৫.১ এক চলক বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation in One Variable)
দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation) হলো দ্বিতীয় ঘাতের বহুপদী দ্বারা গঠিত বীজগাণিতিক সমীকরণ। এই অধ্যায়ে আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের বিভিন্ন পদ্ধতি, মূলের প্রকৃতি নির্ণয় (বীজক্রিয়া) এবং মূল ও সহগের মধ্যকার সম্পর্ক সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব।
সংজ্ঞা ও প্রমাণ রূপ (Definition & Standard Form)
দ্বিঘাত সমীকরণ:
যে সমীকরণে অজ্ঞাত চলকের সর্বোচ্চ ঘাত দুই হয় এবং সমীকরণটি শুধুমাত্র একটি চলক ধারণ করে, তাকে এক চলক বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
এর প্রমাণ রূপ (Standard Form): $$ax^2 + bx + c = 0$$
যেখানে \( a, b, c \) বাস্তব সংখ্যা, \( a \neq 0 \) এবং \( x \) অজ্ঞাত চলক।
সহগসমূহের পরিচয়
- দ্বিঘাত সহগ (Quadratic Coefficient): \( a \) — \( x^2 \) এর সহগ। \( a \neq 0 \) হওয়া আবশ্যক, নতুবা সমীকরণ রৈখিক হয়ে যাবে।
- রৈখিক সহগ (Linear Coefficient): \( b \) — \( x \) এর সহগ।
- অবকল পদ (Constant Term): \( c \) — চলকবিহীন পদ।
উদাহরণ:
- \( 2x^2 - 3x + 5 = 0 \) — দ্বিঘাত সমীকরণ (\( a=2, b=-3, c=5 \))
- \( x^2 - 4 = 0 \) — অপূর্ণ দ্বিঘাত (Incomplete Quadratic) (\( b=0 \))
- \( 3x^2 + 7x = 0 \) — অপূর্ণ দ্বিঘাত (\( c=0 \))
- \( 5x^2 = 0 \) —纯 দ্বিঘাত (Pure Quadratic) (\( b=0, c=0 \))
মূল নির্ণয়ের পদ্ধতি (Methods of Solving)
দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান বা মূল (Roots) নির্ণয়ের তিনটি প্রধান পদ্ধতি রয়েছে:
১. উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি (Factorization Method)
যদি দ্বিঘাত ত্রিপদী \( ax^2 + bx + c \) কে দুটি রৈখিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়, তবে প্রত্যেক উৎপাদককে শূন্য রেখে মূল নির্ণয় করা যায়।
পদ্ধতি:
- সমীকরণের সকল পদকে বাম পাশে নিয়ে ডান পাশে শূন্য রাখুন।
- \( ac \) এর এমন দুটি গুণনীয়ক \( p \) ও \( q \) বের করুন যেন \( p \times q = ac \) এবং \( p + q = b \) হয়।
- মধ্যপদ \( bx \) কে \( px + qx \) এ রূপান্তর করুন।
- সমবায় পদ্ধতিতে (Grouping) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
- প্রতিটি উৎপাদককে শূন্য রেখে মূল নির্ণয় করুন।
উদাহরণ:
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \) সমাধান কর।
সমাধান:
এখানে \( a=1, b=-5, c=6 \)
\( ac = 6 \) এবং এমন দুটি সংখ্যা \( -2 \) ও \( -3 \) যাদের গুণফল \( 6 \) এবং যোগফল \( -5 \)।
\(\therefore x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x - 3x + 6 = x(x-2) - 3(x-2) = (x-2)(x-3) = 0 \)
সুতরাং, \( x - 2 = 0 \) বা \( x - 3 = 0 \)
মূলদ্বয়: \( x = 2 \) ও \( x = 3 \)
২. বর্গ পূর্ণকরণ পদ্ধতি (Method of Completing Square)
সমীকরণটিকে \( (x + m)^2 = n \) আকারে রূপান্তর করে মূল নির্ণয় করা হয়।
পদ্ধতি:
- দ্বিঘাত সহগকে 1 করতে হলে সমীকরণের সকল পদকে \( a \) দ্বারা ভাগ করুন।
- চলকবিহীন পদকে ডান পাশে নিয়ে যান।
- বাম পাশে \( x^2 + \frac{b}{a}x \) এর সাথে \( \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \) যোগ করুন এবং সামঞ্জস্য রক্ষার্থে ডান পাশেও একই যোগ করুন।
- বাম পাশকে পূর্ণবর্গ \( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \) আকারে প্রকাশ করুন।
- উভয় পক্ষের বর্গমূল নিয়ে মূল নির্ণয় করুন।
উদাহরণ:
\( x^2 + 6x - 7 = 0 \)
বা, \( x^2 + 6x = 7 \)
বা, \( x^2 + 6x + 9 = 7 + 9 \) [যোগ করা হলো \( \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9 \)]
বা, \( (x+3)^2 = 16 \)
বা, \( x + 3 = \pm 4 \)
\(\therefore x = -3 + 4 = 1 \) বা \( x = -3 - 4 = -7 \)
৩. সূত্র পদ্ধতি (Shridhar Acharya's Formula / Quadratic Formula)
বর্গ পূর্ণকরণ পদ্ধতি থেকে প্রাপ্ত সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল সরাসরি নির্ণয় করা যায়।
শ্রীধর আচার্যের সূত্র:
\( ax^2 + bx + c = 0 \) এর মূলদ্বয়: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
উদাহরণ:
\( 2x^2 - 4x - 3 = 0 \)
এখানে \( a=2, b=-4, c=-3 \)
\( x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} \)
\( = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2} \)
বীজক্রিয়া (Discriminant) ও মূলের প্রকৃতি
বীজক্রিয়ার সংজ্ঞা:
দ্বিঘাত সমীকরণ \( ax^2 + bx + c = 0 \) এর ক্ষেত্রে \( D = b^2 - 4ac \) কে বীজক্রিয়া (Discriminant) বলে। এটি মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ করে।
মূলের প্রকৃতি (Nature of Roots)
| শর্ত | মূলের প্রকৃতি | বৈশিষ্ট্য |
|---|---|---|
| \( D > 0 \) | বাস্তব ও ভিন্ন (Real & Unequal) | দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল |
| \( D = 0 \) | বাস্তব ও সমান (Real & Equal) | দুটি সমান মূল: \( x = -\frac{b}{2a} \) |
| \( D < 0 \) | কাল্পনিক (Imaginary/Complex) | বাস্তব মূল নেই, জটিল সংখ্যায় প্রকাশিত |
| \( D > 0 \) এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা |
মূলদ ও ভিন্ন (Rational & Unequal) | মূলদ সংখ্যায় প্রকাশিত (যদি \( a,b,c \) মূলদ হয়) |
- যদি \( D = 0 \) হয়, তবে সমীকরণটির দুটি সমান বা দ্বৈত মূল (Equal/Double root) আছে বলা হয়।
- যদি \( a, b, c \) মূলদ সংখ্যা এবং \( D \) একটি পূর্ণবর্গ না হয়, তবে মূলদ্বয় অমূলদ (Irrational) হয়।
উদাহরণ:
\( x^2 - 4x + 4 = 0 \) এর ক্ষেত্রে \( D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 \)
সুতরাং মূলদ্বয় সমান: \( x = \frac{4}{2} = 2 \) (দ্বৈত মূল)
\( x^2 + x + 1 = 0 \) এর ক্ষেত্রে \( D = 1 - 4 = -3 < 0 \)
সুতরাং মূলদ্বয় কাল্পনিক: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \)
মূল ও সহগের মধ্যকার সম্পর্ক (Vieta's Formulas)
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় এবং সহগ তিনটির মধ্যে বিশেষ সম্পর্ক বিদ্যমান। একে ভিয়েতার সূত্র (Vieta's Formulas) বলে।
সূত্রাবলী:
ধরি \( ax^2 + bx + c = 0 \) এর মূলদ্বয় \( \alpha \) ও \( \beta \)।
- মূলের যোগফল (Sum of Roots): $$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$
- মূলের গুণফল (Product of Roots): $$\alpha \beta = \frac{c}{a}$$
প্রমাণ:
মূলদ্বয় \( \alpha = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \) এবং \( \beta = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \)
যোগফল: \( \alpha + \beta = \frac{-b + \sqrt{D} - b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a} \)
গুণফল: \( \alpha \beta = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{D})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a} \)
মূলের সিমেট্রিক ফাংশন (Symmetric Functions of Roots)
মূলের যোগফল ও গুণফল ব্যবহার করে বিভিন্ন সিমেট্রিক রাশি নির্ণয়:
- \( \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2} \)
- \( (\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{D}{a^2} \)
- \( |\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{D}}{|a|} \)
- \( \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta) = -\frac{bc}{a^2} \)
- \( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = -\frac{b}{c} \) (যদি \( c \neq 0 \))
উদাহরণ:
\( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \) এর মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \) হলে \( \alpha^2 + \beta^2 \) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( \alpha + \beta = \frac{5}{2} \), \( \alpha\beta = \frac{3}{2} \)
\( \alpha^2 + \beta^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{25}{4} - 3 = \frac{25-12}{4} = \frac{13}{4} \)
মূল হতে সমীকরণ গঠন (Formation of Equation)
যদি মূলদ্বয় জানা থাকে, তবে সহগের সাহায্যে দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করা যায়।
সূত্র:
মূলদ্বয় \( \alpha \) ও \( \beta \) হলে সমীকরণ: $$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$ অথবা $$x^2 - (\text{মূলের যোগফল})x + (\text{মূলের গুণফল}) = 0$$
উদাহরণ ১:
মূলদ্বয় \( 3 \) ও \( -5 \) হলে সমীকরণ গঠন কর।
যোগফল \( = 3 + (-5) = -2 \)
গুণফল \( = 3 \times (-5) = -15 \)
সমীকরণ: \( x^2 - (-2)x + (-15) = 0 \) বা \( x^2 + 2x - 15 = 0 \)
উদাহরণ ২:
\( \alpha = 2 + \sqrt{3} \) হলে দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর (সহগ মূলদ হতে হবে)।
যদি একটি মূল \( 2 + \sqrt{3} \) হয় এবং সহগ মূলদ হয়, তবে অপর মূল \( 2 - \sqrt{3} \) হবে (যুগ্ম সুরদ)।
যোগফল \( = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4 \)
গুণফল \( = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1 \)
সমীকরণ: \( x^2 - 4x + 1 = 0 \)
মূলের অনুপাত জানা থাকলে
যদি মূলদ্বয়ের অনুপাত \( m:n \) হয়, অর্থাৎ \( \frac{\alpha}{\beta} = \frac{m}{n} \), তবে \( \alpha = \frac{m}{n}\beta \) বসিয়ে সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়।
সরাসরি সূত্র: \( mn b^2 = (m+n)^2 ac \)
সাধারণ মূল বিশিষ্ট সমীকরণ (Common Roots)
দুটি সমীকরণের একটি সাধারণ মূল
ধরি \( a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0 \) এবং \( a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0 \) এর একটি সাধারণ মূল \( \alpha \)।
ক্রেমারের নিয়ম অনুযায়ী: $$\frac{\alpha^2}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{\alpha}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$$
অথবা শর্ত: \( (c_1a_2 - c_2a_1)^2 = (a_1b_2 - a_2b_1)(b_1c_2 - b_2c_1) \)
দুটি সমীকরণের দুটি সাধারণ মূল
দুটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূলই যদি সমান হয়, তবে তাদের সহগ সমানুপাতিক: $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$
মূলের চিহ্ন সম্পর্কিত শর্তাবলী
মূলের যোগফল ও গুণফলের চিহ্ন অনুসারে মূলের প্রকৃতি:
| শর্ত | মূলের চিহ্ন | ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| \( \frac{c}{a} > 0 \) এবং \( \frac{b}{a} < 0 \) | উভয়ই ধনাত্মক | যোগফল ও গুণফল উভয়ই ধনাত্মক |
| \( \frac{c}{a} > 0 \) এবং \( \frac{b}{a} > 0 \) | উভয়ই ঋণাত্মক | যোগফল ঋণাত্মক, গুণফল ধনাত্মক |
| \( \frac{c}{a} < 0 \) | বিপরীত চিহ্নযুক্ত | গুণফল ঋণাত্মক হওয়ায় একটি ধনাত্মক, একটি ঋণাত্মক |
- উভয় মূলই ধনাত্মক হতে হলে: \( D \geq 0 \), \( \frac{b}{a} < 0 \), \( \frac{c}{a} > 0 \)
- উভয় মূলই ঋণাত্মক হতে হলে: \( D \geq 0 \), \( \frac{b}{a} > 0 \), \( \frac{c}{a} > 0 \)
- মূলদ্বয় পরস্পর বিপরীত হতে হলে: \( c = a \) (কারণ গুণফল = 1)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- প্রমাণ রূপ: \( ax^2 + bx + c = 0 \), যেখানে \( a \neq 0 \)
- মূলের সূত্র (শ্রীধর আচার্য): \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
-
বীজক্রিয়া: \( D = b^2 - 4ac \)
- \( D > 0 \): বাস্তব ও ভিন্ন
- \( D = 0 \): বাস্তব ও সমান
- \( D < 0 \): কাল্পনিক
- ভিয়েতার সূত্র: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \), \( \alpha\beta = \frac{c}{a} \)
- সমীকরণ গঠন: \( x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0 \)
- সিমেট্রিক ফাংশন: \( \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta \), \( (\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta \)