উদাহরণ ১ (সমান ভিত্তি):

সমাধান করুন:

\( 2^{x+y} = 16 \quad \dots (১) \)

\( 2^{x-y} = 2 \quad \dots (২) \)

সমাধান:

উভয় সমীকরণকে ২ এর ঘাতে রূপান্তর:

\( 2^{x+y} = 2^4 \) সুতরাং \( x+y = 4 \quad \dots (৩) \)

\( 2^{x-y} = 2^1 \) সুতরাং \( x-y = 1 \quad \dots (৪) \)

এখন (৩) ও (৪) যোগ করলে:

\( 2x = 5 \) বা \( x = \frac{5}{2} \)

(৩) হতে: \( y = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} \)

সমাধান: \( x = \frac{5}{2}, y = \frac{3}{2} \)

উদাহরণ ২ (ভাগ করে):

সমাধান করুন:

\( 3^{2x} \cdot 2^y = 108 \quad \dots (১) \)

\( 3^x \cdot 2^{2y} = 72 \quad \dots (২) \)

সমাধান:

(১) কে (২) দ্বারা ভাগ করি:

\( \frac{3^{2x} \cdot 2^y}{3^x \cdot 2^{2y}} = \frac{108}{72} \)

বা, \( 3^{2x-x} \cdot 2^{y-2y} = \frac{3}{2} \)

বা, \( 3^x \cdot 2^{-y} = \frac{3}{2} \)

বা, \( \frac{3^x}{2^y} = \frac{3}{2} \)

বা, \( \frac{3^x}{3} = \frac{2^y}{2} \)

বা, \( 3^{x-1} = 2^{y-1} \)

এখানে ভিত্তি ভিন্ন, তাই উভয় পক্ষের লগ নিলে:

\( (x-1)\log 3 = (y-1)\log 2 \)

বা, \( \frac{x-1}{y-1} = \frac{\log 2}{\log 3} \) — এটি রৈখিক সমীকরণ।

বিকল্পভাবে, (১) ও (২) থেকে সরাসরি মান বসিয়ে পরীক্ষা করা যেতে পারে।

উদাহরণ:

সমাধান করুন:

\( 2^x + 3^y = 11 \quad \dots (১) \)

\( 2^x - 3^y = -1 \quad \dots (২) \)

সমাধান:

ধরি, \( a = 2^x \) এবং \( b = 3^y \) (যেখানে \( a > 0, b > 0 \))

সমীকরণগুলো দাঁড়ায়:

\( a + b = 11 \)

\( a - b = -1 \)

যোগ করলে: \( 2a = 10 \) বা \( a = 5 \)

বিয়োগ করলে: \( 2b = 12 \) বা \( b = 6 \)

সুতরাং:

\( 2^x = 5 \) বা \( x = \log_2 5 = \frac{\log 5}{\log 2} \)

\( 3^y = 6 \) বা \( y = \log_3 6 = \frac{\log 6}{\log 3} \)

সমাধান: \( x = \frac{\log 5}{\log 2}, y = \frac{\log 6}{\log 3} \)

উদাহরণ ২ (গুণজাত):

সমাধান করুন:

\( 2^x \cdot 3^y = 36 \quad \dots (১) \)

\( 2^{x+1} \cdot 3^{y+1} = 216 \quad \dots (২) \)

সমাধান:

(২) কে লিখতে পারি: \( 2^x \cdot 2 \cdot 3^y \cdot 3 = 216 \)

বা, \( 6 \cdot 2^x \cdot 3^y = 216 \)

বা, \( 2^x \cdot 3^y = 36 \) — যা (১) এর সমান।

এটি অসীম সমাধান আছে বোঝায়, তবে যদি দ্বিতীয় সমীকরণ ভিন্ন হতো:

ধরি (২) হলো: \( 3^x \cdot 2^y = 72 \)

তাহলে লগ নিয়ে সমাধান করা যেত।

উদাহরণ:

সমাধান করুন:

\( 2^x = 3^y \quad \dots (১) \)

\( 4^x = 9 \cdot 3^y \quad \dots (২) \)

সমাধান:

(১) থেকে: \( x\log 2 = y\log 3 \)

বা, \( \frac{x}{y} = \frac{\log 3}{\log 2} = \log_2 3 \)

(২) কে লিখুন: \( (2^2)^x = 3^2 \cdot 3^y \)

বা, \( 2^{2x} = 3^{y+2} \)

লগ নিলে: \( 2x\log 2 = (y+2)\log 3 \)

বা, \( 2x\log 2 = y\log 3 + 2\log 3 \)

(১) থেকে \( y\log 3 = x\log 2 \) বসিয়ে:

\( 2x\log 2 = x\log 2 + 2\log 3 \)

বা, \( x\log 2 = 2\log 3 = \log 9 \)

বা, \( x = \frac{\log 9}{\log 2} = \log_2 9 = 2\log_2 3 \)

এবং \( y = \frac{x\log 2}{\log 3} = \frac{2\log 3}{\log 3} = 2 \)

সমাধান: \( x = \log_2 9, y = 2 \)

উদাহরণ:

সমাধান করুন:

\( 3^x = 5^y \quad \dots (১) \)

\( 9^x = 25^y \quad \dots (২) \)

সমাধান:

লক্ষ্য করুন (২) হলো \( (3^2)^x = (5^2)^y \) বা \( 3^{2x} = 5^{2y} \)

এটি (১) এর বর্গ, সুতরাং দুটি সমীকরণ নির্ভরশীল (dependent)।

একটি মাত্র স্বতন্ত্র সমীকরণ থাকায় অসীম সমাধান।

বিকল্প যদি (২) হতো: \( 9^x = 125^y \) বা \( 3^{2x} = 5^{3y} \)

তাহলে (১) থেকে: \( x\log 3 = y\log 5 \) বা \( x = y\frac{\log 5}{\log 3} \)

(২) থেকে: \( 2x\log 3 = 3y\log 5 \)

বা, \( 2y\frac{\log 5}{\log 3} \cdot \log 3 = 3y\log 5 \)

বা, \( 2y\log 5 = 3y\log 5 \)

বা, \( y\log 5 = 0 \) বা \( y = 0 \), সুতরাং \( x = 0 \)

সমাধান: \( x = 0, y = 0 \)

সমাধান করুন:

\( 2^x = 3^y \) এবং \( 4^x = 9^y \)

দ্বিতীয়টি প্রথমটির বর্গ, সুতরাং একটি মাত্র স্বতন্ত্র সমীকরণ।

সমাধান: \( x = y = 0 \) অথবা \( x = y\log_2 3 \) (অসীম সমাধান)

সমাধান করুন:

\( 2^{x} + 2^{y} = 10 \)

\( 2^{x} \cdot 2^{y} = 16 \) বা \( 2^{x+y} = 16 = 2^4 \), সুতরাং \( x+y = 4 \)

ধরি \( a = 2^x, b = 2^y \):

\( a + b = 10, ab = 16 \)

সুতরাং \( a, b \) হলো \( t^2 - 10t + 16 = 0 \) এর মূল।

বা, \( (t-2)(t-8) = 0 \)

সুতরাং \( (a,b) = (2,8) \) বা \( (8,2) \)

যখন \( 2^x = 2, 2^y = 8 \): \( x = 1, y = 3 \)

যখন \( 2^x = 8, 2^y = 2 \): \( x = 3, y = 1 \)

সমাধান: \( (1,3) \) এবং \( (3,1) \)