১০.১ দ্বিপদী \((1+y)^n\) এর বিস্তৃতি (Binomial Expansion)
দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion) হলো একটি বীজগাণিতিক পদ্ধতি যা দুটি চলক বিশিষ্ট বহুপদীকে ঘাতের রূপে প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হয়। এই অধ্যায়ে আমরা বিশেষভাবে \((1+y)^n\) আকারের বিস্তৃতি, পাস্কেলের ত্রিভুজ, সংযোজন সূত্র, সাধারণ পদ এবং ঋণাত্মক ও ভগ্নাংশ সূচকের ক্ষেত্রে অসীম ধারা আকারের বিস্তৃতি আলোচনা করব।
সংজ্ঞা ও পাস্কেলের ত্রিভুজ (Pascal's Triangle)
দ্বিপদী বিস্তৃতি কী?
যেকোনো দুই পদের বীজগাণিতিক রাশির ঘাত বা সূচক রূপকে বৃহৎ বন্ধনীর অপসারণের মাধ্যমে প্রকাশ করাকে দ্বিপদী বিস্তৃতি বলে। সাধারণত \((a+b)^n\) আকারের রাশিকে দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে সরল করা হয়।
পাস্কেলের ত্রিভুজ
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচকের ক্ষেত্রে দ্বিপদী বিস্তৃতির সহগগুলো একটি সুন্দর প্যাটার্ন তৈরি করে যাকে পাস্কেলের ত্রিভুজ বলে:
1 (1+y)^0 = 1
1 1 (1+y)^1 = 1 + y
1 2 1 (1+y)^2 = 1 + 2y + y^2
1 3 3 1 (1+y)^3 = 1 + 3y + 3y^2 + y^3
1 4 6 4 1 (1+y)^4 = 1 + 4y + 6y^2 + 4y^3 + y^4
...
নিয়ম: প্রতিটি সারিতে প্রান্তবর্তী সংখ্যাগুলো ১ এবং মধ্যবর্তী সংখ্যাগুলো উপরের সারির পাশাপাশি দুই সংখ্যার যোগফল।
সংযোজন বা কম্বিনেশন (\({}^{n}C_r\))
বড় সূচকের ক্ষেত্রে পাস্কেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করা কঠিন। তখন সংযোজন (\({}^{n}C_r\)) নোটেশন ব্যবহার করা হয়।
সংজ্ঞা:
\(n\) সংখ্যক ভিন্ন জিনিস থেকে \(r\) সংখ্যক জিনিস বাছাই করার সংখ্যাকে \({}^{n}C_r\) বা \(\binom{n}{r}\) দ্বারা সূচিত করা হয় এবং এর মান: \[{}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\] যেখানে \(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1\) এবং \(0! = 1\)।
বৈশিষ্ট্যসমূহ
- \({}^{n}C_0 = 1\) এবং \({}^{n}C_n = 1\)
- \({}^{n}C_1 = n\) এবং \({}^{n}C_{n-1} = n\)
- সমমিতি: \({}^{n}C_r = {}^{n}C_{n-r}\)
- \({}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r\) (পাস্কেলের সূত্র)
\({}^{5}C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
\({}^{6}C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\)
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচকের বিস্তৃতি
যখন \(n\) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (বা শূন্য), তখন \((1+y)^n\) এর বিস্তৃতি:
মূল সূত্র:
\[(1+y)^n = {}^{n}C_0 + {}^{n}C_1 y + {}^{n}C_2 y^2 + {}^{n}C_3 y^3 + \dots + {}^{n}C_n y^n\]
অথবা সম্প্রসারিতভাবে: \[(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^3 + \dots + y^n\]
বৈশিষ্ট্যসমূহ
- পদ সংখ্যা: মোট \((n+1)\)টি পদ থাকে (সীমিত ধারা)।
- প্রথম পদ: সর্বদা \(1\) (যেকোনো \(n\) এর জন্য)।
- \(y\) এর ঘাত: প্রতিটি পরবর্তী পদে \(y\) এর ঘাত \(1\) করে বৃদ্ধি পায়, শেষ পদে \(y^n\)।
- সহগের সমষ্টি: \(y=1\) বসালে সব সহগের যোগফল পাওয়া যায়: \[{}^{n}C_0 + {}^{n}C_1 + \dots + {}^{n}C_n = 2^n\]
- জোড় ও বিজোড় সহগের সমষ্টি: সমান \(2^{n-1}\) করে।
সাধারণ পদ (General Term)
\((r+1)\)-তম পদ (কারণ \(r\) শূন্য থেকে শুরু): \[T_{r+1} = {}^{n}C_r y^r = \frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r!} y^r\]
মধ্যপদ নির্ণয় (Middle Term)
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচকের ক্ষেত্রে মোট \((n+1)\)টি পদ থাকে। মধ্যপদের অবস্থান \(n\) এর জোড়-বিজোড় উপর নির্ভরশীল।
ক্ষেত্র ১: \(n\) জোড় (Even)
যদি \(n\) জোড় হয়, তবে মোট পদ সংখ্যা \(n+1\) = বিজোড়। সুতরাং একটি মাত্র মধ্যপদ থাকে।
মধ্যপদের অবস্থান: \(\left(\frac{n}{2} + 1\right)\)-তম পদ
মধ্যপদের মান: \(T_{\frac{n}{2}+1} = {}^{n}C_{n/2} y^{n/2}\)
ক্ষেত্র ২: \(n\) বিজোড় (Odd)
যদি \(n\) বিজোড় হয়, তবে মোট পদ সংখ্যা \(n+1\) = জোড়। সুতরাং দুটি সমান মধ্যপদ থাকে।
মধ্যপদদ্বয়ের অবস্থান: \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\)-তম এবং \(\left(\frac{n+3}{2}\right)\)-তম পদ
মধ্যপদদ্বয়ের মান: সমান এবং \( = {}^{n}C_{(n-1)/2} y^{(n-1)/2} = {}^{n}C_{(n+1)/2} y^{(n+1)/2}\) (সমমিতি অনুযায়ী)
উদাহরণ:
\((1+x)^8\) বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় কর।
সমাধান: এখানে \(n=8\) (জোড়)। মধ্যপদের অবস্থান \(\frac{8}{2}+1 = 5\)-তম পদ।
মধ্যপদ \(= {}^{8}C_4 x^4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} x^4 = 70x^4\)
ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ সূচকের বিস্তৃতি
যখন \(n\) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা যেকোনো ভগ্নাংশ (মূলদ বা অমূলদ), তখন বিস্তৃতিটি একটি অসীম ধারা (Infinite Series) হয়।
সূত্র (General Binomial Theorem):
\[(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^3 + \dots \text{ (অনন্ত পর্যন্ত)}\]
শর্ত: এই বিস্তৃতিটি অভিসারী (Convergent) হয়, অর্থাৎ সীমাবদ্ধ মান দেয়, শুধুমাত্র যখন \(|y| < 1\) (অর্থাৎ \(-1 < y < 1\))।
সাধারণ পদ
\((r+1)\)-তম পদ: \[T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!} y^r\]
বিশেষ ক্ষেত্রসমূহ (\(|y|<1\))
- \((1+y)^{-1} = 1 - y + y^2 - y^3 + y^4 - \dots\)
- \((1+y)^{-2} = 1 - 2y + 3y^2 - 4y^3 + \dots\)
- \((1-y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + \dots\) (জ্যামিতিক ধারা)
- \((1-y)^{-2} = 1 + 2y + 3y^2 + 4y^3 + \dots\)
- \((1+y)^{1/2} = \sqrt{1+y} = 1 + \frac{1}{2}y - \frac{1}{8}y^2 + \frac{1}{16}y^3 - \dots\)
প্রয়োগ ও সংখ্যাগত মান নির্ণয়
নিকটবর্তী মান নির্ণয় (Approximation)
\((1.02)^{10}\) এর আসন্ন মান নির্ণয় কর (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)।
সমাধান:
\((1.02)^{10} = (1 + 0.02)^{10}\)
বিস্তৃতি: \[= 1 + 10(0.02) + \frac{10 \times 9}{2}(0.02)^2 + \frac{10 \times 9 \times 8}{6}(0.02)^3 + \dots\] \[ = 1 + 0.2 + 45(0.0004) + 120(0.000008) + \dots \] \[ = 1 + 0.2 + 0.018 + 0.00096 + \dots \approx 1.22 \] (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
বিভাজ্যতা প্রমাণ
দ্বিপদী বিস্তৃতি ব্যবহার করে \(a^n - b^n\) বা \(a^n + b^n\) এর বিভাজ্যতা প্রমাণ করা যায়।
দেখাও যে \(6^n - 5n - 1\) সংখ্যাটি \(25\) দ্বারা বিভাজ্য (যখন \(n\) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা)।
সমাধান:
\(6^n - 5n - 1 = (1+5)^n - 5n - 1\)
\(= [1 + {}^{n}C_1 5 + {}^{n}C_2 5^2 + {}^{n}C_3 5^3 + \dots] - 5n - 1\)
\(= 1 + 5n + {}^{n}C_2 25 + {}^{n}C_3 125 + \dots - 5n - 1\)
\(= 25\left[{}^{n}C_2 + {}^{n}C_3 5 + \dots\right]\)
সুতরাং \(25\) দ্বারা বিভাজ্য।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
-
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচক:
- \((1+y)^n = \sum_{r=0}^{n} {}^{n}C_r y^r\) (সীমিত ধারা, \(n+1\) পদ)
- সাধারণ পদ: \(T_{r+1} = {}^{n}C_r y^r\)
- মধ্যপদ: \(n\) জোড় হলে ১টি (\(\frac{n}{2}+1\) তম), \(n\) বিজোড় হলে ২টি
- সহগের সমষ্টি \(= 2^n\)
-
ঋণাত্মক/ভগ্নাংশ সূচক:
- \((1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \dots\) (অসীম ধারা)
- শর্ত: \(|y| < 1\) (অভিসারিতার জন্য)
- সাধারণ পদ: \(T_{r+1} = \frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r!} y^r\)
-
বিশেষ সূত্র:
- \((1+y)^{-1} = 1 - y + y^2 - y^3 + \dots\)
- \((1-y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + \dots\)