৬.১ অসমতার ধারণা (Concept of Inequality)
অসমতা (Inequality) হলো দুটি বীজগাণিতিক রাশির মধ্যকার তুলনামূলক সম্পর্ক যা সমানতা প্রকাশ করে না, বরং একটি রাশি অন্যটির চেয়ে বড় বা ছোট তা প্রকাশ করে। এই অধ্যায়ে আমরা অসমতার প্রকারভেদ, বৈশিষ্ট্যসমূহ, সংখ্যারেখায় চিত্রণ এবং সমাধান পদ্ধতি সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করব।
অসমতার সংজ্ঞা ও প্রতীক (Symbols)
অসমতা কী?
যদি দুটি বাস্তব সংখ্যা \( a \) ও \( b \) এর মধ্যে সমানতার পরিবর্তে বড়-ছোটের সম্পর্ক থাকে, তবে তাকে অসমতা বলে। অসমতা চিহ্নের দিকে খোলা থাকে বড় মানের দিকে এবং বন্ধ থাকে ছোট মানের দিকে।
অসমতার চিহ্নসমূহ
| চিহ্ন | পড়া হয় | অর্থ | উদাহরণ |
|---|---|---|---|
| \( < \) | ছোট | বাম পক্ষ ডান পক্ষের চেয়ে ছোট | \( 3 < 5 \), \( x < 10 \) |
| \( > \) | বড় | বাম পক্ষ ডান পক্ষের চেয়ে বড় | \( 7 > 4 \), \( x > 2 \) |
| \( \leq \) | ছোট বা সমান | বাম পক্ষ ডান পক্ষের চেয়ে ছোট অথবা সমান | \( x \leq 5 \) (সর্বাধিক ৫) |
| \( \geq \) | বড় বা সমান | বাম পক্ষ ডান পক্ষের চেয়ে বড় অথবা সমান | \( x \geq 3 \) (সর্বনিম্ন ৩) |
| \( \neq \) | সমান নয় | দুই পক্ষ সমান নয় | \( x \neq 0 \) |
অসমতার প্রকারভেদ
- সংখ্যাগত অসমতা: শুধু সংখ্যার মধ্যে তুলনা। যেমন: \( 5 > 3 \), \( -2 < 0 \)
- বীজগাণিতিক অসমতা: চলক থাকে। যেমন: \( x + 3 > 7 \), \( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \)
- রৈখিক অসমতা: চলকের সর্বোচ্চ ঘাত ১। যেমন: \( 2x + 3y \leq 6 \)
- দ্বিঘাত অসমতা: চলকের সর্বোচ্চ ঘাত ২। যেমন: \( x^2 - 4x + 3 > 0 \)
অসমতার বৈশিষ্ট্যসমূহ (Properties of Inequality)
অসমতা সমাধানের সময় নিচের বৈশিষ্ট্যগুলো প্রয়োগ করা হয়:
১. যোগ ও বিয়োগের বৈশিষ্ট্য
অসমতার উভয় পক্ষে সমান সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করলে অসমতার দিক পরিবর্তিত হয় না।
$$\text{যদি } a > b \text{ হয়, তবে } a + c > b + c \text{ এবং } a - c > b - c$$
\( 7 > 4 \) এ ৩ যোগ করলে: \( 10 > 7 \) (সত্য)
\( 7 > 4 \) থেকে ২ বিয়োগ করলে: \( 5 > 2 \) (সত্য)
২. গুণ ও ভাগের বৈশিষ্ট্য (ধনাত্মক সংখ্যা)
অসমতার উভয় পক্ষে ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার দিক পরিবর্তিত হয় না।
$$\text{যদি } a > b \text{ এবং } c > 0 \text{, তবে } ac > bc \text{ এবং } \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$$
\( 6 > 4 \) এ ২ দ্বারা গুণ করলে: \( 12 > 8 \) (সত্য)
৩. গুণ ও ভাগের বৈশিষ্ট্য (ঋণাত্মক সংখ্যা) — ⚠️ গুরুত্বপূর্ণ
অসমতার উভয় পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার দিক উল্টে যায়।
$$\text{যদি } a > b \text{ এবং } c < 0 \text{, তবে } ac < bc \text{ এবং } \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$$
\( 6 > 4 \) এ \(-2\) দ্বারা গুণ করলে: \( -12 < -8 \) (দিক পরিবর্তিত)
ব্যাখ্যা: সংখ্যারেখায় \(-12\) হলো \(-8\) এর বামে, সুতরাং \(-12 < -8\)।
৪. বিপরীত চিহ্নের বৈশিষ্ট্য
উভয় পক্ষের চিহ্ন বিপরীত করলে অসমতার দিক উল্টে যায়।
$$\text{যদি } a > b \text{, তবে } -a < -b$$
৫. যোগফলের বৈশিষ্ট্য
একই দিকের দুটি অসমতা যোগ করা যায়:
$$\text{যদি } a > b \text{ এবং } c > d \text{, তবে } a + c > b + d$$
৬. গুণফলের সতর্কতা
দুটি অসমতা গুণ করা সর্বদা সঠিক হয় না, বিশেষ করে ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে।
এক চলক বিশিষ্ট রৈখিক অসমতা (Linear Inequality in One Variable)
সাধারণ রূপ:
$$ax + b > 0, \quad ax + b < 0, \quad ax + b \geq 0, \quad \text{বা} \quad ax + b \leq 0$$
যেখানে \( a \neq 0 \) এবং \( x \) অজ্ঞাত চলক।
সমাধানের পদ্ধতি
- চলকবিহীন পদকে ডান পাশে নিয়ে যান (বৈশিষ্ট্য ১ প্রয়োগ করে)।
- চলকের সহগ দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করুন।
- যদি সহগ ঋণাত্মক হয়, অসমতার দিক পরিবর্তন করুন (বৈশিষ্ট্য ৩)।
- সমাধান সেট নির্ধারণ করুন।
উদাহরণ ১:
সমাধান করুন: \( 3x + 5 > 11 \)
সমাধান:
\( 3x > 11 - 5 \) [৫ ডান পাশে নিয়ে গেলে বিয়োগ]
\( 3x > 6 \)
\( x > 2 \) [৩ দ্বারা ভাগ, ধনাত্মক হওয়ায় দিক পরিবর্তন নয়]
সমাধান: \( x > 2 \) বা \( (2, \infty) \)
উদাহরণ ২ (ঋণাত্মক সহগ):
সমাধান করুন: \( -2x + 7 \geq 3 \)
সমাধান:
\( -2x \geq 3 - 7 \)
\( -2x \geq -4 \)
\( x \leq 2 \) [\(-2\) দ্বারা ভাগ, ঋণাত্মক হওয়ায় দিক পরিবর্তন]
সমাধান: \( x \leq 2 \) বা \( (-\infty, 2] \)
উদাহরণ ৩ (সংকীর্ণ সীমা):
সমাধান করুন: \( 2 \leq 3x - 4 \leq 11 \)
সমাধান:
উভয় পক্ষে ৪ যোগ করি:
\( 6 \leq 3x \leq 15 \)
৩ দ্বারা ভাগ করি:
\( 2 \leq x \leq 5 \)
সমাধান: \( [2, 5] \)
সংখ্যারেখায় চিত্রণ (Graphical Representation)
অসমতার সমাধানকে সংখ্যারেখায় চিত্রিত করলে দৃশ্যমান হয় এবং সেট নোটেশন সহজে বোঝা যায়।
চিত্রণের নিয়ম
- \( > \) বা \( < \) (কঠোর অসমতা): সংখ্যারেখায় বৃত্তাকার বিন্দু (○) ব্যবহার করা হয়, যা দেখায় যে সীমান্ত বিন্দুটি অন্তর্ভুক্ত নয়।
- \( \geq \) বা \( \leq \) (অকঠোর অসমতা): সংখ্যারেখায় ভরাট বৃত্ত (●) ব্যবহার করা হয়, যা দেখায় যে সীমান্ত বিন্দুটি অন্তর্ভুক্ত।
- দিক নির্দেশনা: বড় দিকের দিকে তীর চিহ্ন বা রেখা টানা হয়।
উদাহরণ:
\( x > 3 \): সংখ্যারেখায় ৩ এর ডান দিকে রেখা, ৩ এ খোলা বৃত্ত (○)
\( x \leq -1 \): সংখ্যারেখায় \(-1\) এর বাম দিকে রেখা, \(-1\) এ ভরাট বৃত্ত (●)
\( -2 < x \leq 4 \): \(-2\) ও \(4\) এর মধ্যে রেখা, \(-2\) এ খোলা বৃত্ত, \(4\) এ ভরাট বৃত্ত
সমাধান সেটের নোটেশন
| অসমতা | সমাধান সেট | ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| \( x > a \) | \( (a, \infty) \) | \( a \) বাদে \( a \) এর ডান সব সংখ্যা |
| \( x \geq a \) | \( [a, \infty) \) | \( a \) সহ ডান সব সংখ্যা |
| \( x < b \) | \( (-\infty, b) \) | \( b \) বাদে \( b \) এর বাম সব সংখ্যা |
| \( x \leq b \) | \( (-\infty, b] \) | \( b \) সহ বাম সব সংখ্যা |
| \( a < x < b \) | \( (a, b) \) | \( a \) ও \( b \) এর মধ্যে (উভয় বাদ) |
| \( a \leq x \leq b \) | \( [a, b] \) | \( a \) ও \( b \) এর মধ্যে (উভয় সহ) |
অসমতার যুগল (System of Inequalities)
যখন একই চলকের জন্য একাধিক অসমতা দেওয়া থাকে এবং সেগুলোর যৌথ সমাধান নির্ণয় করতে হয়।
যৌথ সমাধান:
একাধিক অসমতার ছেদ সেট (Intersection) হলো যৌথ সমাধান। অর্থাৎ সব অসমতা যে সব মানের জন্য সত্য, শুধু সেই মানগুলো গ্রহণযোগ্য।
উদাহরণ ১:
সমাধান করুন:
\( x + 3 > 5 \) এবং \( 2x - 1 \leq 7 \)
সমাধান:
প্রথম অসমতা: \( x > 2 \)
দ্বিতীয় অসমতা: \( 2x \leq 8 \) বা \( x \leq 4 \)
যৌথ সমাধান: \( 2 < x \leq 4 \) বা \( (2, 4] \)
সংখ্যারেখায়: ২ এর ডানে এবং ৪ এর বামে (২ বাদে, ৪ সহ)
উদাহরণ ২ (অসম্ভব সমাধান):
\( x > 5 \) এবং \( x < 3 \)
কোনো সংখ্যা একই সাথে ৫ এর বড় এবং ৩ এর ছোট হতে পারে না।
সমাধান: ফাঁকা সেট \( \emptyset \)
উদাহরণ ৩ (তিনটি অসমতা):
\( 3x + 1 \geq 7 \), \( 2x - 3 < 5 \), এবং \( x \geq 0 \)
সমাধান:
প্রথম: \( 3x \geq 6 \Rightarrow x \geq 2 \)
দ্বিতীয়: \( 2x < 8 \Rightarrow x < 4 \)
তৃতীয়: \( x \geq 0 \)
যৌথ: \( 2 \leq x < 4 \) বা \( [2, 4) \)
মডুলাস/নিরপেক্ষ মান সংবলিত অসমতা (Modulus Inequality)
মৌলিক সংজ্ঞা:
\(|x| < a\) এর অর্থ \(-a < x < a\) (যখন \( a > 0 \))
\(|x| > a\) এর অর্থ \( x < -a \) বা \( x > a \) (যখন \( a > 0 \))
উদাহরণ ১:
\(|x| < 3 \)
সমাধান: \( -3 < x < 3 \) বা \( (-3, 3) \)
উদাহরণ ২:
\(|2x - 1| \leq 5 \)
সমাধান: \( -5 \leq 2x - 1 \leq 5 \)
বা, \( -4 \leq 2x \leq 6 \)
বা, \( -2 \leq x \leq 3 \) বা \( [-2, 3] \)
উদাহরণ ৩:
\(|x - 2| > 4 \)
সমাধান: \( x - 2 < -4 \) বা \( x - 2 > 4 \)
বা, \( x < -2 \) বা \( x > 6 \)
সমাধান সেট: \( (-\infty, -2) \cup (6, \infty) \)
বাস্তব প্রয়োগ (Applications)
উদাহরণ ১ (বয়সের সমস্যা):
রহিমের বয়স তার পুত্রের বয়সের তিনগুণের চেয়ে বেশি কিন্তু পাঁচগুণের চেয়ে কম। পুত্রের বয়স ৮ বছর হলে রহিমের বয়সের সীমা নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, রহিমের বয়স \( = R \), পুত্রের বয়স \( = 8 \)
\( 3 \times 8 < R < 5 \times 8 \)
\( 24 < R < 40 \)
রহিমের বয়স ২৪ থেকে ৪০ বছরের মধ্যে।
উদাহরণ ২ (পরীক্ষার নম্বর):
একজন শিক্ষার্থী পরীক্ষায় পাস করতে হলে সর্বনিম্ন ৪০ নম্বর পেতে হবে এবং প্রথম বিভাগ পেতে হলে সর্বনিম্ন ৬০ নম্বর প্রয়োজন। যদি সর্বোচ্চ নম্বর ১০০ হয়, তবে শিক্ষার্থীর নম্বরের পরিসীমা কত হলে সে পাস করবে কিন্তু প্রথম বিভাগ পাবে না?
সমাধান:
ধরি, নম্বর \( = x \)
পাসের শর্ত: \( x \geq 40 \)
প্রথম বিভাগ না পাওয়ার শর্ত: \( x < 60 \)
সুতরাং: \( 40 \leq x < 60 \)
সংক্ষিপ্ত সারাংশ
- অসমতার চিহ্ন: \( <, >, \leq, \geq \) — বড় দিকে খোলা, ছোট দিকে বন্ধ।
- বৈশিষ্ট্য: যোগ-বিয়োগে দিক পরিবর্তন নয়; ঋণাত্মক সংখ্যায় গুণ-ভাগে দিক পরিবর্তন হয়।
- রৈখিক অসমতা: \( ax + b > 0 \) আকারে, সমাধানে চলককে এক পাশে নিয়ে সহাগ দ্বারা ভাগ।
- সংখ্যারেখা: কঠোর অসমতায় খোলা বৃত্ত (○), অকঠোরে ভরাট বৃত্ত (●)।
- সমাধান সেট: \( (a, b) \) = উভয় বাদ, \( [a, b] \) = উভয় সহ, \( [a, b) \) = \( a \) সহ, \( b \) বাদ।
- যুগল: একাধিক অসমতার ছেদ সেট নির্ণয় করতে হয়।
- মডুলাস: \( |x| < a \Rightarrow -a < x < a \); \( |x| > a \Rightarrow x < -a \) বা \( x > a \)।