হোম / বই / নবম দশম শ্রেণী / উচ্চতর গণিত / অসীম ধারা /
অসীম ধারা
/ অনুশীলনী
  1. \(1, 3, 5, 7, \ldots\) অনুক্রমটির ১২তম পদ কোনটি?
    1. (ক) 12
    2. (খ) 13
    3. (গ) 23
    4. (ঘ) 25
  2. কোনো একটি অনুক্রমের \(n\)‑তম পদ \(a_n = \dfrac{1}{n(n+1)}\) হলে এর তৃতীয় পদ কোনটি?
    1. (ক) \(\dfrac{1}{3}\)
    2. (খ) \(\dfrac{1}{6}\)
    3. (গ) \(\dfrac{1}{12}\)
    4. (ঘ) \(\dfrac{1}{20}\)
  3. কোনো একটি অনুক্রমের \(n\)‑তম পদ \(a_n = \dfrac{1 - (-1)^n}{2}\) হলে ২০তম পদ কোনটি?
    1. (ক) 0
    2. (খ) 1
    3. (গ) -1
    4. (ঘ) 2
  4. কোনো একটি অনুক্রমের \(n\)‑তম পদ \(u_n = \dfrac{1}{n}\) এবং \(u_n < 10^{-4}\) হলে \(n\) এর মান হবে —
    (i) \(n < 10^3\) 
    (ii) \(n < 10^4\) 
    (iii) \(n > 10^4\) 

    নিচের কোনটি সঠিক?
    1. (ক) iii
    2. (খ) i, ii
    3. (গ) ii, iii
    4. (ঘ) i, ii, iii
  5. কোনো একটি অনুক্রমের \(n\)‑তম পদ \(u_n = 1 - (-1)^n\) হলে —
    (i) ১০ তম পদ 0 
    (ii) ১৫ তম পদ 2 
    (iii) প্রথম ১২ পদের সমষ্টি 12 

    নিচের কোনটি সঠিক?
    1. (ক) i, ii
    2. (খ) i, iii
    3. (গ) ii, iii
    4. (ঘ) i, ii, iii

    6. ধারাটি লক্ষ্য কর এবং (৬ – ৮) নং প্রশ্নের উত্তর দাও : 
    \(4 + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{9} + \ldots\) 


  6. ধারাটির ১০‑তম পদ কোনটি?
    1. (ক) \(\dfrac{4}{3^{10}}\)
    2. (খ) \(\dfrac{4}{3^9}\)
    3. (গ) \(\dfrac{4}{3^{11}}\)
    4. (ঘ) \(\dfrac{4}{3^{12}}\)
  7. ধারাটির প্রথম ৫ পদের সমষ্টি কত?
    1. (ক) \(\dfrac{160}{27}\)
    2. (খ) \(\dfrac{484}{81}\)
    3. (গ) \(\dfrac{12}{9}\)
    4. (ঘ) \(\dfrac{20}{9}\)
  8. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?
    1. (ক) 0
    2. (খ) 5
    3. (গ) 6
    4. (ঘ) 7
  9. প্রদত্ত অনুক্রমের ১০‑তম পদ, ১৫‑তম পদ এবং \(r\)‑তম পদ নির্ণয় কর :

    (i) \(2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots\) 
    (ii) \(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, 2, \dfrac{5}{2}, \ldots\) 
    (iii) \(a_n = \dfrac{1}{n(n+1)},\; n \in \mathbb{N}\) 
    (iv) \(0, 1, 0, 1, 0, 1, \ldots\) 
    (v) \(\dfrac{5}{3}, \dfrac{5}{9}, \dfrac{5}{27}, \dfrac{5}{81}, \ldots\) 
    (vi) \(a_n = \dfrac{1 - (-1)^{3n}}{2}\)
  10. একটি অনুক্রমের \(n\)‑তম পদ \(u_n = \dfrac{1}{n}\)। 

    (ক) \(u_n < 10^{-5}\) হলে, \(n\) এর মান কিরূপ হবে? 
    (খ) \(u_n > 10^{-5}\) হলে, \(n\) এর মান কিরূপ হবে? 
    (গ) \(u_n\) এর প্রতীয়মান মান (\(n\) যথেষ্ট বড় হলে) সম্পর্কে কি বলা যায়?
  11. প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারার (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে, তবে তা নির্ণয় কর —
    1. (ক) \(1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots\)
    2. (খ) \(\dfrac{1}{5^2} + \dfrac{2}{5^3} + \dfrac{4}{5^4} + \dfrac{8}{5^5} + \ldots\)
    3. (গ) \(8 + 2 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{32} + \ldots\)
    4. (ঘ) \(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots\)
    5. (ঙ) \(\dfrac{1}{2} + \left(-\dfrac{1}{4}\right) + \dfrac{1}{8} + \left(-\dfrac{1}{16}\right) + \ldots\)
  12. নিচের ধারাগুলোর প্রথম \(n\) সংখ্যক পদের যোগফল নির্ণয় কর —
    1. (ক) \(7 + 77 + 777 + \ldots\)
    2. (খ) \(5 + 55 + 555 + \ldots\)
  13. \(x\)‑এর উপর কি শর্ত আরোপ করে \(\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{(x + 1)^2} + \dfrac{1}{(x + 1)^3} + \ldots\)  অসীম ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।
  14. প্রদত্ত পৌনঃপুনিক দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে ভুলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ কর —
    1. (ক) \(0.\dot{2}\dot{7}\)
    2. (খ) \(2.\dot{3}0\dot{5}\)
    3. (গ) \(0.0\dot{1}2\dot{3}\)
    4. (ঘ) \(3.0\dot{4}0\dot{3}\)
  15. \(a + ab + ab^2 + \ldots\) একটি গুণোত্তর ধারা। 

    (ক) ধারাটির \(n\)‑তম পদ নির্ণয় কর। 
    (খ) \(a = 1\) এবং \(b = \dfrac{1}{2}\) হলে,  ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি থাকে তবে তা নির্ণয় কর। 
    (গ) \(a\) এর স্থলে \(3\), \(ab\) এর স্থলে \(33\) এবং \(ab^2\) এর স্থলে \(333\) রাখলে যে ধারা পাওয়া যায়  তার প্রথম \(n\) সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
  16. একটি গুণোত্তর ধারার তিনটি ক্রমিক পদের সমষ্টি \(24\dfrac{4}{5}\) এবং গুণফল \(64\)। 

    (ক) উল্লিখিত আলোকে দুটি সমীকরণ গঠন কর। 
    (খ) ধারার প্রথম পদ ও সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর। 
    (গ) সাধারণ অনুপাত \(\dfrac{1}{5}\) হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় কর।
  17. চারটি কুকুর এক কিলোমিটার বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের চার কোণায় দাঁড়িয়ে আছে।  এবার প্রতিটি কুকুর একই বেগে তার সন্নিকট ডানদিকের কুকুরের দিকে চোখ বেঁধে অর্ধেক দূরত্ব অতিক্রম করে।  চোখ খুলেই আবার তার অবস্থিতে অবস্থিত কুকুরের দিকে একইভাবে অর্ধেক দূরত্ব দৌড়ায়। 

    (ক) এভাবে দৌড়াতে থাকলে পরিশেষে কুকুরগুলোর অবস্থান কি হবে? তারা পরস্পরে কত দূরত্বে বা অতির্ষক করে? 
    (খ) অর্ধেক দূরত্ব পর দিক পরিবর্তন না করে যদি \(\dfrac{1}{5}\) ভাগ অতিক্রম করে দিক পরিবর্তন করে,  তাহলে উপরের প্রশ্নের উত্তর দাও। 
    (গ) ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র না হয়ে যদি সমবাহু ত্রিভুজ হতো তাহলে উপরের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
সূত্র