উদাহরণ ১:

একটি দ্বিঅংকীয় সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯। অঙ্ক বদল করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা মূল সংখ্যার \( \frac{5}{6} \) অংশ। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, দশকের অঙ্ক \( = x \), এককের অঙ্ক \( = y \)

মূল সংখ্যা \( = 10x + y \)

শর্ত অনুযায়ী:

(১) \( x + y = 9 \) বা \( y = 9 - x \)

(২) \( 10y + x = \frac{5}{6}(10x + y) \)

সমীকরণ (২) হতে:

\( 60y + 6x = 50x + 5y \)

বা, \( 55y = 44x \)

বা, \( 5y = 4x \)

\( y = 9 - x \) বসিয়ে:

\( 5(9-x) = 4x \)

বা, \( 45 - 5x = 4x \)

বা, \( 9x = 45 \) বা \( x = 5 \)

সুতরাং \( y = 9 - 5 = 4 \)

নির্ণেয় সংখ্যা \( = 54 \)

উদাহরণ ২:

দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমষ্টি ১২ এবং তাদের বর্গের সমষ্টি ৮০ হলে সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, একটি সংখ্যা \( = x \), অপরটি \( = 12 - x \)

শর্ত অনুযায়ী:

\( x^2 + (12-x)^2 = 80 \)

বা, \( x^2 + 144 - 24x + x^2 = 80 \)

বা, \( 2x^2 - 24x + 64 = 0 \)

বা, \( x^2 - 12x + 32 = 0 \)

বা, \( (x-4)(x-8) = 0 \)

সুতরাং \( x = 4 \) অথবা \( x = 8 \)

যখন \( x = 4 \), অপরটি \( = 8 \)

যখন \( x = 8 \), অপরটি \( = 4 \)

সংখ্যা দুটি ৪ এবং ৮।

উদাহরণ:

করিমের বর্তমান বয়স তার পুত্রের বয়সের চারগুণ। পাঁচ বছর পর তাদের বয়সের গুণফল ৬০০ হবে। তাদের বর্তমান বয়স নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, পুত্রের বর্তমান বয়স \( = x \) বছর

করিমের বর্তমান বয়স \( = 4x \) বছর

পাঁচ বছর পর:

পুত্রের বয়স \( = x + 5 \)

করিমের বয়স \( = 4x + 5 \)

শর্ত অনুযায়ী:

\( (x+5)(4x+5) = 600 \)

বা, \( 4x^2 + 5x + 20x + 25 = 600 \)

বা, \( 4x^2 + 25x - 575 = 0 \)

উৎপাদকে বিশ্লেষণ বা সূত্র প্রয়োগ করে:

\( x = \frac{-25 \pm \sqrt{625 + 9200}}{8} = \frac{-25 \pm \sqrt{9825}}{8} = \frac{-25 \pm 99.12}{8} \)

ধনাত্মক মান: \( x = \frac{74.12}{8} \approx 9.26 \) — তবে পরীক্ষার্থীদের সুবিধার্থে সংখ্যাগুলো সাধারণত এমনভাবে দেওয়া হয় যেন পূর্ণসংখ্যা মূল পাওয়া যায়।

বিকল্প উদাহরণে ধরি গুণফল ৩২০:

\( 4x^2 + 25x - 295 = 0 \) → এই ক্ষেত্রে সুবিধাজনক মান নাও পাওয়া যেতে পারে।

সুতরাং সঠিক গাণিতিক পদ্ধতি অনুসরণ করতে হবে এবং ঋণাত্মক বয়স বাতিল করতে হবে।

উদাহরণ ২ (ঘনের সমস্যা):

রহিমের বয়স রহমানের বয়সের তিনগুণ। পাঁচ বছর আগে তাদের বয়সের গুণফল ৩৮৪ ছিল। তাদের বর্তমান বয়স নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, রহমানের বয়স \( = x \), রহিমের বয়স \( = 3x \)

পাঁচ বছর আগে: \( (x-5)(3x-5) = 384 \)

বা, \( 3x^2 - 5x - 15x + 25 = 384 \)

বা, \( 3x^2 - 20x - 359 = 0 \)

সূত্রে: \( x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 4308}}{6} = \frac{20 \pm \sqrt{4708}}{6} \) — এখানে বর্গমূল পূর্ণসংখ্যা নয়।

সঠিক উদাহরণ: ধরি গুণফল ৮৪:

\( 3x^2 - 20x - 59 = 0 \) → এখানেও পূর্ণসংখ্যা মূল নাও পাওয়া যেতে পারে।

সুতরাং বাস্তব পরীক্ষায় এমন সংখ্যা দেওয়া হয় যা সুন্দর মূল দেয়। যেমন— গুণফল ১০৫ হলে:

\( 3x^2 - 20x - 80 = 0 \) → \( (3x+10)(x-8) = 0 \) → \( x = 8 \)

রহমানের বয়স ৮ বছর, রহিমের বয়স ২৪ বছর।

উদাহরণ ১ (আয়তক্ষেত্র):

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার হলে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, প্রস্থ \( = x \) মিটার, দৈর্ঘ্য \( = 2x \) মিটার

ক্ষেত্রফল \( = 2x \times x = 2x^2 \)

শর্ত: \( 2x^2 = 128 \)

বা, \( x^2 = 64 \)

বা, \( x = 8 \) (ঋণাত্মক মান বাতিল)

প্রস্থ \( = ৮ \) মি, দৈর্ঘ্য \( = ১৬ \) মি।

উদাহরণ ২:

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ সেমি। অপর দুই বাহুর অনুপাত ৩:৪ হলে বাহু দুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, বাহু দুটি \( 3x \) এবং \( 4x \)

পিথাগোরাস উপপাদ্য অনুযায়ী:

\( (3x)^2 + (4x)^2 = 25^2 \)

বা, \( 9x^2 + 16x^2 = 625 \)

বা, \( 25x^2 = 625 \)

বা, \( x^2 = 25 \)

বা, \( x = 5 \)

বাহু দুটি \( ১৫ \) সেমি ও \( ২০ \) সেমি।

উদাহরণ ৩:

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার পরিসীমার দ্বিগুণের সমান হলে বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, বাহু \( = x \)

ক্ষেত্রফল \( = x^2 \), পরিসীমা \( = 4x \)

শর্ত: \( x^2 = 2 \times 4x = 8x \)

বা, \( x^2 - 8x = 0 \)

বা, \( x(x-8) = 0 \)

\( x = 0 \) (অগ্রহণযোগ্য) অথবা \( x = 8 \)

বাহু \( = ৮ \) একক।

উদাহরণ ১:

একটি ট্রেন কোনো দূরত্ব ৮০ কিমি/ঘণ্টা বেগে যেতে যে সময় নেয়, ২০ কিমি/ঘণ্টা বেগে ফিরতে তার চেয়ে ৩ ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, দূরত্ব \( = x \) কিমি

যাওয়ার সময় \( = \frac{x}{80} \) ঘণ্টা

ফেরার সময় \( = \frac{x}{20} \) ঘণ্টা

শর্ত: \( \frac{x}{20} - \frac{x}{80} = 3 \)

বা, \( \frac{4x - x}{80} = 3 \)

বা, \( \frac{3x}{80} = 3 \)

বা, \( x = 80 \)

দূরত্ব \( = ৮০ \) কিলোমিটার।

দ্রষ্টব্য: এটি রৈখিক সমীকরণ, তবে একই ধরনের সমস্যায় দ্বিঘাত সমীকরণও হতে পারে।

উদাহরণ ২ (নৌকার সমস্যা):

একজন নৌকোয়ী স্থির পানিতে নিজের বেগে ৮ কিমি/ঘণ্টায় নৌকা চালায়। স্রোতের বেগ \( x \) কিমি/ঘণ্টা হলে, নৌকোয়ী ১৫ কিমি গন্তব্যে যেতে এবং ফিরতে আসতে মোট ৪ ঘণ্টা সময় নেয়। স্রোতের বেগ নির্ণয় কর।

সমাধান:

স্রোতের অনুকূলে বেগ \( = 8 + x \)

স্রোতের প্রতিকূলে বেগ \( = 8 - x \)

যাওয়ার সময় \( = \frac{15}{8+x} \), ফেরার সময় \( = \frac{15}{8-x} \)

মোট সময়: \( \frac{15}{8+x} + \frac{15}{8-x} = 4 \)

বা, \( 15\left(\frac{8-x+8+x}{(8+x)(8-x)}\right) = 4 \)

বা, \( 15 \times \frac{16}{64-x^2} = 4 \)

বা, \( \frac{240}{64-x^2} = 4 \)

বা, \( 240 = 256 - 4x^2 \)

বা, \( 4x^2 = 16 \)

বা, \( x^2 = 4 \)

বা, \( x = 2 \) (ঋণাত্মক বাতিল, কারণ বেগ ধনাত্মক)

স্রোতের বেগ \( = ২ \) কিমি/ঘণ্টা।

উদাহরণ:

দুইজন কর্মী মিলে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে। কিন্তু একা একা কাজ করতে প্রথমজন যে সময় নেয়, দ্বিতীয়জন তার দ্বিগুণ সময় নেয়। তাহলে প্রত্যেকে একা কাজটি কত দিনে করতে পারে?

সমাধান:

ধরি, প্রথমজন \( x \) দিনে কাজটি করে।

তাহলে দ্বিতীয়জন \( 2x \) দিনে করে।

এক দিনে প্রথমজন করে \( \frac{1}{x} \) অংশ।

এক দিনে দ্বিতীয়জন করে \( \frac{1}{2x} \) অংশ।

মিলে এক দিনে করে \( \frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{2x} \) অংশ।

শর্ত: \( \frac{3}{2x} = \frac{1}{8} \) (মিলে ৮ দিনে শেষ)

বা, \( 2x = 24 \) বা \( x = 12 \)

প্রথমজন ১২ দিনে, দ্বিতীয়জন ২৪ দিনে।

দ্রষ্টব্য: এটি রৈখিক। দ্বিঘাতের জন্য ধরা যেতে পারে— মিলে কাজ করতে গিয়ে কিছু দিন পর একজন চলে গেল এবং বাকি কাজ অন্যজন করল।

উদাহরণ ২ (দ্বিঘাত):

দুইজন কর্মী মিলে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কিছুদিন কাজ করার পর একজন চলে যায় এবং বাকি কাজ অন্যজন আরও ২৫ দিনে শেষ করে। যদি দ্বিতীয়জন একা সম্পূর্ণ কাজ ২০ দিনে করতে পারে, তবে তারা কতদিন একত্রে কাজ করেছিল?

সমাধান:

দ্বিতীয়জনের এক দিনের কাজ \( = \frac{1}{20} \)

ধরি, প্রথমজন একা করে \( x \) দিনে। এক দিনে করে \( \frac{1}{x} \)

মিলে এক দিনে করে \( \frac{1}{x} + \frac{1}{20} = \frac{20+x}{20x} \)

শর্ত অনুযায়ী মোট কাজ: \( \frac{12}{x} + \frac{25}{20} = 1 \) — এটি সরলীকরণ করলে পাওয়া যাবে।

সঠিকভাবে গঠন করলে দ্বিঘাত সমীকরণ পাওয়া যায়।

উদাহরণ:

এক দোকানদার কিছু সংখ্যক কলা বিক্রি করতে গিয়ে প্রতিটি কলায় যে লাভ করে, তার চেয়ে ২ টাকা বেশি হারে লাভ করলে মোট লাভ ৫৬ টাকা হতো। কিন্তু প্রতিটি কলায় ১ টাকা কম লাভ করলে মোট লাভ ৪২ টাকা হতো। কলার সংখ্যা এবং প্রকৃত লাভ নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, কলার সংখ্যা \( = x \), প্রতিটিতে প্রকৃত লাভ \( = y \) টাকা

মোট প্রকৃত লাভ \( = xy \)

শর্ত (১): \( x(y+2) = xy + 56 \) বা \( xy + 2x = xy + 56 \) বা \( 2x = 56 \) বা \( x = 28 \)

শর্ত (২): \( x(y-1) = xy - 42 \) বা \( xy - x = xy - 42 \) বা \( x = 42 \)

এখানে দুটি শর্ত থেকে \( x \) এর ভিন্ন মান পাওয়া যাচ্ছে, সুতরাং সমস্যাটি পুনরায় সাজাতে হবে।

সঠিক সমস্যা: প্রতিটি কলায় লাভ \( x \) টাকা এবং কলার সংখ্যা \( x+5 \) হলে... এমনভাবে গঠন করলে দ্বিঘাত সমীকরণ পাওয়া যায়।

উদাহরণ ২ (দাম সংক্রান্ত):

এক ব্যক্তি কিছু সংখ্যক বই ক্রয় করেন। যদি তিনি প্রতিটি বইয়ের দাম ৫ টাকা কম দিতেন, তবে বর্তমান মোট দামে ৫টি বই বেশি কিনতে পারতেন। তিনি ১০০ টাকায় কতটি বই কিনেছিলেন?

সমাধান:

ধরি, বর্তমানে \( x \) টি বই কিনেছেন, প্রতিটির দাম \( = \frac{100}{x} \) টাকা

৫ টাকা কম দামে প্রতিটির দাম \( = \frac{100}{x} - 5 = \frac{100-5x}{x} \)

এই দামে কেনা যাবে \( x+5 \) টি বই

সুতরাং: \( (x+5)\left(\frac{100-5x}{x}\right) = 100 \)

বা, \( (x+5)(100-5x) = 100x \)

বা, \( 100x - 5x^2 + 500 - 25x = 100x \)

বা, \( -5x^2 - 25x + 500 = 0 \)

বা, \( x^2 + 5x - 100 = 0 \)

বা, \( (x+?)(x-?) \) — উৎপাদকে বিশ্লেষণ নাও হতে পারে। সূত্রে:

\( x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 400}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{425}}{2} \) — পূর্ণসংখ্যা নয়।

সমস্যা পরিবর্তন: ধরি মোট দাম ৩০০ টাকা এবং ২ টাকা কম:

তাহলে \( x^2 + 5x - 750 = 0 \) → \( (x+30)(x-25) = 0 \) → \( x = 25 \)

তিনি ২৫টি বই কিনেছিলেন।