হোম / বই / নবম দশম শ্রেণী / উচ্চতর গণিত / সমতলীয় ভেক্টর /
সমতলীয় ভেক্টর
/ অনুশীলনী
  1. \(AB \parallel DC\) হলে —
    1. (i) \(\overrightarrow{AB} = m \cdot \overrightarrow{DC}\), যেখানে \(m\) একটি স্কেলার রাশি
    2. (ii) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
    3. (iii) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OD}\)
    উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
    1. (ক) i
    2. (খ) ii
    3. (গ) i ও ii
    4. (ঘ) i, ii ও iii
  2. দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে —
    1. (i) এদের যোগের ক্ষেত্রে সামান্তরিক বিধি প্রযোজ্য
    2. (ii) এদের যোগের ক্ষেত্রে ত্রিভুজবিধি প্রযোজ্য
    3. (iii) এদের দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান
    উপরের তথ্য অনুসারে নীচের কোনটি সঠিক
    1. i
    2. ii
    3. i, ii
    4. i, ii, iii
  3. \(AB = CD\) এবং \(AB \parallel CD\) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
    1. (ক) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)
    2. (খ) \(\overrightarrow{AB} = m \cdot \overrightarrow{CD}\), যেখানে \(m > 1\)
    3. (গ) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} < 0\)
    4. (ঘ) \(\overrightarrow{AB} + m \cdot \overrightarrow{CD} = 0\), যেখানে \(m > 1\)

    4. নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ


    \(AB\) রেখাখণ্ডের ওপর যেকোনো বিন্দু \(C\) এবং কোনো ভেক্টর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে \(A, B\) ও \(C\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(a, b,\) এবং \(c\)।

  4. \(\overrightarrow{AA}\) ভেক্টর হচ্ছে —
    1. (i) বিন্দু ভেক্টর
    2. (ii) একক ভেক্টর
    3. (iii) শূন্য ভেক্টর
    নিচের কোনটি সঠিক?
    1. (ক) i, ii
    2. (খ) ii, iii
    3. (গ) i, iii
    4. (ঘ) i, ii, iii
  5. \(\triangle ABC\)-এর ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
    1. (ক) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}\)
    2. (খ) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\)
    3. (গ) \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA} = 0\)
    4. (ঘ) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = 0\)
  6. \(ABCD\) সামান্তরকের কর্ণদ্বয় \(AC\) ও \(BD\) হলে \(\overrightarrow{AB}\) ও \(\overrightarrow{AC}\) ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ কর এবং দেখাও যে \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC} \quad \text{এবং} \quad \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{AB}. \]
  7. দেখাও যে,
    1. (ক) \(-(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = -\mathbf{a} - \mathbf{b}\)
    2. (খ) যদি \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{c}\) হয়, তবে \(\mathbf{a} = \mathbf{c} - \mathbf{b}\)
  8. দেখাও যে,
    1. (ক) \(\mathbf{a} + \mathbf{a} = 2\mathbf{a}\)
    2. (খ) \(m(\mathbf{a} - \mathbf{b}) = m\mathbf{a} - m\mathbf{b}\)
  9. দেখাও যে,
    1. (ক) যদি \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\) পরস্পর অনুলম্ব ভেক্টর হয়, তবে \(\mathbf{a} = m\mathbf{b}\) হতে পারে কেবলমাত্র যদি \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\) এর সমান্তরাল হয়।
    2. (খ) যদি \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\) পরস্পর অসমান্তরাল ভেক্টর হয় এবং \(m\mathbf{a} + n\mathbf{b} = 0\) হয়, তবে \(m = n = 0\)।
  10. \(A, B, C, D\) বিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d}\) হলে দেখাও যে, \(ABCD\) সামান্তরিক হবে যদি এবং কেবল যদি \(\mathbf{b} - \mathbf{a} = \mathbf{c} - \mathbf{d}\) হয়।
  11. ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের এক বাহুর মধ্যবিন্দু থেকে অঙ্কিত অপর বাহুর সমান্তরাল রেখাটি তৃতীয় বাহুর মধ্যবিন্দু মিলিত।
  12. প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তা একটি সামান্তরিক হয়।
  13. ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাটি সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের যোগফলের অর্ধেক।
  14. ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাটি সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের বিয়োগফলের অর্ধেক।
  15. \(\triangle ABC\)-এর \(AB\) ও \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D\) ও \(E\)।
    1. (ক) \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}\) কে \(\overrightarrow{AC}\) ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
    2. (খ) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \(BC \parallel DE\) এবং \(DE = \frac{1}{2}BC\)।
    3. (গ) যদি \(BCED\) ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(M\) ও \(N\) হয়, তবে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \(MN \parallel DE \parallel BC\) এবং \(MN = \frac{1}{2}(BC - DE)\)।
  16. \(\triangle ABC\)-এর \(BC, CA\) ও \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D, E, F\)।
    1. (ক) \(\triangle ABC\)-কে \(BE\) ও \(CF\) ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
    2. (খ) প্রমাণ কর যে, \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = 0\)।
    3. (গ) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, \( F \) বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত \(BC\)-এর সমান্তরাল রেখা অবশ্যই \( E\) বিন্দু গামি হবে।
সূত্র