৬.২ অসমতার ব্যবহার (Applications of Inequalities)

অসমতা শুধু তাত্ত্বিক গণিতেই নয়, বাস্তব জীবনের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানেও ব্যবহৃত হয়। এই অধ্যায়ে আমরা ফাংশনের ডোমেইন নির্ণয়, দ্বিঘাত অসমতা সমাধানের পদ্ধতি, ত্রিভুজের অসমতা, সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় এবং বিভিন্ন বীজগাণিতিক প্রমাণে অসমতার প্রয়োগ শিখব।

ফাংশনের ডোমেইন নির্ণয়ে অসমতার ব্যবহার

কোনো ফাংশনের ডোমেইন (Domain) নির্ণয় করতে হলে অসমতার সাহায্য নিতে হয়, বিশেষ করে যখন ফাংশনের মধ্যে বর্গমূল, লগারিদম বা ভগ্নাংশ থাকে।

১. বর্গমূল ফাংশনের ডোমেইন

যদি \( f(x) = \sqrt{g(x)} \) হয়, তবে ডোমেইন নির্ণয়ের শর্ত: $$g(x) \geq 0$$ (বর্গমূলের নিচে ঋণাত্মক সংখ্যা বাস্তবে সংজ্ঞায়িত নয়)

উদাহরণ ১:

\( f(x) = \sqrt{x-3} \) এর ডোমেইন নির্ণয় কর।

সমাধান:

শর্ত: \( x - 3 \geq 0 \)

বা, \( x \geq 3 \)

ডোমেইন: \( [3, \infty) \) বা \( \{x \in \mathbb{R} : x \geq 3\} \)

উদাহরণ ২:

\( f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6} \) এর ডোমেইন নির্ণয় কর।

সমাধান:

শর্ত: \( x^2 - 5x + 6 \geq 0 \)

বা, \( (x-2)(x-3) \geq 0 \)

চিহ্ন বিশ্লেষণ:

  • \( x < 2 \): উভয় গুণনীয়ক ঋণাত্মক, গুণফল ধনাত্মক (+)
  • \( 2 < x < 3 \): একটা ধনাত্মক, একটা ঋণাত্মক, গুণফল ঋণাত্মক (-)
  • \( x > 3 \): উভয় ধনাত্মক, গুণফল ধনাত্মক (+)

অসমতা সatisfied হয় যখন \( x \leq 2 \) অথবা \( x \geq 3 \)

ডোমেইন: \( (-\infty, 2] \cup [3, \infty) \)

২. লগারিদম ফাংশনের ডোমেইন

যদি \( f(x) = \log_a g(x) \) হয়, তবে ডোমেইন নির্ণয়ের শর্ত: $$g(x) > 0$$ (লগারিদমের আর্গুমেন্ট শুধু ধনাত্মক হতে পারে)

উদাহরণ:

\( f(x) = \log_{10}(2x-4) \) এর ডোমেইন নির্ণয় কর।

সমাধান:

শর্ত: \( 2x - 4 > 0 \) (কঠোর অসমতা, কারণ শূন্য হতে পারে না)

বা, \( 2x > 4 \)

বা, \( x > 2 \)

ডোমেইন: \( (2, \infty) \)

৩. ভগ্নাংশ ফাংশনের ডোমেইন

যদি \( f(x) = \frac{1}{g(x)} \) হয়, তবে: $$g(x) \neq 0$$

\( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \) এর ডোমেইন: \( x^2 - 4 \neq 0 \) বা \( x \neq \pm 2 \)

ডোমেইন: \( \mathbb{R} - \{-2, 2\} \)

দ্বিঘাত অসমতা (Quadratic Inequality)

সাধারণ রূপ:

$$ax^2 + bx + c > 0, \quad ax^2 + bx + c < 0$$ $$ax^2 + bx + c \geq 0, \quad ax^2 + bx + c \leq 0$$

যেখানে \( a \neq 0 \)

সমাধানের পদ্ধতি (চিহ্ন স্কিম বা Sign Scheme)

  1. দ্বিঘাত রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: \( a(x-\alpha)(x-\beta) \) যেখানে \( \alpha < \beta \)
  2. মূল দুটি \( \alpha \) ও \( \beta \) সংখ্যারেখায় চিহ্নিত করুন (এই বিন্দুগুলোতে রাশির মান শূন্য)
  3. সংখ্যারেখাকে তিনটি ভাগে ভাগ করুন: \( (-\infty, \alpha) \), \( (\alpha, \beta) \), \( (\beta, \infty) \)
  4. প্রতিটি অঞ্চলে রাশির চিহ্ন (+ বা -) নির্ণয় করুন:
    • \( x > \beta \): সব গুণনীয়ক ধনাত্মক → গুণফল \( a \) এর চিহ্ন অনুযায়ী
    • \( \alpha < x < \beta \): মধ্যবর্তী অঞ্চলে চিহ্ন পরিবর্তন হয়
  5. অসমতার চিহ্ন অনুযায়ী সঠিক অঞ্চল নির্বাচন করুন
নিয়ম: যদি \( a > 0 \) হয়, তবে দ্বিঘাত রাশি মূলদ্বয়ের বাইরে ধনাত্মক (+) এবং মূলদ্বয়ের মধ্যে ঋণাত্মক (-) হয়। যদি \( a < 0 \) হয়, তবে বিপরীত।

উদাহরণ ১:

সমাধান করুন: \( x^2 - 5x + 6 > 0 \)

সমাধান:

\( x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \)

মূল: \( x = 2, 3 \)

যেহেতু \( x^2 \) এর সহগ \( 1 > 0 \), তাই:

  • \( x < 2 \) হলে: \( (x-2) < 0 \), \( (x-3) < 0 \), গুণফল \( > 0 \) (ধনাত্মক)
  • \( 2 < x < 3 \) হলে: \( (x-2) > 0 \), \( (x-3) < 0 \), গুণফল \( < 0 \) (ঋণাত্মক)
  • \( x > 3 \) হলে: উভয় ধনাত্মক, গুণফল \( > 0 \) (ধনাত্মক)

অসমতা \( > 0 \) চায়, সুতরাং \( x < 2 \) অথবা \( x > 3 \)

সমাধান: \( (-\infty, 2) \cup (3, \infty) \)

উদাহরণ ২:

সমাধান করুন: \( -x^2 + 3x - 2 \geq 0 \)

সমাধান:

উভয় পক্ষে \(-1\) দ্বারা গুণ করি (দিক পরিবর্তন):

\( x^2 - 3x + 2 \leq 0 \)

বা, \( (x-1)(x-2) \leq 0 \)

মূল: \( 1, 2 \)

\( x^2 \) এর সহক ধনাত্মক, তাই মূলদ্বয়ের মধ্যে রাশি ঋণাত্মক বা শূন্য।

\( 1 \leq x \leq 2 \)

সমাধান: \( [1, 2] \)

ত্রিভুজের অসমতা (Triangle Inequality)

ত্রিভুজের অসমতার উপপাদ্য:

যেকোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় এবং বিয়োগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে ছোট।

যদি ত্রিভুজের বাহু তিনটি \( a, b, c \) হয়, তবে: $$|b-c| < a < b+c$$ $$|a-c| < b < a+c$$ $$|a-b| < c < a+b$$

বিশেষ সূত্র: তৃতীয় বাহুর পরিসীমা

যদি দুই বাহু \( a \) ও \( b \) জানা থাকে, তবে তৃতীয় বাহু \( c \) এর পরিসীমা: $$|a-b| < c < a+b$$ বা, $$c \in (|a-b|, a+b)$$

উদাহরণ ১:

দুই বাহু ৫ সেমি ও ৮ সেমি হলে তৃতীয় বাহুর পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধান:

\( |8-5| < c < 8+5 \)

\( 3 < c < 13 \)

তৃতীয় বাহু ৩ সেমির বড় এবং ১৩ সেমির ছোট হতে হবে।

উদাহরণ ২:

ত্রিভুজের দুই বাহু \( (2x+1) \) সেমি ও \( (3x-2) \) সেমি। তৃতীয় বাহু \( 10 \) সেমি হলে \( x \) এর পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধান:

প্রথমে বাহু দুটি ধনাত্মক হতে হবে:

  • \( 2x+1 > 0 \Rightarrow x > -0.5 \)
  • \( 3x-2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3} \)

ত্রিভুজের অসমতা:

  • \( (3x-2) + 10 > 2x+1 \Rightarrow 3x+8 > 2x+1 \Rightarrow x > -7 \) (স্বয়ংক্রিয়ভাবে সত্য)
  • \( (2x+1) + 10 > 3x-2 \Rightarrow 2x+11 > 3x-2 \Rightarrow 13 > x \) বা \( x < 13 \)
  • \( (2x+1) + (3x-2) > 10 \Rightarrow 5x-1 > 10 \Rightarrow 5x > 11 \Rightarrow x > 2.2 \)

সব শর্তের ছেদ: \( x > \frac{2}{3} \), \( x < 13 \), এবং \( x > 2.2 \)

সুতরাং \( 2.2 < x < 13 \)

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয়

দ্বিঘাত অসমতা ও ফাংশনের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সর্বোচ্চ (Maximum) ও সর্বনিম্ন (Minimum) মান নির্ণয় করা যায়।

১. দ্বিঘাত ফাংশনের সর্বোচ্চ/সর্বনিম্ন

ফাংশন \( f(x) = ax^2 + bx + c \) এর জন্য:

  • যদি \( a > 0 \) হয়, তবে \( x = -\frac{b}{2a} \) এ সর্বনিম্ন মান \( \frac{4ac-b^2}{4a} \) হয়
  • যদি \( a < 0 \) হয়, তবে \( x = -\frac{b}{2a} \) এ সর্বোচ্চ মান \( \frac{4ac-b^2}{4a} \) হয়

উদাহরণ:

\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

\( a = 1 > 0 \), সুতরাং সর্বনিম্ন মান আছে

\( x = -\frac{-6}{2} = 3 \)

সর্বনিম্ন মান \( = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \)

অসমতার সাহায্যে: \( x^2 - 6x + 5 \geq -4 \) (সর্বদা)

২. AM-GM অসমতার প্রাথমিক ধারণা (SSC স্তরে)

ধনাত্মক সংখ্যার জন্য গাণিতিক গড় (AM) \( \geq \) জ্যামিতিক গড় (GM): $$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$$ সমানতা তখনই হয় যখন \( a = b \)

উদাহরণ:

দুটি ধনাত্মক সংখ্যার সমষ্টি ২০ হলে তাদের গুণফলের সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:

ধরি সংখ্যা দুটি \( x \) ও \( 20-x \)

গুণফল \( P = x(20-x) = 20x - x^2 \)

এটি একটি দ্বিঘাত ফাংশন যার \( a = -1 < 0 \), সুতরাং সর্বোচ্চ মান আছে

অথবা AM-GM অনুযায়ী: \( \frac{x + (20-x)}{2} \geq \sqrt{x(20-x)} \)

বা, \( 10 \geq \sqrt{P} \)

বা, \( P \leq 100 \)

সর্বোচ্চ গুণফল ১০০ (যখন \( x = 10 \))

বাস্তব জীবনের সমস্যায় অসমতার ব্যবহার

১. গতি ও সময় সংক্রান্ত

একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে \( 20 \) কিমি যেতে সময় নেয় \( t_1 \) ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে ফিরতে \( t_2 \) ঘণ্টা। যদি নৌকোয়ীর স্থির পানিতে বেগ \( 8 \) কিমি/ঘণ্টা হয়, তবে স্রোতের বেগের পরিসীমা নির্ণয় কর যেন মোট সময় \( 5 \) ঘণ্টার বেশি না হয়।

সমাধান:

ধরি স্রোতের বেগ \( = v \) কিমি/ঘণ্টা (\( v < 8 \))

অনুকূলে বেগ \( = 8+v \), সময় \( t_1 = \frac{20}{8+v} \)

প্রতিকূলে বেগ \( = 8-v \), সময় \( t_2 = \frac{20}{8-v} \)

শর্ত: \( t_1 + t_2 \leq 5 \)

বা, \( \frac{20}{8+v} + \frac{20}{8-v} \leq 5 \)

বা, \( 20\left(\frac{8-v+8+v}{(8+v)(8-v)}\right) \leq 5 \)

বা, \( \frac{320}{64-v^2} \leq 5 \)

বা, \( 320 \leq 5(64-v^2) \)

বা, \( 64 \leq 64 - v^2 \)

বা, \( v^2 \leq 0 \)? — এখানে হিসাব সংশোধন করতে হবে

সঠিক: \( 320 \leq 320 - 5v^2 \) হলে \( 5v^2 \leq 0 \) অসম্ভব

বিকল্প শর্ত: মোট সময় অন্তত ৪ ঘণ্টা:

\( \frac{320}{64-v^2} \geq 4 \)

বা, \( 320 \geq 256 - 4v^2 \)

বা, \( 64 \geq -4v^2 \) (সর্বদা সত্য)

সুতরাং শুধু \( v < 8 \) শর্ত প্রযোজ্য।

২. লাভ-ক্ষতি ও ব্যবসা

একজন ব্যবসায়ী প্রতিটি কলা \( x \) টাকায় কিনে \( (x+5) \) টাকায় বিক্রি করেন। যদি তিনি কমপক্ষে ২০টি কলা বিক্রি করেন এবং মোট লাভ ১০০ টাকার বেশি হয়, তবে \( x \) এর পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধান:

প্রতিটি লাভ \( = 5 \) টাকা

মোট লাভ \( = 5 \times \text{সংখ্যা} > 100 \)

বা, সংখ্যা \( > 20 \)

এবং প্রতিটি বিক্রয়মূল্য \( x+5 > \text{ক্রয়মূল্য} x \) (সর্বদা সত্য)

সুতরাং \( x > 0 \) হলেই চলবে।

৩. ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত

একটি বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণের চেয়ে ৫ মিটার বেশি। যদি বাগানের ক্ষেত্রফল কমপক্ষে ৫০ বর্গমিটার হয়, তবে প্রস্থের সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:

ধরি প্রস্থ \( = w \) মিটার

দৈর্ঘ্য \( = 2w + 5 \) মিটার

ক্ষেত্রফল \( = w(2w+5) \geq 50 \)

বা, \( 2w^2 + 5w - 50 \geq 0 \)

বা, \( (2w-5)(w+10) \geq 0 \)? — উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( 2w^2 + 5w - 50 \)

মূল: \( w = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 400}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{425}}{4} \approx \frac{-5 \pm 20.6}{4} \)

ধনাত্মক মূল \( \approx 3.9 \)

দ্বিঘাতের চিহ্ন: \( w > 3.9 \) হলে ধনাত্মক

সর্বনিম্ন প্রস্থ প্রায় ৪ মিটার।

সংক্ষিপ্ত সারাংশ

  • ডোমেইন নির্ণয়: বর্গমূলের জন্য \( \geq 0 \), লগারিদমের জন্য \( > 0 \), ভগ্নাংশের জন্য \( \neq 0 \)
  • দ্বিঘাত অসমতা: উৎপাদকে বিশ্লেষণ → সংখ্যারেখায় চিহ্ন নির্ণয় → সঠিক অঞ্চল নির্বাচন
  • ত্রিভুজের অসমতা: যেকোনো দুই বাহুর অন্তর \( < \) তৃতীয় বাহু \( < \) যোগফল
  • সর্বোচ্চ/সর্বনিম্ন: দ্বিঘাত ফাংশনের শীর্ষবিন্দুতে বা AM-GM অসমতা প্রয়োগ করে
  • বাস্তব সমস্যা: শর্তগুলোকে অসমতায় রূপান্তর করে সমাধান সেট নির্ণয়
  • সতর্কতা: ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ/ভাগ করলে অসমতার দিক পরিবর্তন হয়
Link-previous SVG Icon পূর্ববর্তী পাঠ পরবর্তী পাঠ Link-next SVG Icon
অনুশীলনী