৯.২ লগারিদম (Logarithm)
লগারিদম (Logarithm) হলো সূচকের বিপরীত ক্রিয়া (Inverse Operation)। জটিল গুণ, ভাগ এবং ঘাত সংক্রান্ত হিসাব সরল করতে লগারিদম অত্যন্ত শক্তিশালী একটি কৌশল। এই অধ্যায়ে আমরা লগারিদমের সংজ্ঞা, মৌলিক সূত্রাবলী, বৈশিষ্ট্য ও মানসিফিক (Characteristic & Mantissa) এবং লগারিদমীয় সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি আলোচনা করব।
লগারিদমের সংজ্ঞা (Definition)
যদি \( a^x = N \) হয়, যেখানে \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) এবং \( N > 0 \), তবে \( x \) কে \( N \) এর ভিত্তি \( a \) অনুযায়ী লগারিদম বলে। একে লেখা হয়: $$x = \log_a N$$
অর্থাৎ, \( \log_a N \) হলো সেই ঘাত (সূচক) যা ভিত্তি \( a \) এর উপর উঠালে সংখ্যা \( N \) পাওয়া যায়।
শর্তাবলী
লগারিদম সংজ্ঞায়িত হতে হলে নিচের শর্তগুলো পূরণ করতে হবে:
- ভিত্তি (\( a \)): \( a > 0 \) এবং \( a \neq 1 \)
- সংখ্যা বা আর্গুমেন্ট (\( N \)): \( N > 0 \) (শুধুমাত্র ধনাত্মক সংখ্যার লগারিদম বাস্তব সংখ্যায় সংজ্ঞায়িত)
উদাহরণ:
- \( 2^3 = 8 \) সুতরাং \( \log_2 8 = 3 \)
- \( 10^2 = 100 \) সুতরাং \( \log_{10} 100 = 2 \)
- \( 3^{-2} = \frac{1}{9} \) সুতরাং \( \log_3 \left(\frac{1}{9}\right) = -2 \)
লগারিদমের প্রকারভেদ
- সাধারণ লগারিদম (Common Logarithm): ভিত্তি \( 10 \)। সাধারণত \( \log_{10} N \) কে সংক্ষেপে \( \log N \) লেখা হয়। প্রকৌশল ও বিজ্ঞানের হিসাব-নিকাশে বেশি ব্যবহৃত হয়।
- প্রাকৃতিক লগারিদম (Natural Logarithm): ভিত্তি \( e \) (ইউলার সংখ্যা, \( e \approx 2.71828 \)...)। একে \( \ln N \) বা \( \log_e N \) দ্বারা সূচিত করা হয়। উচ্চতর গণিত ও ক্যালকুলাসে বেশি ব্যবহৃত হয়।
লগারিদমের সূত্রাবলী (Laws of Logarithm)
ধরি \( a > 0, a \neq 1 \) এবং \( M, N > 0 \)।
১. গুণের সূত্র (Product Rule)
ভিত্তি একই হলে, গুণফলের লগারিদম = লগারিদমগুলোর যোগফল। $$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$$
সাধারণীকরণ: \( \log_a (M_1 M_2 \dots M_k) = \log_a M_1 + \log_a M_2 + \dots + \log_a M_k \)
২. ভাগের সূত্র (Quotient Rule)
ভিত্তি একই হলে, ভাগফলের লগারিদম = লগারিদমগুলোর বিয়োগফল। $$\log_a \left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$$
৩. ঘাতের সূত্র (Power Rule)
সংখ্যার ঘাতের লগারিদম = ঘাত × সংখ্যার লগারিদম। $$\log_a M^n = n \log_a M$$
বিশেষ ক্ষেত্র (মূল): \( \log_a \sqrt[n]{M} = \log_a M^{1/n} = \frac{1}{n} \log_a M \)
৪. ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র (Change of Base Formula)
ভিত্তি \( a \) থেকে ভিত্তি \( b \) এ পরিবর্তন: $$\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}$$
বিশেষ ক্ষেত্র: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \) (যখন \( N = b \))
৫. বিশেষ মান
- \( \log_a 1 = 0 \) (কারণ \( a^0 = 1 \))
- \( \log_a a = 1 \) (কারণ \( a^1 = a \))
- \( \log_a a^n = n \)
- \( a^{\log_a N} = N \)
উদাহরণ:
সরল করুন: \( \log 2 + \log 5 \)
সমাধান: \( \log (2 \times 5) = \log 10 = 1 \) (কারণ সাধারণ লগারিদমের ভিত্তি 10)
মান নির্ণয় করুন: \( \log_3 \sqrt[3]{81} \)
সমাধান: \( \log_3 81^{1/3} = \frac{1}{3} \log_3 81 = \frac{1}{3} \log_3 3^4 = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3} \)
বৈশিষ্ট্য ও মানসিফিক (Characteristic and Mantissa)
কোনো ধনাত্মক সংখ্যার সাধারণ লগারিদম একটি বাস্তব সংখ্যা, যা দুটি অংশে বিভক্ত:
- বৈশিষ্ট্য (Characteristic): পূর্ণসংখ্যা অংশ (Integer part)
- মানসিফিক (Mantissa): ভগ্নাংশ অংশ (Fractional part), সর্বদা ধনাত্মক
যেমন: \( \log 20 \approx 1.3010 \) হলে, বৈশিষ্ট্য \( = 1 \), মানসিফিক \( = 0.3010 \)।
বৈশিষ্ট্য নির্ণয়ের নিয়ম
-
১ এর বড় সংখ্যার জন্য (\( N > 1 \)):
বৈশিষ্ট্য = (দশমিক বিন্দুর বাম পাশে অঙ্কের সংখ্যা) \( - 1 \)
উদাহরণ: \( 200 \) এর বৈশিষ্ট্য \( = 3 - 1 = 2 \) (কারণ ২০০ এ ৩টি অঙ্ক বামে আছে)। -
১ এর ছোট সংখ্যার জন্য (\( 0 < N < 1 \)):
বৈশিষ্ট্য = \( - \) (দশমিক বিন্দুর পর শূন্য নয় এমন অঙ্কের আগে শূন্যের সংখ্যা \( + 1 \))
এটি বার নোটেশন (Bar Notation) এ লেখা হয়। যেমন \( \overline{2} \) মানে \( -2 \), কিন্তু মানসিফিক ধনাত্মক থাকে।
উদাহরণ: \( 0.002 \) এর বৈশিষ্ট্য \( = -(2+1) = -3 \) বা \( \overline{3} \)।
মানসিফিক নির্ণয়
মানসিফিক সংখ্যার অঙ্কবিন্যাসের উপর নির্ভর করে, দশমিক বিন্দুর অবস্থানের উপর নির্ভরশীল নয়। এটি লগারিদম টেবিল বা ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে পাওয়া যায়। একই অঙ্কবিন্যাস বিশিষ্ট সংখ্যার মানসিফিক একই হয় (শুধু বৈশিষ্ট্য ভিন্ন)।
\( \log 2 = 0.3010 \), \( \log 20 = 1.3010 \), \( \log 200 = 2.3010 \), \( \log 0.2 = \overline{1}.3010 \)।
সব ক্ষেত্রেই মানসিফিক \( .3010 \), শুধু বৈশিষ্ট্য পরিবর্তিত হয়েছে।
লগারিদমীয় সমীকরণ (Logarithmic Equations)
যে সমীকরণে চলক লগারিদমের আর্গুমেন্ট বা ভিত্তি হিসেবে থাকে, তাকে লগারিদমীয় সমীকরণ বলে।
সমাধানের ধাপ
- সমীকরণের সব পদকে একই ভিত্তির লগারিদমে রূপান্তর করুন (প্রয়োজনে ভিত্তি পরিবর্তন সূত্র ব্যবহার করে)।
- লগারিদমের সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণ সরল করুন।
- যদি \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \) আকার আসে, তবে \( f(x) = g(x) \) করুন।
- যদি \( \log_a f(x) = b \) আকার আসে, তবে সূচকীয় রূপে \( f(x) = a^b \) করুন।
- অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ: প্রাপ্ত মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে পরীক্ষা করুন যেন আর্গুমেন্ট ধনাত্মক হয় (\( > 0 \)) এবং ভিত্তির শর্ত পূরণ হয়।
উদাহরণ ১:
সমাধান করুন: \( \log_2 (x+3) + \log_2 (x-3) = 4 \)
সমাধান:
শর্ত: \( x+3 > 0 \) এবং \( x-3 > 0 \), অর্থাৎ \( x > 3 \)।
সূত্র প্রয়োগ: \( \log_2 [(x+3)(x-3)] = 4 \)
বা, \( \log_2 (x^2 - 9) = 4 \)
সূচকীয় রূপান্তর: \( x^2 - 9 = 2^4 = 16 \)
বা, \( x^2 = 25 \)
বা, \( x = \pm 5 \)
শর্ত \( x > 3 \) পূরণ করে কেবল \( x = 5 \)।
সমাধান: \( x = 5 \)
উদাহরণ ২:
সমাধান করুন: \( \log_5 x + \log_x 5 = 2 \)
সমাধান:
ধরি, \( y = \log_5 x \), তাহলে \( \log_x 5 = \frac{1}{y} \)।
সমীকরণ দাঁড়ায়: \( y + \frac{1}{y} = 2 \)
বা, \( y^2 + 1 = 2y \)
বা, \( y^2 - 2y + 1 = 0 \)
বা, \( (y-1)^2 = 0 \)
বা, \( y = 1 \)
সুতরাং \( \log_5 x = 1 \), অর্থাৎ \( x = 5^1 = 5 \)।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- সংজ্ঞা: \( a^x = N \iff x = \log_a N \)। শর্ত: \( a>0, a\neq 1, N>0 \)।
-
মৌলিক সূত্র:
- \( \log(MN) = \log M + \log N \)
- \( \log(M/N) = \log M - \log N \)
- \( \log M^n = n \log M \)
- ভিত্তি পরিবর্তন: \( \log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a} \)।
- বৈশিষ্ট্য ও মানসিফিক: বৈশিষ্ট্য পূর্ণসংখ্যা (দশমিক বিন্দুর অবস্থান অনুযায়ী), মানসিফিক সর্বদা ধনাত্মক ভগ্নাংশ।
- সমীকরণ সমাধান: একই ভিত্তিতে রূপান্তর করে সূচকীয় আকারে নিয়ে সমাধান, অবশ্যই আর্গুমেন্ট \( >0 \) শর্ত যাচাই করতে হবে।
- বিশেষ মান: \( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)।