১০.২ দ্বিপদী \( (x+y)^n \) এর বিস্তৃতি (Binomial Expansion of \( (x+y)^n \))
\( (1+y)^n \) এর বিস্তৃতি থেকে আমরা \( (x+y)^n \) আকারের সাধারণ দ্বিপদী বিস্তৃতিতে যেতে পারি — কেবল \( y \)-এর পরিবর্তে \( \frac{y}{x} \) বা \( x \)-এর উপর ভাগ করার মাধ্যমে। এই অধ্যায়ে আমরা \( (x+y)^n \) বিস্তৃতির সম্পূর্ণ সূত্র, সাধারণ পদ, নির্দিষ্ট পদ ও সহগ নির্ণয়, ঋণাত্মক ও ভগ্নাংশ সূচকের ক্ষেত্রে অসীম ধারা এবং বিভিন্ন উল্লেখযোগ্য প্রয়োগ শিখব।
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা সূচকের বিস্তৃতি
\( (x+y)^n \) কে \( (x)^n (1 + \frac{y}{x})^n \) বা \( (y)^n (1 + \frac{x}{y})^n \) আকারে লিখে বিস্তৃত করা যায়।
সূত্র প্রতিষ্ঠা
\( (x+y)^n = x^n \left(1 + \frac{y}{x}\right)^n \)
\( = x^n \left[1 + {^nC_1}\frac{y}{x} + {^nC_2}\frac{y^2}{x^2} + \dots + {^nC_n}\frac{y^n}{x^n}\right] \)
\[ = x^n + {^nC_1}x^{n-1}y + {^nC_2}x^{n-2}y^2 + \dots + {^nC_n}y^n \]
সাধারণ সূত্র (Compact Form):
\[ (x+y)^n = \sum_{r=0}^{n} {^nC_r} x^{n-r} y^r \]
অথবা প্রতিটি পদ লিখলে: \[ (x+y)^n = x^n + nx^{n-1}y + \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}y^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3}y^3 + \dots + y^n \]
বৈশিষ্ট্যসমূহ
- মোট \( (n+1) \)টি পদ থাকে।
- প্রথম পদ \( = x^n \), শেষ পদ \( = y^n \)।
- প্রতিটি পদে \( x \) ও \( y \)-এর ঘাতের যোগফল \( = n \)।
- \( r \)-তম পদে \( x \)-এর ঘাত \( = n-r \) এবং \( y \)-এর ঘাত \( = r \)।
সাধারণ পদ (General Term)
\( (r+1) \)-তম পদ \( (r = 0, 1, 2, \dots, n) \) হলো:
\[ T_{r+1} = {^nC_r} x^{n-r} y^r \]
অথবা সম্প্রসারিত রূপে: \[ T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!} x^{n-r} y^r \]
- \( (r+1) \)-তম পদ বললে \( r \)-এর মান নিজেই সরাসরি বসিয়ে দিতে হবে।
- \( r \)-তম পদ বললে প্রথমে \( T_r \) এর সূত্র থেকে \( r \) এর স্থানে \( r \) বসিয়ে পদটি লিখতে হবে।
উদাহরণ ১:
\( (a+b)^7 \) বিস্তৃতিতে পঞ্চম পদটি নির্ণয় কর।
সমাধান: \( T_5 \) নির্ণয় করতে হবে, সুতরাং \( r+1 = 5 \Rightarrow r = 4 \)
\[ T_5 = {^7C_4} a^{7-4} b^4 = {^7C_4} a^3 b^4 = 35a^3b^4 \]
মধ্যপদ (Middle Term)
\((x+y)^n\) এ মোট পদ সংখ্যা হলো \(n+1\)। মধ্যপদের সংখ্যা \(n\) জোড় না বিজোড় তার উপর নির্ভর করে।
১) \(n\) জোড় হলে (Even \(n\))
তখন ঠিক একটি মধ্যপদ থাকে, এবং সেটি হবে:
\[\text{মধ্যপদ} = {}^{n}C_{n/2}x^{n/2}y^{n/2}\]
২) \(n\) বিজোড় হলে (Odd \(n\))
তখন দুটি সমান মধ্যপদ থাকে:
\[ {}^{n}C_{(n-1)/2}x^{(n+1)/2}y^{(n-1)/2} \quad \text{এবং}\quad {}^{n}C_{(n+1)/2}x^{(n-1)/2}y^{(n+1)/2} \]
পাস্কেলের সমতার কারণে তাদের সহগ সমান।
উদাহরণ:
\((x+y)^8\) এর মধ্যপদ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\(n=8\) (জোড়), তাই মধ্যপদ:
\[ {}^{8}C_4x^4y^4 \]
\[{}^{8}C_4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70\]
মধ্যপদ \(70x^4y^4\)।
নির্দিষ্ট ঘাতের পদ বা সহগ নির্ণয়
যখন \( x \) ও \( y \)-এর নির্দিষ্ট ঘাত দেওয়া থাকে, তখন সেই ঘাতের সাথে মিলিয়ে \( r \) নির্ণয় করে পদটি বের করা হয়।
উদাহরণ ১:
\( \left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^{10} \) বিস্তৃতিতে \( x^{10} \) যুক্ত পদটি নির্ণয় কর।
সমাধান: সাধারণ পদ: \( T_{r+1} = {^{10}C_r} (x^2)^{10-r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r \)
\( = {^{10}C_r} x^{20-2r} \cdot (-1)^r \cdot x^{-r} \)
\( = (-1)^r \cdot {^{10}C_r} \cdot x^{20-3r} \)
\( x^{10} \) পেতে হলে: \( 20 - 3r = 10 \Rightarrow r = \frac{10}{3} \) — পূর্ণসংখ্যা নয়।
অর্থাৎ \( x^{10} \) যুক্ত কোনো পদ নেই।
\( x^{10} \) যুক্ত পদ নেই।
উদাহরণ ২ (সংশোধিত):
\( \left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^{10} \) বিস্তৃতিতে \( x^{11} \) যুক্ত পদটি নির্ণয় কর।
সমাধান: \( 20 - 3r = 11 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3 \)
\[ T_4 = (-1)^3 \cdot {^{10}C_3} \cdot x^{11} = -120x^{11} \]
উদাহরণ ৩:
\( (2x - 1)^{10} \) এ বিস্তৃতিতে \( x^5 \) এর সহগ নির্ণয় কর।
সমাধান: সাধারণ পদ: \( T_{r+1} = {^{10}C_r} (2x)^{10-r} (-1)^r \)
\( = {^{10}C_r} 2^{10-r} (-1)^r x^{10-r} \)
\( x^5 \) পেতে: \( 10 - r = 5 \Rightarrow r = 5 \)
সহগ \( = {^{10}C_5} \cdot 2^5 \cdot (-1)^5 = 252 \times 32 \times (-1) = -8064 \)
মধ্যপদ নির্ণয়
\( (x+y)^n \) বিস্তৃতিতে মোট \( (n+1) \)টি পদ থাকে।
-
যখন \( n \) জোড়: একটি মধ্যপদ থাকে যার অবস্থান \( \left(\frac{n}{2} + 1\right) \)-তম।
মধ্যপদ \( = {^nC_{n/2}} x^{n/2} y^{n/2} \)
-
যখন \( n \) বিজোড়: দুটি সমান মধ্যপদ থাকে।
মধ্যপদদ্বয় \( = {^nC_{(n-1)/2}} x^{(n+1)/2} y^{(n-1)/2} \) এবং সদৃশ
ঋণাত্মক/ভগ্নাংশ সূচকের বিস্তৃতি
\( n \) ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হলে বিস্তৃতি অসীম ধারা রূপে প্রকাশ পায়।
সূত্র:
\[ (x+y)^n = x^n \left(1 + \frac{y}{x}\right)^n = x^n \left[1 + n\frac{y}{x} + \frac{n(n-1)}{2!}\left(\frac{y}{x}\right)^2 + \dots\right] \]
সরলীকরণ করে: \[ = x^n + nx^{n-1}y + \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}y^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3}y^3 + \dots \]
শর্ত: \( |y/x| < 1 \) অর্থাৎ \( |y| < |x| \) হলে এই অসীম ধারা অভিসারী হয়।
সাধারণ পদ
\[ T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!} x^{n-r} y^r \]
বিশেষ ক্ষেত্রসমূহ (যখন \( x=1 \) ও \( y=x \) ধরা হয়)
- \( (1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \) (জ্যামিতিক ধারা)
- \( (1-x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \)
- \( (1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \dots \)
গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ
১. আসন্ন মান নির্ণয়
\( (2.005)^{10} \) এর আসন্ন মান (দশমিকের ৫ ঘর পর্যন্ত) নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( (2.005)^{10} = 2^{10} (1 + 0.0025)^{10} \)
\( (1 + 0.0025)^{10} \approx 1 + 10(0.0025) + 45(0.0025)^2 + \dots \)
\( \approx 1 + 0.025 + 0.000281 \approx 1.02528 \)
সুতরাং \( (2.005)^{10} \approx 1024 \times 1.02528 \approx 1049.89 \)
২. মডেলে সংখ্যার চিহ্ন পরিবর্তন
ঋণাত্মক পদ থাকলে \( ^nC_r \) এর সাথে \( (-1)^r \) গুণক আসে। যেমন \( (a-b)^n \) বিস্তৃতিতে: \[ (a-b)^n = \sum_{r=0}^{n} (-1)^r {^nC_r} a^{n-r} b^r \]
৩. কার্যকরী রূপান্তর
বিভিন্ন ভগ্নাংশ ও মূলযুক্ত রাশিকে দ্বিপদী বিস্তৃতির মাধ্যমে সরল করা যায়।
\( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \) কে \( x \) এর ঘাতের ধারায় প্রকাশ কর।
সমাধান:
\( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = (1+x^2)^{-1/2} \)
\( = 1 + (-\frac{1}{2})x^2 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2!}(x^2)^2 + \dots \)
\( = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{8}x^4 - \frac{5}{16}x^6 + \dots \)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
-
সূত্র (ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \( n \)):
- \( (x+y)^n = \sum_{r=0}^{n} {^nC_r} x^{n-r} y^r \)
- মোট পদ: \( n+1 \)
-
সাধারণ পদ:
- \( T_{r+1} = {^nC_r} x^{n-r} y^r \) (পূর্ণসংখ্যা \( n \))
- \( T_{r+1} = \frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r!} x^{n-r} y^r \) (যেকোনো \( n \))
- নির্দিষ্ট পদ নির্ণয়: \( x \) ও \( y \)-এর ঘাতের সমষ্টি \( n \) এর সমতা থেকে \( r \) বের করে বসানো।
- ঋণাত্মক/ভগ্নাংশ সূচক: অসীম ধারা, অভিসারিতার শর্ত \( |y| < |x| \).
- মধ্যপদ: \( n \) জোড় হলে ১টি, বিজোড় হলে ২টি।
- প্রয়োগ: আসন্ন মান, বিভাজ্যতা প্রমাণ, জটিল রাশির সরলীকরণ।