১১.৪ সরলরেখার সমীকরণ (Equations of Straight Lines)
স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে সরলরেখাকে বিভিন্নভাবে প্রকাশ করা যায়। ঢাল, বিন্দু বা অবরোধের সাহায্যে সরলরেখার সমীকরণ নির্ধারণের বিভিন্ন পদ্ধতি এবং বিন্দু হতে সরলরেখার দূরত্ব, সমান্তরাল রেখার মধ্যকার দূরত্ব ইত্যাদি এই অধ্যায়ের মূল বিষয়বস্তু।
১. ঢাল-অবরোধ রূপ (Slope-Intercept Form)
সূত্র:
যদি কোনো সরলরেখার ঢাল \( m \) এবং \( y \)-অক্ষের উপর অবরোধ (intercept) \( c \) হয়, তবে রেখাটির সমীকরণ: \[ y = mx + c \]
যেখানে:
- \( m \) = রেখার ঢাল (slope)
- \( c \) = \( y \)-অক্ষের উপর অবরোধ (রেখাটি \( y \)-অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার কোটি)
- যদি \( c = 0 \), তবে \( y = mx \) (উৎপত্তি গামী রেখা)।
- যদি \( m = 0 \), তবে \( y = c \) (\( x \)-অক্ষের সমান্তরাল রেখা)।
উদাহরণ:
ঢাল ৩ এবং \( y \)-অক্ষের উপর অবরোধ \( -২ \) এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
এখানে \( m = 3 \) এবং \( c = -2 \)
সমীকরণ: \( y = 3x - 2 \)
বা \( 3x - y - 2 = 0 \)
২. বিন্দু-ঢাল রূপ (Point-Slope Form)
সূত্র:
যদি কোনো সরলরেখা বিন্দু \( (x_1, y_1) \) দিয়ে যায় এবং এর ঢাল \( m \) হয়, তবে সমীকরণ: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
উদাহরণ:
বিন্দু \( (2, 3) \) দিয়ে যায় এবং ঢাল \( ২ \) এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( y - 3 = 2(x - 2) \)
\( y - 3 = 2x - 4 \)
\( 2x - y - 1 = 0 \)
৩. দ্বি-বিন্দু রূপ (Two-Point Form)
সূত্র:
যদি কোনো সরলরেখা \( (x_1, y_1) \) এবং \( (x_2, y_2) \) বিন্দুদ্বয় দিয়ে যায়, তবে সমীকরণ: \[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]
অথবা: \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \]
যেখানে \( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) হলো রেখার ঢাল \( m \)।
উদাহরণ:
\( (1, 2) \) এবং \( (3, 8) \) বিন্দুদ্বয় দিয়ে যায় এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
ঢাল \( m = \frac{8-2}{3-1} = \frac{6}{2} = 3 \)
\( y - 2 = 3(x - 1) \)
\( y - 2 = 3x - 3 \)
\( 3x - y - 1 = 0 \)
৪. অবরোধ রূপ (Intercept Form)
সূত্র:
যদি কোনো সরলরেখা \( x \)-অক্ষের উপর অবরোধ \( a \) এবং \( y \)-অক্ষের উপর অবরোধ \( b \) করে, তবে সমীকরণ: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]
যেখানে:
- রেখাটি \( x \)-অক্ষকে \( (a, 0) \) বিন্দুতে ছেদ করে
- রেখাটি \( y \)-অক্ষকে \( (0, b) \) বিন্দুতে ছেদ করে
উদাহরণ:
\( x \)-অক্ষের উপর অবরোধ ৪ এবং \( y \)-অক্ষের উপর অবরোধ ৩ এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 \)
বা \( 3x + 4y = 12 \)
বা \( 3x + 4y - 12 = 0 \)
৫. লম্ব রূপ বা স্বাভাবিক রূপ (Normal Form)
সূত্র:
যদি উৎপত্তি হতে রেখার লম্ব দূরত্ব \( p \) এবং ঐ লম্ব রেখাটি \( x \)-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \( \alpha \) কোণ উৎপন্ন করে, তবে: \[ x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \]
৬. সাধারণ রূপ (General Form)
সূত্র:
সরলরেখার সর্বাধিক সাধারণ সমীকরণ: \[ ax + by + c = 0 \]
যেখানে \( a, b, c \) বাস্তব ধ্রুবক এবং \( a \) ও \( b \) একসাথে শূন্য নয়।
সাধারণ রূপ হতে বিভিন্ন তথ্য নির্ণয়
- ঢাল: \( m = -\frac{a}{b} = -\frac{\text{কোটিের সহগ}}{\text{ভুজের সহগ}} \) (যখন \( b \neq 0 \))
- \( x \)-অক্ষের উপর অবরোধ: \( -\frac{c}{a} \) (যখন \( a \neq 0 \))
- \( y \)-অক্ষের উপর অবরোধ: \( -\frac{c}{b} \) (যখন \( b \neq 0 \))
উদাহরণ:
\( 2x - 3y + 6 = 0 \) রেখার ঢাল এবং অবরোধগুলো নির্ণয় কর।
সমাধান:
ঢাল \( m = -\frac{2}{-3} = \frac{2}{3} \)
\( x \)-অক্ষের উপর অবরোধ: \( y = 0 \) বসালে \( 2x + 6 = 0 \) বা \( x = -3 \)
\( y \)-অক্ষের উপর অবরোধ: \( x = 0 \) বসালে \( -3y + 6 = 0 \) বা \( y = 2 \)
বিন্দু হতে সরলরেখার দূরত্ব (Distance of a Point from a Line)
সূত্র:
বিন্দু \( (x_1, y_1) \) হতে সরলরেখা \( ax + by + c = 0 \) এর দূরত্ব: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
- লম্ব দূরত্ব সর্বদা ধনাত্মক, তাই সর্বদা চিহ্ন বিবেচনা না করে (modulus) ধনাত্মক মান নিতে হবে।
- উৎপত্তি \( (0, 0) \) হতে দূরত্ব \( = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
উদাহরণ:
বিন্দু \( (3, -2) \) হতে সরলরেখা \( 4x - 3y + 5 = 0 \) এর দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( a = 4, b = -3, c = 5 \)
\( d = \frac{|4(3) + (-3)(-2) + 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} \)
\( = \frac{|12 + 6 + 5|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{23}{5} = 4.6 \)
সমান্তরাল রেখার মধ্যকার দূরত্ব (Distance between Parallel Lines)
সূত্র:
দুই সমান্তরাল রেখা: \[ ax + by + c_1 = 0 \] \[ ax + by + c_2 = 0 \] (লক্ষ্য করুন \( a \) এবং \( b \) একই, শুধু \( c \) ভিন্ন)
তাদের মধ্যকার দূরত্ব: \[ d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
উদাহরণ:
\( 3x - 4y + 7 = 0 \) এবং \( 3x - 4y - 5 = 0 \) রেখাদ্বয়ের মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান:
\( a = 3, b = -4, c_1 = 7, c_2 = -5 \)
\( d = \frac{|7 - (-5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{12}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2.4 \)
কোণ সমদ্বিখণ্ডক (Angle Bisectors)
দুই সরলরেখা \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) এবং \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) এর কোণ সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ: \[ \frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}} \]
ধনাত্মক চিহ্ন একটি কোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং ঋণাত্মক চিহ্ন অপর কোণের সমদ্বিখণ্ডক দেয়।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- ঢাল-অবরোধ রূপ: \( y = mx + c \)
- বিন্দু-ঢাল রূপ: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
- দ্বি-বিন্দু রূপ: \( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)
- অবরোধ রূপ: \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)
-
সাধারণ রূপ: \( ax + by + c = 0 \)
- ঢাল \( = -\frac{a}{b} \)
- \( x \)-অবরোধ \( = -\frac{c}{a} \)
- \( y \)-অবরোধ \( = -\frac{c}{b} \)
- বিন্দু হতে দূরত্ব: \( d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
- সমান্তরাল রেখার মধ্যকার দূরত্ব: \( d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)