- \(\triangle ABC\) এর \(\angle B = 60^\circ\) হলে প্রমাণ কর যে, \(AC^2 = AB^2 + BC^2 - AB \cdot BC\)।
- \(\triangle ABC\) এর \(\angle B = 120^\circ\) হলে প্রমাণ কর যে, \(AC^2 = AB^2 + BC^2 + AB \cdot BC\)।
- \(\triangle ABC\) এর \(\angle C = 90^\circ\) হলে \(BC\)-এর মধ্যবিন্দু \(D\)। প্রমাণ কর যে, \(AB^2 = AD^2 + 3BD^2\)।
- \(\triangle ABC\) -এ \(AD, BC\) বাহুগুলো উপরে লম্ব এবং \(BE, AC\) এর উপরে লম্ব। দেখাও যে, \(BC \cdot CD = AC \cdot CE\)।
-
\(\triangle ABC\) -এ \(BC\) বাহু \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে তিনটি সমান অংশে বিভক্ত হয়েছে।
প্রমাণ কর যে,
\(AB^2 + AC^2 = AP^2 + AQ^2 + 4PQ^2\)।
[সংকেত: \(BP = PQ = QC;\;\triangle ABQ\) এর মধ্যমা \(AP\)) ]
\(AB^2 + AQ^2 = 2(BP^2 + AP^2) = 2PQ^2 + 2AP^2,\) \(\therefore AP^2 + AC^2 = 2PQ^2 + 2AQ^2\)। -
\(\triangle ABC\) এর \(AB = AC\)। \(BC\) এর উপর \(P\) যেকোনো বিন্দু।
প্রমাণ কর যে,
\(AB^2 - AP^2 = BP \cdot PC\)।
[সংকেত: \(BC\) এর উপর \(AD\) লম্ব আক। তবে \(AB^2 = BD^2 + AD^2\) এবং \(AP^2 = PD^2 + AD^2\)।] -
\(\triangle ABC\) এর মধ্যমাগুলি \(G\) বিন্দুতে মিলিত হলে প্রমাণ কর যে,
\(AB^2 + BC^2 + AC^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2)\)।
[সংকেত: অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্যের আলোকে ত্রিভুজের বাহু দৈর্ঘ্য ও মধ্যমার সম্পর্ক ব্যবহার করতে হবে।]
Studentware