৩.১ পিথাগোরাস উপপাদ্য ও সম্পর্কিত জ্যামিতিক উপপাদ্যসমূহ
পিথাগোরাস উপপাদ্য জ্যামিতির অন্যতম মৌলিক উপপাদ্য যা সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে। এই অধ্যায়ে আমরা পিথাগোরাস উপপাদ্য, এর বিপরীত উপপাদ্য, অভিলম্ব প্রক্ষেপ (Orthogonal Projection) এর ধারণা এবং অ্যাপোলোনিয়াস উপপাদ্য (Apollonius Theorem) সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব।
পিথাগোরাস উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)
উপপাদ্য:
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল অন্য দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান।
$$\text{অতিভুজ}^2 = \text{ভূমি}^2 + \text{লম্ব}^2$$
অর্থাৎ, \( \triangle ABC \) এ যেখানে \( \angle B = 90^\circ \), তবে: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$
প্রমাণ (বৃহৎ বর্গ পদ্ধতি)
চতুর্ভুজ \( ABCD \) এর চার কোণ সমকোণ এবং \( AB = BC = CD = DA = c \) (অতিভুজ) হলে, এটি একটি বর্গ। এর ভিতরে চারটি সমরূপ সমকোণী ত্রিভুজ রাখা আছে যাদের কर्ण \( c \) এবং অন্য দুই বাহু \( a \) ও \( b \)।
- বড় বর্গের ক্ষেত্রফল \( = c^2 \)
- চারটি ত্রিভুজের মোট ক্ষেত্রফল \( = 4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab \)
- ভিতরের ছোট বর্গের ক্ষেত্রফল \( = (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) (ধরি \( a > b \))
সুতরাং, \( c^2 = 2ab + (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + b^2 \)
বিপরীত পিথাগোরাস উপপাদ্য (Converse of Pythagoras Theorem)
যদি একটি ত্রিভুজের যে কোনো বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল অন্য দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান হয়, তবে প্রথম বাহুটির বিপরীত কোণ সমকোণ হবে।
অর্থাৎ, \( \triangle ABC \) এ যদি \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \) হয়, তবে \( \angle B = 90^\circ \)।
সম্প্রসারিত পিথাগোরাস উপপাদ্য (Extended Pythagoras Theorem)
তীব্রকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে: অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল < বাকি দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের যোগফল।
স্থূলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে: অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল > বাকি দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের যোগফল।
সমকোণী ত্রিভুজের জ্যামিতিক উপপাদ্যসমূহ
সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের উপর অঙ্কিত লম্বের সাহায্যে তিনটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য পাওয়া যায়, যা পিথাগোরাস উপপাদ্যের সাথে সম্পর্কযুক্ত।
১. অতিভুজের উপর লম্ব সংক্রান্ত উপপাদ্য (Altitude Theorem)
সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের উপর অঙ্কিত লম্ব দৈর্ঘ্যের বর্গ অতিভুজ কর্তৃক সৃষ্ট দুই অনুভাগের গুণফলের সমান।
ধরি \( \triangle ABC \) এ \( \angle B = 90^\circ \) এবং \( BD \perp AC \) যেখানে \( D \) বিন্দু \( AC \) এর উপর।
$$BD^2 = AD \times DC$$
প্রমাণ: \( \triangle ABD \sim \triangle BDC \) (AA সাদৃশ্য) হওয়ায় অনুপাতিক বাহুগুলোর সম্পর্ক থেকে প্রমাণটি সহজেই পাওয়া যায়।
২. বাহু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Leg Theorem)
সমকোণী ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর বর্গ ঐ বাহুর অতিভুজের উপর প্রক্ষেপের সাথে অতিভুজের গুণফলের সমান।
$$AB^2 = AD \times AC$$ $$BC^2 = CD \times CA$$
উদাহরণ:
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ সেমি এবং অতিভুজের উপর লম্ব ১২ সেমি হলে ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি অতিভুজের খণ্ডদ্বয় \( p \) ও \( q \) এবং \( p + q = 25 \)
আমরা জানি, লম্বের বর্গ \( = p \times q \)
বা, \( 12^2 = p \times q \Rightarrow pq = 144 \)
এবং \( p + q = 25 \)
সমাধান করে পাই \( p = 16, q = 9 \) বা \( p = 9, q = 16 \)
তাহলে একটি বাহু \( = \sqrt{25 \times 16} = 20 \) সেমি
অপর বাহু \( = \sqrt{25 \times 9} = 15 \) সেমি
অভিলম্ব প্রক্ষেপ (Orthogonal Projection)
সংজ্ঞা
একটি বিন্দু \( P \) থেকে সরলরেখা \( AB \) এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু \( Q \) হলে, \( Q \) বিন্দুকে \( P \) বিন্দুর \( AB \) রেখার উপর অভিলম্ব প্রক্ষেপ বলে। \( PQ \) দূরত্বকে বলা হয় প্রক্ষেপের দৈর্ঘ্য।
রেখাংশ \( PQ \) এর উপর \( AB \) রেখার উপর প্রক্ষেপ হলো \( P_1Q_1 \) যেখানে \( P_1 \) ও \( Q_1 \) যথাক্রমে \( P \) ও \( Q \) এর প্রক্ষেপ বিন্দু।
সমকোণী ত্রিভুজে প্রক্ষেপ
সমকোণী ত্রিভুজ \( ABC \) (\( \angle B = 90^\circ \)) এ অতিভুজ \( AC \) এর উপর \( B \) বিন্দুর প্রক্ষেপ \( D \) হলে:
- \( AD \) হলো বাহু \( AB \) এর \( AC \) এর উপর প্রক্ষেপ
- \( DC \) হলো বাহু \( BC \) এর \( AC \) এর উপর প্রক্ষেপ
এই প্রক্ষেপের ধারণা ব্যবহার করে উপরোক্ত জ্যামিতিক উপপাদ্যগুলো প্রমাণ করা হয়।
অ্যাপোলোনিয়াস উপপাদ্য (Apollonius Theorem)
উপপাদ্য:
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর বর্গের যোগফল = দ্বিগুণ (তৃতীয় বাহুর মধ্যবিন্দু হতে অঙ্কিত মধ্যরেখার বর্গ + অর্ধেক তৃতীয় বাহুর বর্গ)
অর্থাৎ, \( \triangle ABC \) এ \( D \) হলো \( BC \) এর মধ্যবিন্দু, তবে:
$$AB^2 + AC^2 = 2\left(AD^2 + BD^2\right)$$
অথবা, যেহেতু \( BD = \frac{BC}{2} \): $$AB^2 + AC^2 = 2\left(AD^2 + \frac{BC^2}{4}\right) = 2AD^2 + \frac{BC^2}{2}$$
প্রমাণ (পিথাগোরাস উপপাদ্য ব্যবহার করে)
ধরি \( \triangle ABC \) এ \( D \) বিন্দু \( BC \) এর মধ্যবিন্দু এবং \( AE \perp BC \)।
পিথাগোরাস উপপাদ্য প্রয়োগ করে:
- \( \triangle ABE \) হতে: \( AB^2 = AE^2 + BE^2 = AE^2 + (BD + DE)^2 \)
- \( \triangle ACE \) হতে: \( AC^2 = AE^2 + CE^2 = AE^2 + (CD - DE)^2 = AE^2 + (BD - DE)^2 \) (যেহেতু \( BD = CD \))
যোগ করলে: $$AB^2 + AC^2 = 2AE^2 + (BD + DE)^2 + (BD - DE)^2$$ $$= 2AE^2 + 2(BD^2 + DE^2)$$ $$= 2(AE^2 + DE^2) + 2BD^2$$ $$= 2AD^2 + 2BD^2$$ (কারণ \( \triangle ADE \) এ \( AD^2 = AE^2 + DE^2 \))
সুতরাং, \( AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2) \) [প্রমাণিত]
বিশেষ ক্ষেত্র: সমকোণী ত্রিভুজ
যদি \( \triangle ABC \) সমকোণী হয় (\( \angle A = 90^\circ \)) এবং \( AD \) মধ্যমা হয়, তবে:
$$BC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$$
কিন্তু \( BC = 2BD \) হওয়ায় \( BC^2 = 4BD^2 \)
সুতরাং, \( 4BD^2 = 2AD^2 + 2BD^2 \Rightarrow 2BD^2 = 2AD^2 \Rightarrow AD = BD = CD \)
অ্যাপোলোনিয়াস উপপাদ্যের প্রয়োগ
উদাহরণ:
একটি ত্রিভুজের দুই বাহু ৫ সেমি ও ৭ সেমি এবং তৃতীয় বাহুর উপর মধ্যমা ৪ সেমি হলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি তৃতীয় বাহু \( BC = 2x \) এবং মধ্যমা \( AD = 4 \)
অ্যাপোলোনিয়াস উপপাদ্য অনুসারে:
\( 5^2 + 7^2 = 2(4^2 + x^2) \)
বা, \( 25 + 49 = 2(16 + x^2) \)
বা, \( 74 = 32 + 2x^2 \)
বা, \( 2x^2 = 42 \Rightarrow x^2 = 21 \Rightarrow x = \sqrt{21} \)
সুতরাং \( BC = 2\sqrt{21} \) সেমি।
স্টুয়ার্ট উপপাদ্য (Stewart's Theorem) - অতিরিক্ত
অ্যাপোলোনিয়াস উপপাদ্যের সাধারণীকরণ হলো স্টুয়ার্ট উপপাদ্য। যদি \( D \) বিন্দু \( BC \) কে \( m:n \) অনুপাতে বিভক্ত করে, তবে:
$$n \cdot AB^2 + m \cdot AC^2 = (m+n)(AD^2 + BD \cdot DC)$$
বিশেষভাবে, যখন \( D \) মধ্যবিন্দু (\( m = n \)), তখন এটি অ্যাপোলোনিয়াস উপপাদ্যে পরিণত হয়।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- পিথাগোরাস: সমকোণী ত্রিভুজে \( \text{অতিভুজ}^2 = \text{ভূমি}^2 + \text{লম্ব}^2 \)
- বিপরীত: যদি \( c^2 = a^2 + b^2 \) হয় তবে সমকোণী ত্রিভুজ।
- জ্যামিতিক মান: অতিভুজের উপর লম্বের বর্গ = অতিভুজের খণ্ডদ্বয়ের গুণফল।
- অভিলম্ব প্রক্ষেপ: একটি বিন্দুর কোনো সরলরেখার উপর লম্ব পাদবিন্দুকে প্রক্ষেপ বলে।
- অ্যাপোলোনিয়াস: \( AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2) \), যেখানে \( AD \) মধ্যমা।
- সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যমা = অর্ধেক অতিভুজ।