৫.৪ দুই চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ যুগল (Pair of Quadratic Equations in Two Variables)
যখন দুটি অজ্ঞাত চলক \( x \) ও \( y \) বিশিষ্ট দুটি দ্বিঘাত সমীকরণ একত্রে দেওয়া থাকে এবং তাদের একসাথে সমাধান করতে হয়, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ যুগল বলে। এই অধ্যায়ে আমরা বদলকরণ (Substitution), বিলোপন (Elimination) পদ্ধতি এবং বিশেষ ধরনের সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি শিখব।
সংজ্ঞা ও সাধারণ রূপ (General Form)
দ্বিঘাত সমীকরণ যুগল:
দুই চলক \( x \) ও \( y \) বিশিষ্ট দুটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ:
$$a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 + d_1x + e_1y + f_1 = 0 \quad \dots (১)$$ $$a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2 + d_2x + e_2y + f_2 = 0 \quad \dots (২)$$
যেখানে \( a_1, b_1, c_1 \) একসাথে শূন্য নয় (অন্তত একটি দ্বিঘাত পদ থাকতে হবে) এবং অনুরূপভাবে \( a_2, b_2, c_2 \) এর জন্যও।
প্রকারভেদ
-
একবারগা ও দ্বিঘাত যুগল: একটি সমীকরণ রৈখিক (first degree) এবং অন্যটি দ্বিঘাত (second degree)।
যেমন: \( x + y = 5 \) এবং \( x^2 + y^2 = 13 \)
-
উভয়ই দ্বিঘাত: দুটি সমীকরণই দ্বিতীয় ঘাতের।
যেমন: \( x^2 + y^2 = 25 \) এবং \( xy = 12 \)
-
সমমাত্রিক (Homogeneous): সকল পদের ঘাত সমান (দ্বিতীয় ঘাত) এবং অবকল পদ নেই।
যেমন: \( 2x^2 - 3xy + y^2 = 0 \) এবং \( x^2 + 4xy - 5y^2 = 0 \)
বদলকরণ পদ্ধতি (Substitution Method)
যখন একটি সমীকরণ রৈখিক থাকে অথবা সহজে একটি চলকের মান অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তখন এই পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।
পদ্ধতির ধাপ:
- সরলতর সমীকরণ (সাধারণত রৈখিক) থেকে একটি চলক (\( y \)) অন্য চলকের (\( x \)) মাধ্যমে প্রকাশ করুন।
- এই মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে দিন।
- এক চলক বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ পাবেন।
- সেই সমীকরণ সমাধান করে \( x \) এর মান নির্ণয় করুন।
- প্রতিটি \( x \) এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে সংশ্লিষ্ট \( y \) এর মান নির্ণয় করুন।
উদাহরণ ১ (রৈখিক ও দ্বিঘাত):
সমাধান করুন:
\( x + y = 7 \quad \dots (১) \)
\( x^2 + y^2 = 25 \quad \dots (২) \)
সমাধান:
\((১)\) হতে, \( y = 7 - x \)
\((২)\) এ বসিয়ে:
\( x^2 + (7-x)^2 = 25 \)
বা, \( x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25 \)
বা, \( 2x^2 - 14x + 24 = 0 \)
বা, \( x^2 - 7x + 12 = 0 \)
বা, \( (x-3)(x-4) = 0 \)
সুতরাং \( x = 3 \) অথবা \( x = 4 \)
যখন \( x = 3 \), তখন \( y = 7-3 = 4 \)
যখন \( x = 4 \), তখন \( y = 7-4 = 3 \)
সমাধানসমূহ: \( (x,y) = (3,4) \) এবং \( (4,3) \)
উদাহরণ ২:
সমাধান করুন:
\( 2x - y = 3 \)
\( x^2 - xy + y^2 = 7 \)
সমাধান:
প্রথম সমীকরণ হতে \( y = 2x - 3 \)
দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে:
\( x^2 - x(2x-3) + (2x-3)^2 = 7 \)
বা, \( x^2 - 2x^2 + 3x + 4x^2 - 12x + 9 = 7 \)
বা, \( 3x^2 - 9x + 2 = 0 \)
শ্রীধর আচার্যের সূত্রে:
\( x = \frac{9 \pm \sqrt{81-24}}{6} = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{6} \)
প্রতিটি \( x \) এর মানের জন্য সংশ্লিষ্ট \( y \) নির্ণয় করা যাবে।
বিলোপন পদ্ধতি (Elimination Method)
যখন উভয় সমীকরণেই দ্বিঘাত পদ থাকে এবং কোনো রৈখিক সমীকরণ নেই, তখন বিলোপন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।
পদ্ধতির ধাপ:
- দুটি সমীকরণকে এমনভাবে গুণ করুন যেন একটি নির্দিষ্ট পদের সহগ সমান হয়।
- সমীকরণ দুটি যোগ বা বিয়োগ করে ঐ পদটি বিলোপ করুন।
- প্রাপ্ত সমীকরণ থেকে একটি চলকের মান বের করে বদলকরণ পদ্ধতি অনুসরণ করুন।
উদাহরণ:
সমাধান করুন:
\( x^2 + y^2 = 10 \quad \dots (১) \)
\( xy = 3 \quad \dots (২) \)
সমাধান (বিকল্প পদ্ধতি - সূত্র ব্যবহার):
আমরা জানি \( (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 6 = 16 \)
সুতরাং \( x+y = \pm 4 \)
আবার \( (x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 10 - 6 = 4 \)
সুতরাং \( x-y = \pm 2 \)
এখন চারটি সমীকরণ যুগল পাওয়া যায়:
- \( x+y=4 \) এবং \( x-y=2 \) হলে \( x=3, y=1 \)
- \( x+y=4 \) এবং \( x-y=-2 \) হলে \( x=1, y=3 \)
- \( x+y=-4 \) এবং \( x-y=2 \) হলে \( x=-1, y=-3 \)
- \( x+y=-4 \) এবং \( x-y=-2 \) হলে \( x=-3, y=-1 \)
সমাধানসমূহ: \( (3,1), (1,3), (-3,-1), (-1,-3) \)
সমমাত্রিক সমীকরণ (Symmetric Equations)
যদি সমীকরণগুলো \( x \) ও \( y \) এর মধ্যে সমমিতিক (symmetric) হয়, অর্থাৎ \( x \) এর স্থলে \( y \) এবং \( y \) এর স্থলে \( x \) বসালে সমীকরণ অপরিবর্তিত থাকে, তবে বিশেষ সূত্র প্রয়োগ করা যায়।
সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ
$$x^2 + y^2 = a \quad \text{এবং} \quad xy = b$$
অথবা
$$x + y = a \quad \text{এবং} \quad x^2 + y^2 = b$$
উদাহরণ:
সমাধান করুন:
\( x + y = 5 \)
\( x^2 + y^2 = 13 \)
সমাধান:
\( (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \)
বা, \( 25 = 13 + 2xy \)
বা, \( 2xy = 12 \) বা \( xy = 6 \)
এখন \( x \) ও \( y \) হলো সমীকরণ \( t^2 - 5t + 6 = 0 \) এর মূল।
বা, \( (t-2)(t-3) = 0 \)
সুতরাং \( t = 2, 3 \)
সমাধান: \( (2,3) \) এবং \( (3,2) \)
\( x^2 + xy + y^2 = a \) এবং \( x^2 - xy + y^2 = b \) আকার
এই ধরনের সমীকরণ যোগ ও বিয়োগ করে সহজে সমাধান করা যায়:
- যোগ করলে: \( 2(x^2 + y^2) = a+b \)
- বিয়োগ করলে: \( 2xy = a-b \)
সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ (Homogeneous Quadratic Equations)
সংজ্ঞা:
যদি দ্বিঘাত সমীকরণের সকল পদের ঘাত সমান হয় (অর্থাৎ দুই) এবং অবকল পদ না থাকে, তবে তাকে সমমাত্রিক দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
সাধারণ রূপ: \( ax^2 + 2hxy + by^2 = 0 \)
সমাধানের পদ্ধতি
\( y = mx \) ধরে বা \( \frac{y}{x} = m \) ধরে সমীকরণকে \( m \) এর দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর করা যায়।
উদাহরণ:
সমাধান করুন:
\( x^2 - 5xy + 6y^2 = 0 \)
সমাধান:
\( x^2 \) দ্বারা ভাগ করে (যেহেতু \( x \neq 0 \)):
\( 1 - 5\frac{y}{x} + 6\left(\frac{y}{x}\right)^2 = 0 \)
ধরি \( m = \frac{y}{x} \):
\( 6m^2 - 5m + 1 = 0 \)
বা, \( (2m-1)(3m-1) = 0 \)
সুতরাং \( m = \frac{1}{2} \) অথবা \( m = \frac{1}{3} \)
অর্থাৎ \( \frac{y}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2y \)
অথবা \( \frac{y}{x} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3y \)
সুতরাং সমাধান দুইটি সরলরেখা: \( x = 2y \) এবং \( x = 3y \) (মূল বিন্দুতে ছেদকারী)
বিশেষ ধরনের সমীকরণ যুগল
১. \( x \pm y \) এবং \( xy \) জানা থাকলে
যদি \( x+y = s \) এবং \( xy = p \) জানা থাকে, তবে \( x \) ও \( y \) হলো দ্বিঘাত সমীকরণ \( t^2 - st + p = 0 \) এর মূল।
২. \( x^2 + y^2 \) এবং \( xy \) জানা থাকলে
\( (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \) এবং \( (x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy \) ব্যবহার করে \( x+y \) ও \( x-y \) নির্ণয় করা যায়।
উদাহরণ:
\( x^2 + y^2 = 10 \) এবং \( xy = 3 \)
\( (x-y)^2 = 10 - 6 = 4 \Rightarrow x-y = \pm 2 \)
\( (x+y)^2 = 10 + 6 = 16 \Rightarrow x+y = \pm 4 \)
এরপর চারটি সমীকরণ যুগল সমাধান করে চারটি সমাধান পাওয়া যায়।
৩. শঙ্করা (Reciprocal) সমীকরণ
\( x + \frac{1}{y} = a \) এবং \( y + \frac{1}{x} = b \) আকারের সমীকরণ।
\( x + \frac{1}{y} = 2 \) এবং \( y + \frac{1}{x} = \frac{9}{4} \)
প্রথম সমীকরণকে \( xy \) দ্বারা গুণ করে: \( x^2y + x = 2xy \)
দ্বিতীয় সমীকরণকে \( xy \) দ্বারা গুণ করে: \( xy^2 + y = \frac{9}{4}xy \)
বিভিন্ন কৌশলে সমাধান করা যায়।
সমাধানের সংখ্যা ও প্রকৃতি
দুই চলকবিশিষ্ট দুটি দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বাধিক চারটি সমাধান থাকতে পারে। তবে:
- বাস্তব সমাধানের সংখ্যা ৪, ৩, ২, ১ অথবা ০ (শূন্য) হতে পারে।
- সমাধানগুলো বাস্তব ও যৌগিক (complex) হতে পারে।
বিশেষ ক্ষেত্রে সমাধানের সংখ্যা
| সমীকরণের ধরন | সর্বাধিক বাস্তব সমাধান | বৈশিষ্ট্য |
|---|---|---|
| একটি রৈখিক, একটি দ্বিঘাত | ২ | বদলকরণে দ্বিঘাত সমীকরণ পাওয়া যায় |
| উভয়ই দ্বিঘাত (সাধারণ) | ৪ | বেজোড় উপপাদ্য অনুযায়ী |
| সমমাত্রিক (Homogeneous) | ২ (মূল বিন্দু ব্যতীত) | দুটি সরলরেখা নির্দেশ করে |
| বৃত্ত ও সরলরেখা | ২ | ছেদ বিন্দুগুলো |
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- বদলকরণ পদ্ধতি: একটি চলকের মান অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করে দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর।
- বিলোপন পদ্ধতি: সহগ সমান করে পদ বিলোপ করে সমাধান।
- সমমিতিক সমীকরণ: \( x+y \) ও \( xy \) নির্ণয় করে দ্বিঘাত সমীকরণ \( t^2 - (x+y)t + xy = 0 \) গঠন।
- সমমাত্রিক: \( ax^2 + 2hxy + by^2 = 0 \) আকারে \( y = mx \) ধরে সমাধান।
- সর্বাধিক সমাধান: দুই চলকবিশিষ্ট দুটি দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বাধিক ৪টি বাস্তব সমাধান।
- গুরুত্বপূর্ণ সূত্র: \( (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy \), \( (x-y)^2 = x^2+y^2-2xy \)