১. বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা (Real Numbers and Inequalities)
এই অধ্যায়ে আমরা বাস্তব সংখ্যার গাঠনিক ভিত্তি, বিভিন্ন উপসেট এবং তাদের বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করব। স্বীকার্য ভিত্তিক বর্ণনার মাধ্যমে বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্র সংজ্ঞায়িত করা হয়। এছাড়াও উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমা, অসমতার বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্য, পরমমান এবং এক চলক বিশিষ্ট অসমতার সমাধান পদ্ধতি শিখব।
বাস্তব সংখ্যা ও এর উপসেটসমূহ
বাস্তব সংখ্যার সংজ্ঞা
বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers) হলো সেইসব সংখ্যা যা সংখ্যা রেখার যেকোনো বিন্দুকে প্রকাশ করে। বাস্তব সংখ্যার সেট \(\mathbb{R}\) দ্বারা সূচিত হয় এবং এরা মূলত সকল যৌক্তিক (rational) ও অযৌক্তিক (irrational) সংখ্যার সমষ্টি।
বাস্তব সংখ্যার প্রধান উপসেটসমূহ
প্রাকৃতিক সংখ্যা (\(\mathbb{N}\))
\(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\)
গণনার জন্য ব্যবহৃত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
পূর্ণ সংখ্যা (\(\mathbb{Z}\))
\(\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}\)
ঋণাত্মক, শূন্য ও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
যৌক্তিক সংখ্যা (\(\mathbb{Q}\))
\(\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\right\}\)
দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত আকারে প্রকাশযোগ্য
অযৌক্তিক সংখ্যা
\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) বা \(\mathbb{Q}^c\)
যেমন: \(\sqrt{2}, \pi, e\) — দশমিক প্রসারণ অসমাপ্ত ও অপর্যাবৃত্তিক
বাস্তব সংখ্যার স্বীকার্য ভিত্তিক বর্ণনা
বাস্তব সংখ্যাকে একটি ক্ষেত্র (Field) হিসেবে সংজ্ঞায়িত করতে তিন ধরনের স্বীকার্য প্রয়োজন:
১. ক্ষেত্র স্বীকার্যসমূহ (Field Axioms)
বাস্তব সংখ্যার সেট \(\mathbb{R}\) এ দুটি দ্বিপদী ক্রিয়া \((+, \cdot)\) নিম্নলিখিত স্বীকার্যসমূহ পূরণ করে:
যোগ সংক্রান্ত স্বীকার্য:
- বদ্ধতা (Closure): \(\forall a, b \in \mathbb{R}, a+b \in \mathbb{R}\)
- সাহচর্য (Commutative): \(a+b = b+a\)
- সহচারিতা (Associative): \((a+b)+c = a+(b+c)\)
- অধিশূন্য (Additive Identity): \(\exists 0 \in \mathbb{R}\) যেন \(a+0 = a\)
- ঋণাত্মক (Additive Inverse): \(\forall a, \exists (-a) \in \mathbb{R}\) যেন \(a+(-a) = 0\)
গুণ সংক্রান্ত স্বীকার্য:
- বদ্ধতা (Closure): \(\forall a, b \in \mathbb{R}, ab \in \mathbb{R}\)
- সাহচর্য (Commutative): \(ab = ba\)
- সহচারিতা (Associative): \((ab)c = a(bc)\)
- গুণনীয়ক শূন্য (Multiplicative Identity): \(\exists 1 \in \mathbb{R}\) যেন \(a \cdot 1 = a\)
- ব্যস্তানুপাতিক (Multiplicative Inverse): \(\forall a \neq 0, \exists a^{-1} \in \mathbb{R}\) যেন \(a \cdot a^{-1} = 1\)
বণ্টন স্বীকার্য (Distributive):
\(a(b+c) = ab + ac\) এবং \((a+b)c = ac + bc\)
২. ক্রম স্বীকার্যসমূহ (Order Axioms)
বাস্তব সংখ্যার মধ্যে \(<\) (ছোট) সম্পর্ক নিম্নলিখিত স্বীকার্যসমূহ পূরণ করে:
- ত্রিচ্ছেদ স্বীকার্য (Trichotomy): যেকোনো \(a, b \in \mathbb{R}\) এর জন্য নিম্নলিখিতগুলোর কেবলমাত্র একটি সত্য: \(a < b\), \(a = b\), বা \(a > b\)
- সংযোজন স্বীকার্য (Transitive): যদি \(a < b\) এবং \(b < c\) হয়, তবে \(a < c\)
- যোগ সংরক্ষণ (Additive): যদি \(a < b\) হয়, তবে \(a+c < b+c\) (যেকোনো \(c\) এর জন্য)
- গুণ সংরক্ষণ (Multiplicative): যদি \(a < b\) এবং \(c > 0\) হয়, তবে \(ac < bc\)
৩. পূর্ণতা স্বীকার্য (Completeness Axiom)
এটি বাস্তব সংখ্যাকে যৌক্তিক সংখ্যা থেকে পৃথক করে। প্রত্যেক অশূন্য উপসেটের যার উর্ধ্বসীমা আছে, তার একটি ন্যুনতম উর্ধ্বসীমা (Supremum) \(\mathbb{R}\) এ বিদ্যমান।
উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমা (Supremum and Infimum)
মৌলিক সংজ্ঞাসমূহ
ধরা যাক \(S \subseteq \mathbb{R}\) একটি অশূন্য উপসেট:
উর্ধ্বসীমা (Upper Bound):
বাস্তব সংখ্যা \(M\) কে \(S\) এর একটি উর্ধ্বসীমা বলা হয় যদি \(\forall x \in S\) এর জন্য \(x \leq M\) হয়।
নিম্নসীমা (Lower Bound):
বাস্তব সংখ্যা \(m\) কে \(S\) এর একটি নিম্নসীমা বলা হয় যদি \(\forall x \in S\) এর জন্য \(x \geq m\) হয়।
ন্যুনতম উর্ধ্বসীমা (Least Upper Bound / Supremum)
সংখ্যা \(\alpha\) কে \(S\) এর সুপ্রিমাম (supremum) বা ন্যুনতম উর্ধ্বসীমা (l.u.b.) বলা হয় যদি:
- \(\alpha\) হলো \(S\) এর একটি উর্ধ্বসীমা (অর্থাৎ \(\forall x \in S, x \leq \alpha\))
- যদি \(\beta\) যেকোনো উর্ধ্বসীমা হয়, তবে \(\alpha \leq \beta\) (অর্থাৎ \(\alpha\) সবচেয়ে ছোট উর্ধ্বসীমা)
নোটেশন: \(\alpha = \sup S\) বা \(\alpha = \text{lub } S\)
সর্বাধিক নিম্নসীমা (Greatest Lower Bound / Infimum)
সংখ্যা \(\gamma\) কে \(S\) এর ইনফিমাম (infimum) বা সর্বাধিক নিম্নসীমা (g.l.b.) বলা হয় যদি:
- \(\gamma\) হলো \(S\) এর একটি নিম্নসীমা
- যদি \(\delta\) যেকোনো নিম্নসীমা হয়, তবে \(\gamma \geq \delta\) (অর্থাৎ \(\gamma\) সবচেয়ে বড় নিম্নসীমা)
নোটেশন: \(\gamma = \inf S\) বা \(\gamma = \text{glb } S\)
উদাহরণ:
নির্ণয় করো: \(S = \left\{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\right\} = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\right\}\)
সমাধান:
- \(\sup S = 1\) (সর্বোচ্চ উপাদান, কেননা \(1 \in S\))
- \(\inf S = 0\) (কেননা \(\frac{1}{n} > 0\) সব \(n\) এর জন্য এবং \(0\) এর কাছাকাছি মান পাওয়া যায়)
- \(\min S\) নেই (কেননা \(0 \notin S\))
অসমতা ও এর বৈশিষ্ট্যসমূহ
অসমতার সংজ্ঞা
দুটি বাস্তব সংখ্যা \(a\) ও \(b\) এর মধ্যে যদি \(a - b\) ঋণাত্মক হয়, তবে \(a < b\) (একে ছোট) বলা হয়। অর্থাৎ:
\[a < b \iff b - a > 0\]
\[a \leq b \iff a < b \text{ অথবা } a = b\]
অসমতার মৌলিক বৈশিষ্ট্য
| বৈশিষ্ট্য | বীজগাণিতিক প্রকাশ | শর্ত |
|---|---|---|
| যোগ স্থানান্তর | যদি \(a < b\) হয়, তবে \(a + c < b + c\) | সব \(c \in \mathbb{R}\) এর জন্য |
| বিয়োগ স্থানান্তর | যদি \(a < b\) হয়, তবে \(a - c < b - c\) | সব \(c \in \mathbb{R}\) এর জন্য |
| ধনাত্মক গুণন | যদি \(a < b\) এবং \(c > 0\) হয়, তবে \(ac < bc\) | \(c > 0\) |
| ঋণাত্মক গুণন | যদি \(a < b\) এবং \(c < 0\) হয়, তবে \(ac > bc\) | \(c < 0\) (চিহ্ন পরিবর্তন) |
| ব্যস্তানুপাতিক গুণন | যদি \(0 < a < b\) এবং \(0 < c < d\) হয়, তবে \(ac < bd\) | ধনাত্মক সংখ্যার জন্য |
| ব্যস্তানুপাতিক ভাগ | যদি \(0 < a < b\) এবং \(0 < c < d\) হয়, তবে \(\frac{a}{d} < \frac{b}{c}\) | ধনাত্মক সংখ্যার জন্য |
| বিপরীত সংখ্যা | যদি \(0 < a < b\) হয়, তবে \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\) | ধনাত্মক সংখ্যার জন্য চিহ্ন পরিবর্তন |
| ঘাত সংক্রান্ত | যদি \(0 < a < b\) এবং \(n > 0\) হয়, তবে \(a^n < b^n\) | \(n\) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা |
| মূল সংক্রান্ত | যদি \(0 < a < b\) এবং \(n \in \mathbb{N}\) হয়, তবে \(\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\) | \(n\)-তম মূল |
পরমমান (Absolute Value)
সংজ্ঞা
যেকোনো বাস্তব সংখ্যা \(x\) এর পরমমান বা নিরপেক্ষ মান সংজ্ঞায়িত হয়:
\[|x| = \begin{cases} x & \text{যদি } x \geq 0 \\ -x & \text{যদি } x < 0 \end{cases}\]
পরমমানের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
সংখ্যা রেখায় \(x\) এর পরমমান হলো মূলবিন্দু \(0\) থেকে \(x\) বিন্দুর দূরত্ব। সুতরাং \(|x|\) সর্বদা অঋণাত্মক এবং \(|x - a|\) হলো \(x\) থেকে \(a\) এর দূরত্ব।
পরমমানের বৈশিষ্ট্যসমূহ
মৌলিক বৈশিষ্ট্য
- \(|x| \geq 0\) (সর্বদা অঋণাত্মক)
- \(|x| = 0 \iff x = 0\)
- \(|-x| = |x|\) (জোড় ফাংশন)
- \(|x|^2 = x^2\)
- \(\sqrt{x^2} = |x|\)
গুণন ও ভাগ
- \(|xy| = |x||y|\)
- \(\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}\) (\(y \neq 0\))
- \(|x^n| = |x|^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\))
ত্রিভুজ অসমতা (Triangle Inequality)
এটি পরমমানের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য:
\[|x + y| \leq |x| + |y|\]
সাধারণীকৃত রূপ:
\[|x_1 + x_2 + \dots + x_n| \leq |x_1| + |x_2| + \dots + |x_n|\]
বিকল্প রূপ:
\[||x| - |y|| \leq |x - y| \leq |x| + |y|\]
উদাহরণ:
প্রমাণ করো যে \(|x - 3| < 2 \iff 1 < x < 5\)
সমাধান:
\(|x - 3| < 2\) অর্থ \(x\) থেকে \(3\) এর দূরত্ব \(2\) এর কম।
অর্থাৎ: \(-2 < x - 3 < 2\)
সব পক্ষে \(3\) যোগ করলে: \(1 < x < 5\)
এক চলক সংবলিত অসমতার সমাধান
রৈখিক অসমতা
\(ax + b > c\) আকারের অসমতার সমাধান:
উদাহরণ:
\(3x - 5 < 7\) সমাধান করো।
সমাধান:
\(3x - 5 < 7\)
\(3x < 12\) (উভয় পক্ষে \(5\) যোগ করে)
\(x < 4\) (উভয় পক্ষকে \(3\) দিয়ে ভাগ করে—ধনাত্মক হওয়ায় চিহ্ন অপরিবর্তিত)
সমাধান: \(x \in (-\infty, 4)\)
দ্বিঘাত অসমতা
\(ax^2 + bx + c > 0\) আকারের অসমতার সমাধান পদ্ধতি:
- সম্পূর্ণ বর্গ পদ্ধতিতে বা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে শূন্যস্থান নির্ণয় করুন
- সংখ্যা রেখায় চিহ্ন বিশ্লেষণ করুন
- প্রয়োজনীয় ব্যবধি নির্ধারণ করুন
উদাহরণ:
\(x^2 - 5x + 6 > 0\) সমাধান করো।
সমাধান:
উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \((x-2)(x-3) > 0\)
শূন্যস্থান: \(x = 2\) ও \(x = 3\)
চিহ্ন বিশ্লেষণ:
- \(x < 2\): \((-)(-) = (+) > 0\) ✓
- \(2 < x < 3\): \((+)(-) = (-) < 0\) ✗
- \(x > 3\): \((+)(+) = (+) > 0\) ✓
সমাধান: \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)\)
ভগ্নাংশ জাতীয় অসমতা
\(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) আকারের সমাধানের সময় লব ও হরের শূন্যস্থান একসাথে বিবেচনা করতে হবে এবং \(Q(x) = 0\) এ অসংজ্ঞায়িত থাকায় সেই বিন্দু বাদ দিতে হবে।
উদাহরণ:
\(\frac{x-1}{x+2} > 0\) সমাধান করো।
সমাধান:
শূন্যস্থান: \(x = 1\) (লব) এবং \(x = -2\) (হর, অসংজ্ঞায়িত)
চিহ্ন বিশ্লেষণ:
- \(x < -2\): \(\frac{(-)}{(-)} = (+) > 0\) ✓
- \(-2 < x < 1\): \(\frac{(-)}{(+)} = (-) < 0\) ✗
- \(x > 1\): \(\frac{(+)}{(+)} = (+) > 0\) ✓
সমাধান: \(x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)\)
পরমমান বিশিষ্ট অসমতা
\(|x| < a \iff -a < x < a\) (যেখানে \(a > 0\))
\(|x| > a \iff x < -a\) অথবা \(x > a\) (যেখানে \(a > 0\))
\(|x - a| < r \iff a - r < x < a + r\) (মধ্যবর্তী ব্যবধি)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- বাস্তব সংখ্যা: সকল যৌক্তিক ও অযৌক্তিক সংখ্যার সমষ্টি; ক্ষেত্র স্বীকার্য (যোগ, গুণ, বণ্টন), ক্রম স্বীকার্য এবং পূর্ণতা স্বীকার্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
- উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমা: সেটের সব উপাদানের চেয়ে বড়/ছোট সংখ্যা; ন্যুনতম উর্ধ্বসীমাকে সুপ্রিমাম (\(\sup\)), সর্বাধিক নিম্নসীমাকে ইনফিমাম (\(\inf\)) বলে।
- অসমতার বৈশিষ্ট্য: উভয় পক্ষে সমান সংখ্যা যোগ/বিয়োগ করা যায়; ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ করলে চিহ্ন অপরিবর্তিত থাকে, ঋণাত্মক হলে পরিবর্তিত হয়।
- পরমমান: \(|x| = x\) যদি \(x \geq 0\), নতুবা \(-x\); ত্রিভুজ অসমতা \(|x+y| \leq |x| + |y|\) অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
- অসমতা সমাধান: দ্বিঘাত অসমতার জন্য উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও চিহ্ন বিশ্লেষণ; ভগ্নাংশ অসমতার জন্য লব ও হরের শূন্যস্থান একসাথে বিবেচনা; পরমমান অসমতা \(|x| < a \iff -a < x < a\) রূপে রূপান্তর।