's Formulas for Cubic)
মনে করি মূলত্রয় \(\alpha, \beta, \gamma\)
মূলের যোগফল
\[\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\]
দুই দুই করে মূলের গুণফলের যোগফল
\[\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}\]
মূলত্রয়ের গুণফল
\[\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\]
ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন
মূলত্রয় \(\alpha, \beta, \gamma\) হলে সমীকরণ:
\[x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma = 0\]
ত্রিঘাতের প্রতিসম রাশি
- \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\)
- \(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = (\alpha+\beta+\gamma)^3 - 3(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) + 3\alpha\beta\gamma\)
- \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}\)
উদাহরণ:
যদি \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) এর মূলত্রয় \(\alpha, \beta, \gamma\) হয়, তবে \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2\) নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(\alpha + \beta + \gamma = 6\)
\(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 11\)
\(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 6^2 - 2(11) = 36 - 22 = 14\)
শর্তসাপেক্ষ সমীকরণ ও অভেদ
পার্থক্য
| শর্তসাপেক্ষ সমীকরণ (Conditional Equation) | অভেদ (Identity) |
|---|---|
| নির্দিষ্ট মানের জন্য সত্য | সব মানের জন্য সত্য |
| সীমিত সংখ্যক মূল আছে | অসীম সংখ্যক মূল বা সব বাস্তব সংখ্যাই মূল |
| যেমন: \(2x + 3 = 7\) (শুধু \(x=2\) এর জন্য) | যেমন: \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\) (সব \(x\) এর জন্য) |
অভেদ নির্ধারণের শর্ত
যদি \(ax^2 + bx + c = 0\) একটি অভেদ হয় (সব \(x\) এর জন্য সত্য), তবে:
\[a = 0, \quad b = 0, \quad c = 0\]
অর্থাৎ সকল সহগ শূন্য হতে হবে।
উদাহরণ:
\((k-2)x^2 + (k-3)x + 5 = 0\) একটি অভেদ হলে \(k\) এর মান কত?
সমাধান:
অভেদ হতে হলে:
\(k - 2 = 0 \Rightarrow k = 2\)
\(k - 3 = 0 \Rightarrow k = 3\)
একই সাথে \(k = 2\) ও \(k = 3\) সম্ভব নয়, সুতরাং কোনো বাস্তব \(k\) এর জন্য এটি অভেদ হতে পারে না।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- বাকশেষ উপপাদ্য: \(P(x)\) কে \((x-a)\) দ্বারা ভাগ করলে বাকশেষ \(P(a)\)
- গুণনীয়ক উপপাদ্য: \((x-a)\) গুণনীয়ক \(\iff P(a) = 0\)
- দ্বিঘাত সূত্র: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
- পৃথায়ক: \(D = b^2-4ac\); \(D>0\) (বাস্তব ভিন্ন), \(D=0\) (সমান), \(D<0\) (জটিল)
- মূল ও সহগের সম্পর্ক (দ্বিঘাত): \(\alpha+\beta = -\frac{b}{a}\), \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)
- দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন: \(x^2 - (\text{যোগফল})x + (\text{গুণফল}) = 0\)
- প্রতিসম রাশি: \(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\), \(\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)
- ত্রিঘাত সমীকরণ: \(\alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}\), \(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a}\), \(\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\)
- অভেদ: সব সহক শূন্য হতে হবে