৫.৩ সূচক সমীকরণ (Indicial Equation)
সূচক সমীকরণ (Indicial/Exponential Equation) হলো সেই বীজগাণিতিক সমীকরণ যেখানে অজ্ঞাত চলক \( x \) ঘাত বা সূচক হিসেবে থাকে। এই অধ্যায়ে আমরা সূচকের মৌলিক নিয়মাবলী, সমাধানের বিভিন্ন পদ্ধতি (যেমন: সমান ভিত্তি করে সমাধান, প্রতিস্থাপন পদ্ধতি এবং লগারিদমের প্রয়োগ) সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব।
সংজ্ঞা ও সূচকের নিয়মাবলী (Laws of Indices)
সূচক সমীকরণ:
যদি একটি সমীকরণে অজ্ঞাত চলক \( x \) সূচক বা ঘাত হিসেবে থাকে, যেমন \( a^x = b \) বা \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \), তবে তাকে সূচক সমীকরণ বলে।
এখানে \( a \) কে ভিত্তি (Base) বলে। সাধারণত \( a > 0 \) এবং \( a \neq 1 \) ধরা হয়।
সূচকের প্রাথমিক নিয়মাবলী
সূচক সমীকরণ সমাধানের জন্য নিচের নিয়মগুলো অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ:
| নিয়ম | সূত্র | ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| গুণ | \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) | একই ভিত্তির ঘাত গুণ করলে ঘাত যোগ হয় |
| ভাগ | \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) | একই ভিত্তির ঘাত ভাগ করলে ঘাত বিয়োগ হয় |
| ঘাতের ঘাত | \( (a^m)^n = a^{mn} \) | ঘাতের উপর আবার ঘাত থাকলে ঘাত গুণ হয় |
| শূন্য ঘাত | \( a^0 = 1 \) (\( a \neq 0 \)) | যেকোনো অশূন্য সংখ্যার শূন্য ঘাত 1 |
| ঋণাত্মক ঘাত | \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) | ঋণাত্মক ঘাতকে ধনাত্মক করে লিখা যায় |
| ভগ্নাংশ ঘাত | \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \) | ভগ্নাংশ ঘাত মূল চিহ্নে রূপান্তরিত হয় |
- \( 1^x = 1 \) (যেকোনো \( x \) এর জন্য)
- \( a^x = 1 \) হলে \( x = 0 \) (যখন \( a \neq 0 \))
- \( (-1)^{\text{জোড় সংখ্যা}} = 1 \) এবং \( (-1)^{\text{বিজোড় সংখ্যা}} = -1 \)
সমাধানের পদ্ধতি ১: সমান ভিত্তি করে সমাধান
সূত্র:
যদি \( a^m = a^n \) হয়, যেখানে \( a > 0 \) এবং \( a \neq 1 \), তবে অবশ্যই: $$m = n$$
এই পদ্ধতিতে সমীকরণের উভয় পক্ষকে একই ভিত্তির ঘাতে রূপান্তর করে ঘাতের মান সমান করে দেওয়া হয়।
উদাহরণ ১:
সমাধান করুন: \( 2^x = 32 \)
সমাধান:
\( 32 \) কে \( 2 \) এর ঘাতে লিখতে পারি: \( 32 = 2^5 \)
সুতরাং, \( 2^x = 2^5 \)
ভিত্তি সমান হওয়ায়, \( x = 5 \)
উদাহরণ ২ (ভগ্নাংশ ঘাত):
সমাধান করুন: \( 9^x = 27 \)
সমাধান:
\( 9 = 3^2 \) এবং \( 27 = 3^3 \)
সুতরাং, \( (3^2)^x = 3^3 \)
বা, \( 3^{2x} = 3^3 \)
বা, \( 2x = 3 \)
বা, \( x = \frac{3}{2} \)
উদাহরণ ৩ (যোগজাত সমীকরণ):
সমাধান করুন: \( 3^{x+1} + 3^{x+2} = 108 \)
সমাধান:
\( 3^x \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^2 = 108 \)
বা, \( 3^x(3 + 9) = 108 \)
বা, \( 3^x \cdot 12 = 108 \)
বা, \( 3^x = 9 = 3^2 \)
সুতরাং, \( x = 2 \)
উদাহরণ ৪ (ভিন্ন ভিত্তি):
সমাধান করুন: \( 4^x = 8^{x-1} \)
সমাধান:
\( 4 = 2^2 \) এবং \( 8 = 2^3 \)
সুতরাং, \( (2^2)^x = (2^3)^{x-1} \)
বা, \( 2^{2x} = 2^{3(x-1)} \)
বা, \( 2x = 3x - 3 \)
বা, \( x = 3 \)
সমাধানের পদ্ধতি ২: প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (দ্বিঘাত আকার)
যখন সমীকরণটি \( a^{2x} + b \cdot a^x + c = 0 \) আকারের হয়, তখন \( a^x = y \) ধরে দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর করা যায়।
পদ্ধতি:
- \( a^{2x} \) কে \( (a^x)^2 \) হিসেবে লিখুন।
- ধরুন \( y = a^x \) (যেখানে \( y > 0 \) কারণ \( a^x \) সর্বদা ধনাত্মক)।
- সমীকরণটি \( y^2 + by + c = 0 \) আকারে দ্বিঘাত সমীকরণে পরিণত হবে।
- দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে \( y \) এর মান নির্ণয় করুন।
- \( y \) এর ধনাত্মক মানের জন্য \( a^x = y \) থেকে \( x \) নির্ণয় করুন। ঋণাত্মক বা শূন্য \( y \) এর জন্য বাস্তব সমাধান পাওয়া যাবে না (কারণ \( a^x > 0 \))।
উদাহরণ ১:
সমাধান করুন: \( 9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0 \)
সমাধান:
\( 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2 \)
ধরি, \( y = 3^x \) (যেখানে \( y > 0 \))
সমীকরণটি দাঁড়ায়: \( y^2 - 4y + 3 = 0 \)
বা, \( (y-1)(y-3) = 0 \)
সুতরাং \( y = 1 \) অথবা \( y = 3 \)
- যখন \( y = 1 \): \( 3^x = 1 = 3^0 \Rightarrow x = 0 \)
- যখন \( y = 3 \): \( 3^x = 3 = 3^1 \Rightarrow x = 1 \)
সমাধান: \( x = 0, 1 \)
উদাহরণ ২ (ঋণাত্মক মান বাতিল):
সমাধান করুন: \( 2^{2x} - 2^{x+1} - 8 = 0 \)
সমাধান:
\( (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 = 0 \)
ধরি \( y = 2^x \) (\( y > 0 \))
\( y^2 - 2y - 8 = 0 \)
বা, \( (y-4)(y+2) = 0 \)
সুতরাং \( y = 4 \) অথবা \( y = -2 \)
কিন্তু \( y = 2^x > 0 \), সুতরাং \( y = -2 \) গ্রহণযোগ্য নয়।
শুধু \( y = 4 \) হলে: \( 2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2 \)
সমাধান: \( x = 2 \)
উদাহরণ ৩ (ঋণাত্মক ঘাত):
সমাধান করুন: \( 4^x + 2^{2-x} = 17 \)
সমাধান:
\( (2^2)^x + \frac{2^2}{2^x} = 17 \)
বা, \( (2^x)^2 + \frac{4}{2^x} = 17 \)
ধরি \( y = 2^x \)
\( y^2 + \frac{4}{y} = 17 \)
\( y^3 + 4 = 17y \) (উভয় পক্ষে \( y \) গুণ করে)
বা, \( y^3 - 17y + 4 = 0 \)
পরীক্ষামূলক মান বসিয়ে: \( y = 4 \) একটি মূল। \( 64 - 68 + 4 = 0 \) ✓
\( 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 \)
(অন্যান্য মূল বাস্তব না হতে পারে বা ঋণাত্মক হতে পারে)
সমাধানের পদ্ধতি ৩: লগারিদমের প্রয়োগ
যখন সমীকরণের উভয় পক্ষের ভিত্তি ভিন্ন ভিন্ন মৌলিক সংখ্যা হয় এবং তাদের একই ভিত্তিতে প্রকাশ করা সম্ভব নয়, তখন উভয় পক্ষের লগারিদম নিয়ে সমাধান করা হয়।
সূত্র:
যদি \( a^x = b \) হয়, তবে উভয় পক্ষে \( \log \) নিলে: $$x \log a = \log b$$ বা, $$x = \frac{\log b}{\log a} = \log_a b$$
উদাহরণ ১:
সমাধান করুন: \( 2^x = 5 \)
সমাধান:
উভয় পক্ষে \(\ln\) বা \(\log\) নিলে:
\( x \log 2 = \log 5 \)
\( x = \frac{\log 5}{\log 2} \approx \frac{0.6990}{0.3010} \approx 2.322 \)
উদাহরণ ২:
সমাধান করুন: \( 3^{2x-1} = 7^{x+2} \)
সমাধান:
উভয় পক্ষে \(\log\) নিলে:
\( (2x-1) \log 3 = (x+2) \log 7 \)
বা, \( 2x \log 3 - \log 3 = x \log 7 + 2 \log 7 \)
বা, \( x(2 \log 3 - \log 7) = 2 \log 7 + \log 3 \)
বা, \( x = \frac{\log 49 + \log 3}{\log 9 - \log 7} = \frac{\log 147}{\log \frac{9}{7}} \)
বিশেষ ক্ষেত্র ও সতর্কতা
১. \( a^x = b^x \) আকারের সমীকরণ
যদি \( a^x = b^x \) হয়, যেখানে \( a \neq b \) এবং \( a, b > 0 \), তবে একমাত্র সমাধান \( x = 0 \)।
কারণ \( a^0 = 1 \) এবং \( b^0 = 1 \), সুতরাং \( a^0 = b^0 \)।
সমাধান করুন: \( 5^x = 3^x \)
\( \frac{5^x}{3^x} = 1 \) বা \( \left(\frac{5}{3}\right)^x = 1 = \left(\frac{5}{3}\right)^0 \)
সুতরাং \( x = 0 \)
২. \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) আকার
সরাসরি \( f(x) = g(x) \) করতে পারি, যদি \( a > 0, a \neq 1 \) হয়।
৩. সতর্কতা: বিপরীত চিহ্ন
যদি \( (-2)^x = 4 \) হয়, তবে \( x \) জোড় পূর্ণসংখ্যা হতে হবে (যেমন \( x=2 \))। কিন্তু \( (-2)^x = -8 \) হলে \( x \) বিজোড় (যেমন \( x=3 \))। সাধারণত SSC তে ভিত্তি ধনাত্মক ধরা হয়।
৪. শূন্য ভিত্তি
\( 0^x = 0 \) এর সমাধান \( x > 0 \) (যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যা)। কিন্তু \( 0^0 \) অপ্রভাবশালী।
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- সমান ভিত্তি: \( a^m = a^n \Rightarrow m = n \) (যখন \( a > 0, a \neq 1 \))
- প্রতিস্থাপন: \( a^{2x} + b \cdot a^x + c = 0 \) আকারে \( y = a^x \) ধরে দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর। মনে রাখতে হবে \( y = a^x > 0 \)।
- লগারিদম: \( a^x = b \Rightarrow x = \frac{\log b}{\log a} \)
- বিশেষ: \( a^x = b^x \Rightarrow x = 0 \) (যখন \( a \neq b \))
- সূত্র: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), \( (a^m)^n = a^{mn} \), \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)