১১.৩ সরলরেখার ঢাল (Gradient or Slope of a Straight Line)
ঢাল (Slope বা Gradient) হলো সরলরেখার কাত বা তির্যকতার পরিমাপ। এটি রেখাটি \( x \)-অক্ষের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে তার উপর নির্ভরশীল। এই অধ্যায়ে আমরা ঢাল নির্ণয়ের সূত্রাবলী, ঢাল ও কোণের সম্পর্ক এবং বিশেষ শর্তাবলী (সমান্তরাল ও লম্বতা) আলোচনা করব।
ঢালের সংজ্ঞা (Definition of Slope)
সংজ্ঞা:
কোনো সরলরেখার উপর অবস্থিত দুটি ভিন্ন বিন্দুর মধ্যে কোটির পার্থক্য ও ভুজের পার্থক্যের অনুপাতকে ঐ রেখার ঢাল বলে।
যদি রেখাটি \( x \)-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে (অ্যান্টিক্লকওয়াইজ) \( \theta \) কোণ উৎপন্ন করে, তবে: \[ m = \tan \theta \]
যেখানে \( m \) হলো ঢাল (slope) এবং \( \theta \) হলো রেখাটির নতি কোণ (Angle of inclination)।
বৈশিষ্ট্যসমূহ
- ঢাল সাধারণত \( m \) দ্বারা সূচিত করা হয়।
- নতি কোণ \( \theta \) সর্বদা ধনাত্মক এবং \( 0^\circ \leq \theta < 180^\circ \) (বা \( 0 \leq \theta < \pi \) রেডিয়ান)।
- যদি রেখাটি \( x \)-অক্ষের সাথে সমান্তরাল (অনুভূমিক) হয়, তবে \( \theta = 0^\circ \) এবং \( m = \tan 0^\circ = 0 \)।
- যদি রেখাটি \( x \)-অক্ষের সাথে লম্ব (উল্লম্ব) হয়, তবে \( \theta = 90^\circ \) এবং \( m = \tan 90^\circ = \infty \) (অসংজ্ঞায়িত)।
দুই বিন্দুর মধ্যে ঢাল নির্ণয়ের সূত্র (Slope Formula)
সূত্র:
দুটি বিন্দু \( P(x_1, y_1) \) এবং \( Q(x_2, y_2) \) এর মধ্যে সংযোগকারী রেখাংশের ঢাল: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
অথবা: \[ m = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \]
যেখানে \( x_1 \neq x_2 \) (অর্থাৎ রেখাটি উল্লম্ব নয়)।
- যদি \( x_1 = x_2 \) হয়, তবে ভাগ করা যাবে না (শূন্য দ্বারা ভাগ)। এ ক্ষেত্রে রেখাটি উল্লম্ব (vertical) এবং এর ঢাল অসংজ্ঞায়িত।
- যদি \( y_1 = y_2 \) হয়, তবে ঢাল \( = 0 \) এবং রেখাটি অনুভূমিক (horizontal)।
উদাহরণ ১:
\( (2, 3) \) এবং \( (5, 7) \) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে সংযোগকারী রেখার ঢাল নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি \( (x_1, y_1) = (2, 3) \) এবং \( (x_2, y_2) = (5, 7) \)
\[ m = \frac{7 - 3}{5 - 2} = \frac{4}{3} \]
ঢাল \( = \frac{4}{3} \)
উদাহরণ ২:
\( (-1, 4) \) এবং \( (3, -2) \) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে সংযোগকারী রেখার ঢাল নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ m = \frac{-2 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \]
ঢাল \( = -\frac{3}{2} \)
ঢাল ও কোণের সম্পর্ক (Relation between Slope and Angle)
যদি কোনো সরলরেখার ঢাল \( m \) এবং নতি কোণ \( \theta \) হয়, তবে: \[ m = \tan \theta \]
বিপরীতভাবে: \[ \theta = \tan^{-1} m \]
বিশেষ ক্ষেত্রসমূহ
| নতি কোণ \( \theta \) | ঢাল \( m = \tan \theta \) | রেখার অবস্থান |
|---|---|---|
| \( 0^\circ \) | \( 0 \) | \( x \)-অক্ষের সমান্তরাল (অনুভূমিক) |
| \( 45^\circ \) | \( 1 \) | \( y = x \) রেখার সমান্তরাল |
| \( 90^\circ \) | অসংজ্ঞায়িত (\( \infty \)) | \( x \)-অক্ষের লম্ব (উল্লম্ব) |
| \( 135^\circ \) | \( -1 \) | \( y = -x \) রেখার সমান্তরাল |
| সূক্ষ্ম কোণ (\( 0 < \theta < 90^\circ \)) | ধনাত্মক (\( m > 0 \)) | বাম থেকে ডানে উপরের দিকে উঠেছে |
| স্থূল কোণ (\( 90^\circ < \theta < 180^\circ \)) | ঋণাত্মক (\( m < 0 \)) | বাম থেকে ডানে নিচের দিকে নেমেছে |
সমান্তরাল ও লম্ব রেখার শর্ত (Conditions for Parallel and Perpendicular Lines)
১. সমান্তরাল রেখার শর্ত (Parallel Lines)
দুটি সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি তাদের ঢাল সমান হয়।
যদি দুই রেখার ঢাল যথাক্রমে \( m_1 \) এবং \( m_2 \) হয়, তবে: \[ m_1 = m_2 \]
অর্থাৎ: \[ \tan \theta_1 = \tan \theta_2 \]
দেখাও যে \( (1, 2), (3, 6) \) এবং \( (0, 1), (2, 5) \) দ্বারা গঠিত দুই রেখা সমান্তরাল।
সমাধান:
প্রথম রেখার ঢাল: \( m_1 = \frac{6-2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2 \)
দ্বিতীয় রেখার ঢাল: \( m_2 = \frac{5-1}{2-0} = \frac{4}{2} = 2 \)
যেহেতু \( m_1 = m_2 = 2 \), সুতরাং রেখাদ্বয় সমান্তরাল।
২. লম্ব রেখার শর্ত (Perpendicular Lines)
দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের ঢালের গুণফল \( -1 \) হয়।
যদি দুই রেখার ঢাল যথাক্রমে \( m_1 \) এবং \( m_2 \) হয়, তবে: \[ m_1 \cdot m_2 = -1 \]
অথবা: \[ m_2 = -\frac{1}{m_1} \]
অর্থাৎ একটির ঢাল অপরটির ঢালের ঋণাত্মক বিপরীত (Negative Reciprocal)।
দেখাও যে \( (1, 1), (4, 5) \) এবং \( (2, 8), (6, 5) \) দ্বারা গঠিত দুই রেখা পরস্পর লম্ব।
সমাধান:
প্রথম রেখার ঢাল: \( m_1 = \frac{5-1}{4-1} = \frac{4}{3} \)
দ্বিতীয় রেখার ঢাল: \( m_2 = \frac{5-8}{6-2} = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4} \)
\( m_1 \cdot m_2 = \frac{4}{3} \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -1 \)
সুতরাং রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।
ঢালের সাহায্যে সরলরেখিকতা পরীক্ষা (Collinearity Test)
তিনটি বিন্দু \( A, B, C \) সরলরেখিক হবে যদি \( AB \) এবং \( BC \) (বা \( AB \) এবং \( AC \)) রেখার ঢাল সমান হয়।
অর্থাৎ: \[ m_{AB} = m_{BC} = m_{AC} \]
দেখাও যে \( (1, 2), (3, 6) \) এবং \( (5, 10) \) বিন্দুগুলো সরলরেখিক।
সমাধান:
\( m_{AB} = \frac{6-2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( m_{BC} = \frac{10-6}{5-3} = \frac{4}{2} = 2 \)
যেহেতু \( m_{AB} = m_{BC} \), সুতরাং বিন্দুগুলো সরলরেখিক।
দুই রেখার অন্তর্ভুক্ত কোণ (Angle between Two Lines)
দুই রেখার ঢাল যথাক্রমে \( m_1 \) এবং \( m_2 \) হলে তাদের মধ্যকার সূক্ষ্ম কোণ \( \theta \) নির্ণয়ের সূত্র: \[ \tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| \]
বিশেষ ক্ষেত্র:
- যদি \( 1 + m_1 m_2 = 0 \), তবে \( \tan \theta = \infty \), অর্থাৎ \( \theta = 90^\circ \) (লম্ব)।
- যদি \( m_1 = m_2 \), তবে \( \tan \theta = 0 \), অর্থাৎ \( \theta = 0^\circ \) (সমান্তরাল)।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- সংজ্ঞা: ঢাল \( m = \tan \theta \), যেখানে \( \theta \) হলো \( x \)-অক্ষের সাথে নতি কোণ।
- সূত্র: দুই বিন্দু \( (x_1, y_1) \) এবং \( (x_2, y_2) \) এর মধ্যে ঢাল \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
-
বিশেষ ক্ষেত্র:
- অনুভূমিক রেখা: \( m = 0 \)
- উল্লম্ব রেখা: \( m = \infty \) (অসংজ্ঞায়িত)
- ধনাত্মক ঢাল: রেখা উপরের দিকে উঠেছে (সূক্ষ্ম কোণ)
- ঋণাত্মক ঢাল: রেখা নিচের দিকে নেমেছে (স্থূল কোণ)
- সমান্তরাল শর্ত: \( m_1 = m_2 \)
- লম্ব শর্ত: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) বা \( m_2 = -\frac{1}{m_1} \)
- সরলরেখিক শর্ত: \( m_{AB} = m_{BC} \)
- কোণের সূত্র: \( \tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| \)