৮.৩ বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (Trigonometric Ratios of Compound, Multiple and Sub-multiple Angles)

এই অধ্যায়ে আমরা দুই বা ততোধিক কোণের যোগফল (A ± B), গুণিতক কোণ (2A, 3A) এবং অর্ধকোণ (A/2) সম্পর্কিত ত্রিকোণমিতিক সূত্রাবলী আলোচনা করব। এছাড়াও রূপান্তর সূত্র (Transformation Formulas) বা C-D সূত্রাবলী শিখব, যা গুণফলকে যোগফলে এবং যোগফলকে গুণফলে রূপান্তর করতে ব্যবহৃত হয়।

যোগফল ও বিয়োগফল কোণের সূত্র (Compound Angles)

যেকোনো দুটি কোণ \( A \) ও \( B \) এর জন্য নিম্নলিখিত সূত্রগুলো প্রযোজ্য:

১. সাইন ও কোসাইনের সূত্র

যোগফল কোণ:

$$ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $$

$$ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $$

বিয়োগফল কোণ:

$$ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $$

$$ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $$

২. ট্যানাজেন্টের সূত্র

$$ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $$

$$ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $$

বিশেষ ক্ষেত্র: যদি \( A = B \) হয়, তবে যোগফল সূত্র থেকে দ্বিগুণ কোণের সূত্র পাওয়া যায়।

উদাহরণ:

প্রমাণ করুন যে \( \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \)

সমাধান:

\( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) \)

\( = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \)

\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \)

\( = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \) [প্রমাণিত]

গুণিতক কোণের সূত্র (Multiple Angles)

১. দ্বিগুণ কোণের সূত্র (Double Angle Formulas)

যোগফল সূত্রে \( B = A \) বসিয়ে:

$$ \sin 2A = 2\sin A \cos A = \frac{2\tan A}{1 + \tan^2 A} $$

$$ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} $$

$$ \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $$

উপকারী সূত্র: দ্বিগুণ কোণের সূত্র থেকে পাই:
  • \( \sin^2 A = \frac{1 - \cos 2A}{2} \)
  • \( \cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2} \)

২. ত্রিগুণ কোণের সূত্র (Triple Angle Formulas)

$$ \sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A $$

$$ \cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A $$

$$ \tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A} $$

উদাহরণ:

যদি \( \sin A = \frac{3}{5} \) হয়, তবে \( \sin 2A \) ও \( \cos 2A \) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

\( \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5} \)

\( \sin 2A = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \)

\( \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} \)

অর্ধকোণের সূত্র (Sub-multiple Angles / Half Angle Formulas)

দ্বিগুণ কোণের সূত্রে \( A \) এর পরিবর্তে \( \frac{A}{2} \) বসিয়ে:

$$ \sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} $$

$$ \cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $$

$$ \tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{1 - \cos A}{\sin A} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} $$

চিহ্ন নির্ধারণ: \( \frac{A}{2} \) যে চতুর্ভাগে অবস্থিত তার উপর নির্ভর করে চিহ্ন (+ বা -) নির্ধারণ করতে হবে।

ট্যানাজেন্টের বিকল্প সূত্র

\( \tan \frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{\sin A} \) এই সূত্রটি বিশেষভাবে উপকারী কারণ এতে বর্গমূল নেই।

রূপান্তর সূত্র (Transformation Formulas / C-D Formulas)

এই সূত্রগুলো ত্রিকোণমিতিক যোগফলকে গুণফলে এবং গুণফলকে যোগফলে রূপান্তর করতে ব্যবহৃত হয়।

১. যোগফল থেকে গুণফল (Sum to Product)

$$ \sin C + \sin D = 2\sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2} $$

$$ \sin C - \sin D = 2\cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2} $$

$$ \cos C + \cos D = 2\cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2} $$

$$ \cos C - \cos D = -2\sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2} $$

২. গুণফল থেকে যোগফল (Product to Sum)

$$ 2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) $$

$$ 2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B) $$

$$ 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) $$

$$ 2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) $$

উদাহরণ:

প্রমাণ করুন: \( \frac{\sin 5A + \sin 3A}{\cos 5A + \cos 3A} = \tan 4A \)

সমাধান:

বামপক্ষ \( = \frac{2\sin \frac{5A+3A}{2} \cos \frac{5A-3A}{2}}{2\cos \frac{5A+3A}{2} \cos \frac{5A-3A}{2}} \)

\( = \frac{2\sin 4A \cos A}{2\cos 4A \cos A} \)

\( = \frac{\sin 4A}{\cos 4A} = \tan 4A = \) ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

শর্তাধীন সমীকরণ (Conditional Identities)

যদি \( A + B + C = \pi \) (বা \( 180^\circ \)) হয় (যেমন ত্রিভুজের তিনটি কোণ), তবে নিম্নলিখিত সূত্রগুলো প্রযোজ্য:

  1. \( \sin(A+B) = \sin C \)
  2. \( \cos(A+B) = -\cos C \)
  3. \( \tan(A+B) = -\tan C \)
  4. \( \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C \)
  5. \( \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \)

উদাহরণ:

প্রমাণ করুন যে যদি \( A + B + C = \pi \) হয়, তবে \( \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \)

সমাধান:

\( A + B = \pi - C \)

উভয় পক্ষে ট্যানাজেন্ট নিলে:

\( \tan(A+B) = \tan(\pi - C) = -\tan C \)

\( \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C \)

\( \tan A + \tan B = -\tan C + \tan A \tan B \tan C \)

\( \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \) [প্রমাণিত]

সংক্ষিপ্ত সারাংশ

  • যোগফল সূত্র:
    • \( \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \)
    • \( \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \)
    • \( \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \)
  • দ্বিগুণ কোণ:
    • \( \sin 2A = 2\sin A \cos A \)
    • \( \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A \)
    • \( \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} \)
  • ত্রিগুণ কোণ:
    • \( \sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A \)
    • \( \cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A \)
  • অর্ধকোণ:
    • \( \sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \)
    • \( \cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \)
  • C-D সূত্র (যোগফল থেকে গুণফল):
    • \( \sin C + \sin D = 2\sin\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2} \)
    • \( \cos C + \cos D = 2\cos\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2} \)
  • শর্তাধীন (\( A+B+C=\pi \)): \( \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \)
Link-previous SVG Icon পূর্ববর্তী পাঠ
সূত্র অনুশীলনী