১১.২ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (Area of Triangles)
স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানা থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র প্রয়োগ করা হয়। এই অধ্যায়ে আমরা ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের মৌলিক সূত্র, নির্ণায়ক পদ্ধতি, সরলরেখিক বিন্দুর শর্ত এবং বিভিন্ন বিশেষ ক্ষেত্র আলোচনা করব।
মৌলিক সূত্র (Basic Formula)
সূত্র ১: সরলরৈখিক সূত্র
ধরি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) এবং \( C(x_3, y_3) \)। তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: \[ \Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \]
অথবা বিস্তারিতভাবে: \[ \Delta = \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_1y_3 + x_2y_3 - x_2y_1 + x_3y_1 - x_3y_2| \]
সূত্র ২: নির্ণায়ক পদ্ধতি (Determinant Method)
একই বিন্দুগুলোর জন্য ক্ষেত্রফল নির্ণায়ক আকারে: \[ \Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right| \]
নির্ণায়ক বিস্তার করে: \[ \Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + 1(x_2y_3 - x_3y_2)| \]
- সর্বদা চিহ্ন বিবেচনা না করে (absolute value) ধনাত্মক মান নিতে হবে, কারণ ক্ষেত্রফল কখনোই ঋণাত্মক হতে পারে না।
- বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীত দিকে নেওয়া হলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তিত হতে পারে, তাই \( \frac{1}{2} \) এর পরে সর্বদা \( | \quad | \) (modulus) চিহ্ন ব্যবহার করতে হবে।
সরলরেখিক শর্ত (Condition of Collinearity)
সংজ্ঞা:
তিনটি বিন্দু সরলরেখিক (Collinear) হবে যদি তারা একই সরলরেখায় অবস্থিত করে। এই ক্ষেত্রে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হয়।
শর্ত:
বিন্দু \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) সরলরেখিক হবে যদি: \[ x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = 0 \]
অথবা নির্ণায়ক আকারে: \[ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \]
উদাহরণ:
দেখাও যে বিন্দু \( (1, 4) \), \( (2, 5) \) এবং \( (4, 7) \) সরলরেখিক।
সমাধান:
ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} |1(5-7) + 2(7-4) + 4(4-5)| \)
\( = \frac{1}{2} |1(-2) + 2(3) + 4(-1)| \)
\( = \frac{1}{2} |-2 + 6 - 4| \)
\( = \frac{1}{2} |0| = 0 \)
ক্ষেত্রফল শূন্য হওয়ায় বিন্দুগুলো সরলরেখিক।
বিশেষ ক্ষেত্রসমূহ
১. একটি বিন্দু উৎপত্তিতে
যদি \( A(0, 0) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) হয়, তবে: \[ \Delta = \frac{1}{2} |0(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - 0) + x_3(0 - y_2)| \] \[ = \frac{1}{2} |x_2y_3 - x_3y_2| \]
২. একটি বাহু অক্ষের উপর
যদি \( A(x_1, 0) \), \( B(x_2, 0) \), \( C(x_3, y_3) \) হয় (দুই বিন্দু \( x \)-অক্ষে), তবে: \[ \Delta = \frac{1}{2} |(x_1 - x_2) \cdot y_3| \]
এখানে ভূমি \( = |x_1 - x_2| \) এবং উচ্চতা \( = |y_3| \)।
৩. সমকোণী ত্রিভুজ
যদি কোনো দুই বাহু অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে সেই দুই বাহুর দৈর্ঘ্য গুণ করে \( \frac{1}{2} \) করলে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।
সমাধিত উদাহরণ
উদাহরণ ১:
\( (2, 3) \), \( (4, 5) \) এবং \( (6, 7) \) বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি \( (x_1, y_1) = (2, 3) \), \( (x_2, y_2) = (4, 5) \), \( (x_3, y_3) = (6, 7) \)
\[ \Delta = \frac{1}{2} |2(5-7) + 4(7-3) + 6(3-5)| \]
\[ = \frac{1}{2} |2(-2) + 4(4) + 6(-2)| \]
\[ = \frac{1}{2} |-4 + 16 - 12| \]
\[ = \frac{1}{2} |0| = 0 \]
ক্ষেত্রফল \( 0 \) বর্গ একক (বিন্দুগুলো সরলরেখিক)।
উদাহরণ ২:
\( (1, 2) \), \( (3, 6) \) এবং \( (5, 4) \) বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ \Delta = \frac{1}{2} |1(6-4) + 3(4-2) + 5(2-6)| \]
\[ = \frac{1}{2} |1(2) + 3(2) + 5(-4)| \]
\[ = \frac{1}{2} |2 + 6 - 20| \]
\[ = \frac{1}{2} |-12| = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \]
ক্ষেত্রফল \( = 6 \) বর্গ একক।
উদাহরণ ৩:
ক বিন্দু \( (2, k) \), \( (4, 3) \) এবং \( (6, 5) \) সরলরেখিক হলে \( k \) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
সরলরেখিক হলে ক্ষেত্রফল \( = 0 \)
\[ \frac{1}{2} |2(3-5) + 4(5-k) + 6(k-3)| = 0 \]
\[ 2(-2) + 4(5-k) + 6(k-3) = 0 \]
\[ -4 + 20 - 4k + 6k - 18 = 0 \]
\[ (-4 + 20 - 18) + (-4k + 6k) = 0 \]
\[ -2 + 2k = 0 \]
\[ 2k = 2 \]
\[ k = 1 \]
সুতরাং \( k = 1 \)
চতুর্ভাজকের ক্ষেত্রফল (Extension)
চারটি বিন্দু \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), \( D(x_4, y_4) \) দ্বারা গঠিত চতুর্ভাজকের ক্ষেত্রফল:
ত্রিভুজ \( ABC \) এবং \( ACD \) (বা \( ABD \) এবং \( BCD \)) এর ক্ষেত্রফলের যোগফল: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 - x_2y_1) + (x_2y_3 - x_3y_2) + (x_3y_4 - x_4y_3) + (x_4y_1 - x_1y_4)| \]
এটি ক্রস-গুণফল (Cross-multiplication) পদ্ধতি হিসেবেও পরিচিত।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- মৌলিক সূত্র: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \[ \Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \]
- নির্ণায়ক সূত্র: \[ \Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right| \]
- সরলরেখিক শর্ত: তিন বিন্দু সরলরেখিক হবে যদি উপরের সূত্রের মান শূন্য হয়।
- বিশেষ ক্ষেত্র: একটি বিন্দু উৎপত্তি \( (0,0) \) হলে ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2}|x_2y_3 - x_3y_2| \)
- সতর্কতা: সর্বদা চিহ্ন বিবেচনা না করে (absolute value) ধনাত্মক মান নিতে হবে।
- একক: ক্ষেত্রফলের একক বর্গ একক (square units)।