৮.২ ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (Trigonometric Ratios)
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios) হলো সমকোণী ত্রিভুজের বিভিন্ন বাহুর মধ্যকার অনুপাত। এই অনুপাতগুলোর মাধ্যমে ত্রিভুজের অজ্ঞাত বাহু ও কোণ নির্ণয় করা যায়। এই অধ্যায়ে আমরা ছয়টি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক অনুপাত, তাদের পারস্পরিক সম্পর্ক, বিশেষ কোণের মান এবং চতুর্ভাগে চিহ্ন নিয়ে আলোচনা করব।
সংজ্ঞা ও মৌলিক ধারণা
সমকোণী ত্রিভুজে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:
ধরি \( \triangle ABC \) একটি সমকোণী ত্রিভুজ যেখানে \( \angle B = 90^\circ \) এবং \( \angle C = \theta \) একটি সূক্ষ্মকোণ।
- অতিভুজ (Hypotenuse): সমকোণের বিপরীত বাহু \( AC \)
- ভূমি (Base): কোণ \( \theta \) এর ভিত্তি \( BC \)
- লম্ব (Perpendicular): কোণ \( \theta \) এর বিপরীত বাহু \( AB \)
ছয়টি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
| অনুপাত | সংক্ষিপ্ত রূপ | সংজ্ঞা (বাংলা) | বীজগাণিতিক সম্পর্ক |
|---|---|---|---|
| সাইন (Sine) | \( \sin \theta \) | লম্ব / অতিভুজ | \( \frac{AB}{AC} \) |
| কোসাইন (Cosine) | \( \cos \theta \) | ভূমি / অতিভুজ | \( \frac{BC}{AC} \) |
| ট্যানাজেন্ট (Tangent) | \( \tan \theta \) | লম্ব / ভূমি | \( \frac{AB}{BC} \) |
| কোট্যানাজেন্ট (Cotangent) | \( \cot \theta \) | ভূমি / লম্ব | \( \frac{BC}{AB} \) |
| সেক্যান্ট (Secant) | \( \sec \theta \) | অতিভুজ / ভূমি | \( \frac{AC}{BC} \) |
| কোসেক্যান্ট (Cosecant) | \( \csc \theta \) বা \( \cosec \theta \) | অতিভুজ / লম্ব | \( \frac{AC}{AB} \) |
- সইন = লম্ব / অতিভুজ (সলঅ)
- কোসাইন = ভূমি / অতিভুজ (কোভূঅ)
- ট্যানাজেন্ট = লম্ব / ভূমি (টলভূ)
পারস্পরিক সম্পর্ক (Reciprocal Relations)
ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মধ্যে নিম্নলিখিত পারস্পরিক সম্পর্ক বিদ্যমান:
- \( \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \) অথবা \( \sin \theta \cdot \csc \theta = 1 \)
- \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \) অথবা \( \cos \theta \cdot \sec \theta = 1 \)
- \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \) অথবা \( \tan \theta \cdot \cot \theta = 1 \)
অনুপাতের সম্পর্ক
$$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $$ $$ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} $$
উদাহরণ:
প্রমাণ করুন যে \( \tan \theta \cdot \sin \theta + \cos \theta = \sec \theta \)
সমাধান:
বামপক্ষ \( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \sin \theta + \cos \theta \)
\( = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta \)
\( = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos \theta} \)
\( = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta = \) ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
পিথাগোরাসীয় সূত্রাবলী (Pythagorean Identities)
পিথাগোরাস উপপাদ্য \( (\text{লম্ব})^2 + (\text{ভূমি})^2 = (\text{অতিভুজ})^2 \) থেকে নিম্নলিখিত তিনটি মৌলিক সূত্র পাওয়া যায়:
-
প্রথম সূত্র:
$$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$
- বিকল্প রূপ: \( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \)
- বিকল্প রূপ: \( \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \)
-
দ্বিতীয় সূত্র:
$$ 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta $$
- বিকল্প রূপ: \( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \)
- বিকল্প রূপ: \( \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \)
-
তৃতীয় সূত্র:
$$ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta $$
- বিকল্প রূপ: \( \csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1 \)
- বিকল্প রূপ: \( \cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1 \)
বিশেষ কোণের ত্রিকোণমিতিক মান (Standard Angles)
নিচের ছকে \( 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ \) কোণগুলোর ত্রিকোণমিতিক মান দেওয়া হলো:
| কোণ (\( \theta \)) | \( 0^\circ \) | \( 30^\circ \) | \( 45^\circ \) | \( 60^\circ \) | \( 90^\circ \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( \sin \theta \) | \( 0 \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( 1 \) |
| \( \cos \theta \) | \( 1 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( 0 \) |
| \( \tan \theta \) | \( 0 \) | \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) | \( 1 \) | \( \sqrt{3} \) | \( \infty \) (অসংজ্ঞায়িত) |
| \( \cot \theta \) | \( \infty \) | \( \sqrt{3} \) | \( 1 \) | \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) | \( 0 \) |
| \( \sec \theta \) | \( 1 \) | \( \frac{2}{\sqrt{3}} \) | \( \sqrt{2} \) | \( 2 \) | \( \infty \) |
| \( \csc \theta \) | \( \infty \) | \( 2 \) | \( \sqrt{2} \) | \( \frac{2}{\sqrt{3}} \) | \( 1 \) |
- \( \sin \) এর মান: \( 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \) (বৃদ্ধিশীল)
- \( \cos \) এর মান: \( 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, 0 \) (হ্রাসশীল)
- \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) থেকে অন্য মানগুলো সহজে পাওয়া যায়
পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Complementary Angles)
দুটি কোণের সমষ্টি \( 90^\circ \) হলে তারা পরস্পরের পূরক কোণ (Complementary Angles)। যদি \( \theta \) একটি সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে \( (90^\circ - \theta) \) তার পূরক কোণ।
পূরক কোণের সম্পর্কসমূহ
- \( \sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta \)
- \( \cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta \)
- \( \tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta \)
- \( \cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta \)
- \( \sec(90^\circ - \theta) = \csc \theta \)
- \( \csc(90^\circ - \theta) = \sec \theta \)
উদাহরণ:
\( \sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \tan 45^\circ = \cot 45^\circ = 1 \)
\( \sec 60^\circ = \csc 30^\circ = 2 \)
চতুর্ভাগে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের চিহ্ন (Signs in Quadrants)
কোণের মান \( 0^\circ \) থেকে \( 360^\circ \) এর বেশি হলে বা ঋণাত্মক হলে বিভিন্ন চতুর্ভাগে অনুপাতগুলোর চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।
চতুর্ভাগ নির্ণয়
- প্রথম চতুর্ভাগ: \( 0^\circ < \theta < 90^\circ \) — সব অনুপাত ধনাত্মক
- দ্বিতীয় চতুর্ভাগ: \( 90^\circ < \theta < 180^\circ \) — শুধু \( \sin \) ও \( \csc \) ধনাত্মক
- তৃতীয় চতুর্ভাগ: \( 180^\circ < \theta < 270^\circ \) — শুধু \( \tan \) ও \( \cot \) ধনাত্মক
- চতুর্থ চতুর্ভাগ: \( 270^\circ < \theta < 360^\circ \) — শুধু \( \cos \) ও \( \sec \) ধনাত্মক
- All (সব) — প্রথম চতুর্ভাগে সব ধনাত্মক
- Sine (সাইন) — দ্বিতীয় চতুর্ভাগে সাইন ধনাত্মক
- Tangent (ট্যানাজেন্ট) — তৃতীয় চতুর্ভাগে ট্যানাজেন্ট ধনাত্মক
- Cosine (কোসাইন) — চতুর্থ চতুর্ভাগে কোসাইন ধনাত্মক
যুগ্ম কোণের সম্পর্ক ( allied angles)
দ্বিতীয় চতুর্ভাগ (\( 180^\circ - \theta \)):
- \( \sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta \)
- \( \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta \)
- \( \tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta \)
তৃতীয় চতুর্ভাগ (\( 180^\circ + \theta \)):
- \( \sin(180^\circ + \theta) = -\sin \theta \)
- \( \cos(180^\circ + \theta) = -\cos \theta \)
- \( \tan(180^\circ + \theta) = \tan \theta \)
চতুর্থ চতুর্ভাগ (\( 360^\circ - \theta \) বা \( -\theta \)):
- \( \sin(360^\circ - \theta) = -\sin \theta \)
- \( \cos(360^\circ - \theta) = \cos \theta \)
- \( \tan(360^\circ - \theta) = -\tan \theta \)
ঋণাত্মক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
ঋণাত্মক কোণের জন্য নিম্নলিখিত সূত্র প্রযোজ্য:
- \( \sin(-\theta) = -\sin \theta \) (বিজোড় ফাংশন)
- \( \cos(-\theta) = \cos \theta \) (জোড় ফাংশন)
- \( \tan(-\theta) = -\tan \theta \) (বিজোড় ফাংশন)
\( \sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} \)
\( \cos(-45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- সংজ্ঞা: \( \sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} \), \( \cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} \), \( \tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} \)
- পারস্পরিক সম্পর্ক: \( \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \), \( \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \), \( \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} \)
- পিথাগোরাসীয় সূত্র: \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \), \( 1+\tan^2\theta = \sec^2\theta \), \( 1+\cot^2\theta = \csc^2\theta \)
- পূরক কোণ: \( \sin(90^\circ-\theta) = \cos\theta \), \( \cos(90^\circ-\theta) = \sin\theta \), \( \tan(90^\circ-\theta) = \cot\theta \)
- চতুর্ভাগে চিহ্ন (ASTC): ১মে সব, ২য়ে সাইন, ৩য়ে ট্যানাজেন্ট, ৪র্থে কোসাইন ধনাত্মক
- ঋণাত্মক কোণ: \( \sin(-\theta) = -\sin\theta \), \( \cos(-\theta) = \cos\theta \)